分形是现代数学和非线性科学研究领域中一个十分活跃的分支。由于世界的本质是非线性的，因此，分形的应用领域非常广泛，是当前研究的一个热点。而Julia集是分形几何中一类最重要的集合^[1]，它们包含着精细而复杂的结构，在物理学、生物学、医学等领域中有着广泛的应用。例如经典的Langevin问题、图像处理、分形蛋白等问题的研究和应用。

非线性复动力系统中Julia集描述的是一个特别的系统，是复动力系统稳定区域变化程度的一个刻画，由于受到噪声等因素的影响，根据客观的要求，有时需要制约系统稳定区域的大小以及两不同系统间的行为进行控制。目前对Julia集控制的研究主要是应用状态反馈的方法。文献[2-4]中分别利用反馈控制法、梯度控制法等对多项式型、指数型、连续型系统Julia集进行了不动点区域大小控制，同时又利用上述方法实现了Julia集的同步，但这里的同步是所有参数已知的2个Julia集间的同步。文献[5]同样利用反馈控制法研究了一类有理型空间分形Julia集的不动点区域大小控制。文献[6-7]将文献[2-4]中所研究的Julia集推广到了空间，实现了对空间Julia集不动点区域大小控制以及空间Julia集的同步。文献[8]讨论了Julia集的辨识控制问题，首次实现了在驱动系统含有未知参数的情况下驱动系统与响应系统间的同步控制，遗憾的是所设计的同步控制器和参数辨识器并没有加入速度控制项，不能对同步与参数辨识的速度进行控制，因此我们有必要对辨识控制理论做更进一步的研究和推广。

1 预备知识

定义^[1]设f:C→C是阶数大于1的多项式, F_f表示C中的那些轨道不趋于无穷大点的集合，即

则此集合为f的填充Julia集，而f的Julia集则是F_f的边界，记为J_f，则有J_f=∂F_f。

考虑2个复数域上的系统

(1)

(2)

为了使系统(1)和系统(2)关联起来，对系统(1)和(2)进行耦合，在系统(2)中引入同步控制器得

(3)

其中系统(1)作为驱动系统，系统(2)作为响应系统。为同步控制器，它控制驱动系统(1)和响应系统(3)渐进达到同步。a_i是给定的复数，c是驱动系统中的需要识别的未知参数。当系统参数都给定后，驱动系统(1)和响应系统(3)对应的Julia集也就确定了，不妨设为J, J^*。如果

则称系统(1)和系统(3)实现了同步。

事实上，由Julia集的定义可知，Julia集与f的轨道是紧密相关的，本文就是利用轨道的同步来实现Julia集同步的。

2 同步控制器和参数辨识器的生成

本文将利用一阶差分方程的性质来设计同步控制器和参数辨识器。

差分方程就是含有取离散值的单变量的函数及其差分的方程, 也可以将其视为迭代关系

或记为

这里假定x与f均为一元函数, 这种最简单的情形为一阶自治的或定常的差分方程。有时为了数学上的讨论需要, 将其描述为如下的函数迭代的离散过程

简称为一维离散的动力学系统。

引理  对于一阶差分方程

式中，x_n是复数, k为实数, 并且0＜k＜1, 则此差分方程的解是稳定的, 即当n→∞时, x_n→0。

证明  已知x_n是复数, 记x_n=a_n+ib_n, 其中a_n, b_n为实数, 则一阶差分方程可表示为

问题可转化为求解实数差分方程

首先解方程a_n+1-ka_n=0.用待定系数法, 将tⁿ代入方程a_n+1-ka_n=0中, 得t=k, 所以方程的一般解为

式中，A为任意常数.由a₁=Ak=ka₀, 得A=a₀, 故a_n=kⁿa₀.从而有当n→∞时, a_n→0。

同理可证当n→∞时, b_n→0。所以, 当0＜k＜1时, 2个差分方程的解是稳定的, 即

故, 当n→∞时, x_n→0。

下面利用一阶差分方程的性质来设计同步控制器和参数辨识器。

当系统为复变多项式时, 其Julia集可通过迭代计算一个有界区域内的点得到, 设该有界区域为D, 则只需考虑D中点的迭代。另外, 只需计算迭代轨道均在D中的点, 这是因为若存在n₀使得f^n₀(z)∉D, 则z∉J, 又因为D为有界区域, 所以存在M＞0, 使得∀z∈D, |z|＜M。

我们讨论最基本Julia集

的参数辨识问题, 其中q＞1。此时设计驱动系统和响应系统的形式分别如下

(4)

(5)

令驱动系统和响应系统之间的误差变量分别为

(6)

(7)

定理  对于响应系统(5), 若选取同步控制器为

(8)

参数辨识器为

(9)

式中, 0＜k₁＜1, 0＜k₂＜1, α(n)为速度控制项(一般可选择为关于1/n的高阶无穷小量), 则驱动系统(4)和响应系统(5)从任意初始值出发均可达到全局同步。

证明  从前面分析, 若驱动系统(4)和响应系统(5)实现轨道同步, 则它们从任意初始值出发均可达到全局同步。需证

根据引理, 由(8)式得

故, 当n→∞时, 驱动系统(4)和响应系统(5)达到同步, 且速度可控。

再次利用引理, 由(9)式得

故, 当n→∞时, c_n→c, 且速度可控。

3 算法分析与实现

上一节的定理从理论上证明了我们所设计的同步控制器与参数辨识器能够使得驱动系统(4)与响应系统(5)达到渐近同步, 并在渐近同步过程中识别出驱动系统(4)中的未知参数, 本节将从实际例子出发分析算法的有效性。

例  令驱动系统(4)中q=2, c=-1+0.15i, 初始参数值c₀=1。又令k₁=0.9, k₂=0.9, 分别取α(n)=1与α(n)=1/n¹⁰, 驱动系统(4)与响应系统(5)的Julia集如图 1所示:

由图 2可知, 当固定k₁, k₂的值时, 随着迭代次数的增加, 驱动系统(4)与响应系统(5)之间的误差e₁(n)的模逐渐趋近于零, 说明驱动系统(4)与响应系统(5)实现了渐近同步, 而响应系统(5)中的参数c_n的实部与虚部逐渐趋近于驱动系统(4)中的未知参数c的实部-1与虚部0.15, 从而在渐近同步的过程中逐渐识别出了驱动系统(4)中的未知参数。同时, 随着α(n)趋近于0的速度的加快, 两系统的误差趋近于零的速度也随着加快, 参数c_n的值也更快地趋近于未知参数c的真实值。

需要强调, 当k₁, k₂的取值从0增加到1的过程中, 驱动系统(4)与响应系统(5)之间的误差e₁(n)的模趋近于零的速度减慢, 辨识未知参数c的值的速度也越来越慢。由此可知, 当取k₁, k₂的值在0附近时, 辨识效果最好。但当k₁, k₂的值大于1时, 驱动系统(4)与响应系统(5)之间的误差e₁(n)的模不趋近于0, 因此无法实现辨识控制。

4 结论

本文研究了复平面上的Julia集的同步及参数辨识问题。通过设计同步控制器和参数辨识器, 实现了驱动系统和响应系统的同步, 而且在同步过程中识别出了驱动系统中的未知参数。在设计同步控制器和参数辨识器的同时, 加入了速度控制项, 可以通过改变α(n)的阶来改变同步和参数辨识的速度。有代表性的仿真实例, 表明了本文设计方法的简单性和有效性。