在传统的拦截弹制导控制系统设计中, 通常对制导环节和姿态控制环节分离设计。但是分离设计所忽略的环节之间的耦合效应可能会降低拦截的精度。特别对末制导且目标具有高速、大机动的拦截场景而言, 这样的耦合效应尤为强烈^[1-2]。

为了弥补分离设计的不足, 有许多文献对制导和姿态组成的整体系统开展了设计, 这些设计被统称为制导控制一体化(integrated guidance and control, IGC)设计。IGC设计可以有效提高拦截的精度, 但是, IGC设计面临着2个关键性的问题^[3], 其一, IGC系统是典型的高阶系统, 有较高的相对阶。其二, IGC系统中存在着由目标机动、不确定气动参数等带来的强不确定干扰。文献[4]基于反馈线性化开展了IGC设计。文献[5-7]通过将IGC模型简化为线性化模型, 然后基于优化方法进行最优IGC设计。以上方法解决了IGC设计中高相对阶的问题, 但是它们都假设模型精确已知, 因此它们无法解决强不确定干扰的关键问题。

反演控制(backstepping control, BC)不仅也能解决IGC设计的高相对阶问题^[8-9]。而且, 通过将BC方法与鲁棒控制方法结合, 还能同时解决IGC设计中的强不确定干扰问题。文献[10-13]分别基于模糊自适应方法^[10]、自适应滑模方法^[11]以及干扰观测器^[12-13]来改进传统的BC方法, 设计了对干扰具有鲁棒性的IGC算法。但是, BC方法需要对每个中间状态设计虚拟控制量, 因此前述基于BC的IGC算法都假设导弹全部状态可测。而实际上, 部分导弹状态可能是难以测量的。首先, 由于体积以及成本等的限制, 许多拦截弹的导引头无法直接测量视线角速率^[14]。其次, 对于飞行速度很高的高速拦截弹而言, 测量导弹的攻角也是十分困难的^[15]。因此, 对于这样一类视线角速率与攻角都无法测量的高速拦截弹而言, 前述基于BC的IGC算法无法在实际工程中实现。

为了解决上述问题, 本文采用线性扩张状态观测器(linear extended state observer, LESO)改进现有基于BC的IGC算法。首先, 基于LESO不仅能观测未知状态也能观测未知干扰的特点^[16], 设计LESO同时观测未知中间状态与干扰。随后, 将观测的中间状态用来设计BC中的虚拟控制量, 从而避免使用视线角速率与攻角。同时, 利用估计的干扰在BC中进行补偿, 由此所设计的IGC算法还能对干扰具有鲁棒性。基于Lyapunov稳定性理论证明了整个LESO-BC混合闭环系统的稳定性。最后, 在仿真中与文献[10]中需要全部状态信息的BC方法进行对比。结果表明, 在不使用视线角速率与攻角的情况下, 本文所设计的IGC算法依旧能够保证足够的拦截精度。

1 问题描述

弹-目关系见图 1, M与T分别为拦截弹与目标。(x_M, y_M)与(x_T, y_T)分别为导弹与目标的位置。相对运动方程如下

(1)

式中, R与Ṙ分别为弹目相对距离及其变化率, q与为视线角与视线角速率, V_M与V_T为拦截弹与目标的速度, θ_M与θ_T为拦截弹与目标的弹道倾角。考虑拦截弹的姿态动力学如下所示

(2)

式中, α是攻角, m为质量, T_M是拦截弹的推力, L是拦截弹的升力, ω_z是拦截弹的角速率, δ_z为舵偏角, ϑ为俯仰角。M_δz为舵偏引起的俯仰力矩。M₀是由攻角、马赫数等引起的力矩, M₀可以近似为M₀=M_αα+M_ωzω_z。升力等具体表达式为

(3)

m_z^δ_z, m_z^α以及m_z^ω_z分别为δ_z, α以及ω_z所对应的俯仰力矩系数。c_y^α以及c_y^δ_z为α与δ_z对应的升力系数。l为参考长度, Q为动压, s为特征面积。J_z为转动惯量。

参考文献[10], 定义b=57.3Qslm_z^δ_z/J_z, , x₂=α, x₃=ω_z以及u=δ_z, 可得

(4)

式中

(5)

式中，d_Vq为目标法向机动加速度, d_α与d_ωz分别为攻角通道与角速率通道的干扰及未建模动态, g为重力加速度。

正如前言所述, 针对高速拦截弹而言, 与α可能是无法测量的。因此本文将基于如下的部分状态可测假设进行IGC的设计:

假设1    与α不可测, 只有R、Ṙ、θ_M以及q是可以测量的。

本文的目的:根据文献[10], IGC设计的目标就是通过合理设计u使得系统(4)中的x₁→0。根据现有文献[10-13]中的基于BC的IGC算法, 需要对系统(4)中的x₂以及x₃分别设计虚拟控制量x_2d^#与x_3d^#, 其中x_2d^#将包含x₁, 而x_3d^#将包含x₂。但是当假设1成立, 即与α不可测时, 状态x₁与x₂是不可测的, 此时这些基于BC方法的IGC算法就无法在工程上实现。因此本文的目的就是, 设计一种新的BC方法使得x₁→0, 同时不使用与α。

2 观测器设计

定义可直接测量的辅助状态变量x₀=-Rq/(57.3Qsc_y^α/m), 结合系统(4), 可得

(6)

式中相应的系数及非线性项定义如下

(7)

对于系统(6)而言, 由于与α不可测, 因此中间状态x₁与x₂都是不可测的。此外, 系统还存在未知的非匹配干扰d₁与d₂。

考虑到LESO不仅能够观测系统状态, 而且能够观测干扰^[16], 因此可以考虑基于LESO来观测未知的状态与干扰。随后, 用估计的状态来设计BC中的虚拟控制量, 同时用估计的干扰来补偿, 从而提高IGC算法的鲁棒性。

但是, 由于x₁与x₂是未知的, 所以无法采用现有的LESO直接估计非匹配干扰d₁与d₂, 为此, 考虑将非匹配干扰与未知状态进行合成, 定义z₀=x₀, z₁=x₁, z₂=x₂+d₁, , , 得

(8)

显然, 对于系统(8)来说, 如果中间状态z_i(i=1, 2, 3)都是已知的, 则整个系统转换为匹配不确定系统。同时, IGC的设计任务转换为设计u使得z₁→0。为了设计LESO, 首先, 扩展匹配干扰d_f为z₄=d_f, 则有

(9)

式中

为了观测的稳定性, 必须假设:

假设2    假设存在正常数d_max使得不确定干扰满足‖d‖≤d_max。

假设3    假设k₁, k₂以及k₂都是有界的, 存在正常数k_1max, k_2max以及k_3max使得:‖k₁‖≤k_1max, ‖k₂‖≤k_2max, ‖k₃‖≤k_3max。

注1    k₂与k₃是气动系数, 因此k₂与k₃必然有界。而对于k₁=Ṙ/R来说, 由于拦截弹与目标的速度都是有限的, 因此Ṙ有界。同时, 当目标与拦截弹足够接近时, 导引头将停止工作, 同时整个IGC系统也将停止工作, 因此我们只需考虑R>R的情况(R>0, 由导引头决定), 所以k₁也是有界的。关于k₁有界的详细分析可以参考文献[11]。

定理1    针对系统(8), 设计如下的LESO同时观测未知状态z_i(i=1, 2, 3)以及干扰d_f

(10)

式中

(11)

式中，ω₀>0。如果观测增益ω₀足够大, 则估计误差向量最终将收敛到如下区域

(12)

证明    定义误差, i=1, 2, 3, 4, 以及误差向量为, 对求导可得

(13)

式中

(14)

定义Lyapunov函数, 对V₁求导

(15)

将(13)式带入(15)式, 整理后得

(16)

式中，λ_max(A)表示A的最大特征根。考虑假设3成立, 可知存在常数a_zmax>0使得‖A_z^T+A_z‖/2≤a_zmax。同时考虑到假设2成立以及λ_min(A)=λ_min(A^T)=-ω₀, 可得

(17)

选取足够大的ω₀使得ω₀-a_zmax>0。随后可知当时, , 所以存在使得从初始时刻就受限于如下区域

(18)

同时最终将收敛到如下区域

(19)

证明完毕。

3 反演控制器设计

在获取了估计状态后, 下面针对IGC系统(8)进行BC的设计。

Step 1    定义误差s₁=z₁, 设计虚拟控制量。为了避免直接求取微分带来的复杂计算过程, 将z_2d经过如下的一阶指令滤波器

(20)

Step 2    定义误差s₂=z₂-z_2c, 设计虚拟控制量。同理, 将z_3d经过如下的指令滤波器

(21)

Step 3    定义误差s₃=z₃-z_3c, 设计

(22)

在以上设计中, σ_i(i=1, 2, 3), τ_j(j=2, 3)为相应的控制与滤波增益。

假设3    假设与是有界的, 即有未知常数ϕ_zd使得: 。

定理2    对于IGC系统(8), 选择合理的控制与滤波参数, 则在控制量(22)的作用下, 跟踪误差s_i(i=1, 2, 3)是一致最终有界的, 且可以通过调节参数使得收敛界任意小。

证明    定义滤波误差为e₂=z_2c-z_2d, e₃=z_3c-z_3d, 由(20)式与(21)式可知

(23)

(24)

分别对s₁, s₂以及s₃求导, 然后带入z_2d, z_3d以及u的表达式, 整理后得

(25)

(26)

(27)

取Lyapunov函数V₂=s^Ts/2+e^Te/2, 其中s=[s₁  s₂  s₃]^T, e=[e₁  e₂  e₃]^T。为方便表述, 将V₂分为V₂₁=s^Ts/2与V₂₂=e^Te/2。对V₂₁求导, 带入(25)式、(26)式与(27)式得

(28)

对V₂₂求导, 同时带入(23)式以及(24)式得

(29)

联立(28)式与(29)式, 同时根据young不等式、假设2以及假设3可得

(30)

考虑选取足够大的控制增益σ_i, i=1, 2, 3, 以及足够小的滤波增益τ_j, j=2, 3, 使得

(31)

式中正常数ϕ_δ与ϕ_τ表征期望的收敛速率。令, 同时考虑假设3、(30)式以及(31)式可得

(32)

考虑估计误差始终满足(18)式, 可得

(33)

式中，ϕ_m=min{ϕ_δ, ϕ_τ}, ρ=ϕ_zz_max²+ϕ_2d²。从(33)式可知, V₂受限于如下的不等式

(34)

从(34)式知, 误差s_i始终处于有界紧集内。特别的, 当ϕ_m≫ρ, 可以保证收敛界足够小, 从而当t→∞时, s_i→0。证明完毕。

注2    观察所设计的虚拟控制量z_2d, z_3d以及(22)式中的真实控制量u, 可知它们都没有使用无法测量的中间状态z_i(i=1, 2, 3)。从而避免了使用无法测量的与α。

4 仿真分析

拦截弹及目标的初始位置及速度分别为x_M(0)=y_M(0)=0, x_T(0)=4 000 m, y_T(0)=0, V_M=1 200 m/s, V_T=800 m/s。拦截弹与目标的初始弹道倾角为θ_M(0)=0°, θ_T(0)=3°。拦截弹的初始姿态为α(0)=0°, ω_z(0)=0°。仿真中取文献[10]中的气动系数:

同时, 考虑目标法向机动加速度及各种不确定性干扰分别为d_Vq=10cos(u/3)+15 m/s², d_α=5sin(u/2)+3°/s, d_ωz=cos(u/5)+0.5°/s²。

为了验证本文所提出的方法的有效性, 将本文的基于部分状态反馈方法的BC方法(partial state feedback-based back-stepping control, PSF-BC)(22)式与文献[10]中基于全部状态反馈方法的BC方法(full state feedback-based back-stepping control, FSF-BC)进行对比。PSF-BC所需参数取为σ₁=3, σ₂=3, σ₃=6, ω₀=10, τ₂=τ₃=0.1。FSF-BC的控制方法参数与文献[10]中相同。

仿真结果由图 2~图 6给出。

从图 2可以看出FSF-BC与PSF-BC方法都能确保脱靶量小于0.1m, 这就意味这2种IGC算法都能控制拦截弹以足够的精度命中目标。从图 3还能看出2种方法都能控制法向相对速度收敛到零附近。图 4给出了2种方法的舵偏角。图 5给出了2种方法下拦截弹与目标的运动轨迹。图 6给出了PSF-BC中LESO的观测误差, 可见各误差都能收敛到零。

总之, FSF-BC与PSF-BC都取得了很高的拦截精度。但是, PSF-BC无需视线角速率与攻角, 因此相比需要全状态的FSF-BC而言, 本文所提出的PSF-BC算法拓展了现有基于BC的IGC算法的工程适用对象。

5 结论

本文提出一种新型IGC算法来解决具有不可测状态的高速拦截弹的IGC设计问题。通过在BC虚拟控制量中使用LESO估计的不可测状态, 避免使用高速拦截弹中难以测量的攻角与视线角速率。同时在控制量中加入LESO估计的不确定干扰, 使得所设计的IGC算法对干扰具有鲁棒性。仿真表明, 在不使用视线角速率与攻角, 且存在不确定干扰的情况下, 本文方法依旧能够保证足够的拦截精度。由于无需使用攻角与视线角速率, 因此所设计的算法拓展了现有IGC算法的工程适用对象。