随着计算机技术的发展, 有限元仿真为疲劳问题的研究提供了一种更加省时省力的方法。在目前广泛使用的有限元软件中, 如ANSYS、ABAQUS、PATRAN/NASTRAN等, 都提供了可用于疲劳寿命分析的软件模块。然而常规有限元法需采用连续函数作为形状函数, 要求在单元内部形状函数连续且材料性能不能跳跃, 在处理位移不连续问题时, 必须将裂纹面设置为单元的边, 将裂尖设置为单元的结点, 在裂尖附近进行高密网格划分, 同时在模拟裂纹扩展时还需要对网格进行重新剖分, 效率极低, 求解规模大, 费时费力[1]。
针对上述问题, 扩展有限元法(extended finite element method, XFEM)因其计算不连续问题时不需要对结构内存在的间断面进行网格剖分, 网格划分与结构内部的间断面无关, 进行裂纹扩展模拟时也无需对网格进行重新剖分的优点而日益受到各国学者的重视[2-3]。
Moes等[4]将扩充形函数(enrichment shape function)引入扩展有限元, 用其描述裂纹面和裂尖。M.C.Baietto等[5]将构造水平集函数用于描述裂纹界面, 基于扩展有限元法对应力强度因子进行量化表达。方修君等[6]在扩展有限元的基础上, 用预设虚节点的方法, 实现了使用通用程序来模拟沿任意路径的裂纹扩展问题。李建波等[7]在扩展有限元法中, 通过建立特殊广义节点插值形式来描述裂缝等的不连续位移场。张正艺等人[8]利用虚拟裂纹闭合技术将三维空间裂纹简化为线状裂纹, 提升了宏观尺寸裂纹扩展预测能力, 但却减低了裂纹扩展的计算精度。余天堂[13]在常规有限元位移模式中加入了一个阶跃函数和反映裂纹处位移的不连续的二维渐近裂尖位移场来模拟三维裂纹问题。
在XFEM基础上, 本文将虚拟裂纹闭合技术(virtual crack closure technique, VCCT)引入裂纹扩展仿真分析, 该方法相对简单, 精度可靠, 对网格尺寸不敏感。将上述2种方法结合, 可以达到无需指定裂纹扩展路径、无需进行高密网格划分也可模拟裂纹扩展的目的, 节省了建模所需要的时间。既减少了计算工作量又提高了裂纹扩展模拟的准确度。
1 扩展有限元法及虚拟裂纹闭合技术 1.1 扩展有限元法在扩展有限元法中, 富集单元处疲劳裂纹的萌生和扩展用Paris公式来表征, 相对能量释放率ΔG与疲劳裂纹扩展速率da/dN之间关系如图 1所示。
裂纹的萌生和扩展条件由以下2个准则判定:
1) 疲劳裂纹扩展的萌生条件是:
(1) |
式中,c1、c2为材料常数, N为循环数。
当(1)式成立, 且结构加载到最大载荷时, 对应的最大能量释放率Gmax大于临界应变能释放率Gthresh, 疲劳裂纹开始扩展。
2) 一旦富集单元处的疲劳裂纹开始扩展, 就可以用ΔG来计算裂纹扩展速率
(2) |
式中,c3、c4为材料常数。当Gmax > Gpl时, 认为裂尖前方单元经过一次循环即发生断裂。其中, Gc是自定义的材料等效应变能释放率, Gpl为能量释放率上限。为计算方便可取Gc=Gpl。
1.2 虚拟裂纹闭合技术虚拟裂纹闭合技术的理论依据为Irwin的能量理论, 核心思想为:裂纹在扩展中释放的能量等于闭合该裂纹所需的能量。如图 2所示。
裂纹从长度a扩展到a+Δa时所释放的能量与将裂纹从长度a+Δa闭合到a所需要的能量相等。
裂纹从长度a扩展到a+Δa的能量释放率为GⅠ, 裂缝扩展的临界能量释放率为GⅠC, 那么, 当GⅠ > GⅠC时, 裂缝就会发生扩展, 裂缝的扩展准则为:
(3) |
在公式(3)中, b和d分别表示的是单元上裂尖位置的宽度和长度, Fυ, 2, 5指的是节点2和5之间的垂直力, υ1, 6表示节点1和6之间的垂直位移, 裂尖示意图如图 3所示。
原始的虚拟裂纹闭合技术只适用于预测Ⅰ型裂纹的扩展。对于普通裂纹, 则需要对理论进行修正, 用等效应变能释放率Gequiv来代替公式中的应变能释放率, 则可得到:
(4) |
通常情况下, 用公式(4)代替公式(3), 因为Gequiv包括3种断裂能释放率(在二维平面问题中只包括2种)。
ABAQUS中提供3种用于计算临界等效应变能释放率Gequiv的混合模式准则:BK准则(BK law)、指数准则(power law)和reeder准则(reeder law), 本文中采用power law准则:
(5) |
公式(5)中GⅠ、GⅡ和GⅢ分别为Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂纹对应的应变能释放率, GⅠC、GⅡC和GⅢC分别为Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂纹对应的临界应变能释放率; am、an和ao为损伤因子, 本文取am=an=ao=1。
2 疲劳裂纹扩展寿命有限元计算本文针对吊挂结构, 进行疲劳裂纹扩展寿命有限元模拟计算, 由于吊挂结构复杂, 且裂纹区域仅仅占吊挂结构整体的极小部分, 故将裂纹区域从整体结构中截取出来, 单独进行裂纹扩展分析。实验中裂纹发生于螺栓孔处, 故将该螺栓孔及其附近区域作为研究对象, 如图 4所示。
螺纹孔初始裂纹为4.2 cm, 试验件材料为TC21, 材料属性如表 1所示。
对于TC21材料, c3=3.3×10-5, c4=1.43, 所以裂纹扩展速率为:
(6) |
将网格划分为不同密度, 研究疲劳裂纹扩展寿命的网格依赖性。在裂纹扩展方向上, 将边a网格Seed分别划分为30、35、40和50, 如图 5所示。
不同网格密度划分的模型从初始裂纹开始扩展到裂纹完全断裂的扩展寿命如表 2所示。
由表 2可知, 在网格密度低于40时, 随网格逐渐细化, 扩展有限元计算得到的裂纹扩展寿命随之改变, 当网格密度达到40后, 计算得到的裂纹扩展寿命几乎不再改变, 网格密度为40时与网格密度为50时相比, 相对误差仅为0.96%, 可以认为当网格密度达到40时, 计算结果已经收敛。
2.2 疲劳裂纹扩展寿命分析取网格密度为40的裂纹扩展寿命计算结果, 裂纹扩展寿命为3 965 cycle, 以下分别取N=1、1 500、2 600、3 550时的应力云图, 如图 6所示。
裂纹长度随循环数变化曲线如图 7所示:
由图 7可以看出, 随循环数的增加, 裂纹加速扩展, 在裂纹贯穿试件之前, 裂纹扩展速率达到最大, 裂纹急剧扩展, 最终断裂。
3 有限元计算结果与实验对比实验得到, 以裂纹长度为4.2 cm时为初始裂纹计算, 上部裂纹经过4 321次循环完全断裂, 其裂纹长度与循环次数关系如图 8所示。
裂纹扩展速率呈现先慢后快的趋势, 实验中裂纹的扩展方向始终垂直于上部的自由面, 在最后断裂处, 与自由面呈45°角, 如图 9所示。
将有扩展有限元方法得到的疲劳裂纹扩展寿命计算结果与实验得到的结果进行比较, 如图 10所示。
由图 10可以看出, 无论是XFEM计算结果, 还是实验得到的裂纹扩展寿命结果, 从整体上看, 裂纹都随循环次数的增加而呈现加速扩展的趋势。当裂纹即将完全断裂时, 裂纹扩展速率达到最大, 裂纹瞬时断裂, 两者之间裂纹扩展寿命误差为8.2%。
4 分析及结论基于XFEM与VCCT计算得到的裂纹扩展寿命与实验所得误差为8.2%, 误差相对较小, 可以认为计算结果准确有效, 证明了本文所提出方法的工程适用性。
由XFEM计算得到的裂纹扩展寿命低于实验得到的裂纹扩展寿命, 可能由以下原因引起:
1) 实验中, 试件约束条件复杂, 裂纹扩展受到周围材料的抑制较大, 所以裂纹扩展速率较慢; 而在扩展有限元的计算分析中, 裂纹被独立出来进行裂纹扩展寿命分析, 忽略了裂纹周围材料的影响, 裂纹扩展受到的抑制少, 所以扩展速率较快。
2) 实验中, 试件受力比较复杂, 如夹具的支反力, 试件本身的重力, 以及加载载荷等, 所以裂纹处的应力比较复杂, 而扩展有限元计算时, 采用的载荷是由静力加载得到的, 可能存在一定误差。
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