高层建筑中筒体结构抗侧刚度大，空间作用强，满足了高层建筑发展的规律。目前，世界上最高的百幢高层建筑约有三分之二采用筒体结构^[1]。

筒体结构在水平外荷载作用下会出现明显的剪力滞后效应，这大大削弱了结构的空间整体性能。因此，国内外很多学者对其进行了研究。高雁、李正良基于位移场和有限条法思想对筒体剪力滞后效应提出了新的简化计算方法，并对滞后现象的产生原因进行了阐释^[2]；姚树典等人研究了窗裙梁刚度、框架柱刚度、楼板刚度以及框筒平面形状、高宽比对剪力滞后效应的影响^[3]；金仁和、魏德敏和郑之以、林金越等人对框筒结构剪力滞后的产生原因、计算方法影响因数等问题进行了综述^{[1, 4]}；杜修力、贾鹏等人对混凝土核心筒进行了抗震性能试验研究，结果表明：循环往复荷载下钢筋混凝土核心筒存在较为明显的剪力滞后效应^[5-6]；史庆轩、任浩和余德冕、马克俭等人分别对新型结构体系(高层斜交网格筒结构体系和超高层装配整体钢网格盒式筒中筒)的剪力滞后效应做了计算分析^[7-8]；Gaur等通过研究发现了支撑对框筒剪力滞后效应有明显的改善作用，且不同的支撑形式对其改善程度不同^[9]。

以往的研究都集中于静力荷载或是拟静力形式的情况下，近年来，箱梁动荷载作用下的滞后效应也得到了相关研究^[10-11]，但仍不成熟，而对筒体结构动力作用下的剪力滞后效应鲜有研究。基于此，本文通过假定翘曲位移函数并利用哈密顿原理，从理论上对水平地震作用下筒体结构的剪力滞后效应进行了计算，并进行了算例分析，以期为工程设计及复杂筒体结构的研究提供参考。

1 振动控制微分方程 1.1 计算模型假定

对框筒进行连续化处理，使其等效成正交异性平板和角柱组成的实体筒，该等效筒模型如图 1所示。等效筒截面绕x、y轴对称, 2a和2b分别为结构腹板和翼缘的长度, H为结构高度, t_f和t_w、E_f和E_w、G_f和G_w分别为框筒结构等效连续化后翼缘板和腹板的等效厚度、等效弹性模量和等效剪切模量。假设框筒层高相等, 柱距均匀, 梁柱截面保持不变, 弹性模量及剪切模量可按下式计算^[12-13]:

(1)

(2)

式中, t为等效板的厚度, E等效板的弹性模量, G等效板的剪切模量; E_m为材料的弹性模量, G_m为材料的剪切模量; A_k为中柱的截面面积, s为柱距, d_b、d_c分别为梁和柱的截面高度, A_b为梁的截面面积; I_b、I_c分别为梁和柱的截面惯性矩。

假定地基为刚性地基, 楼板平面内刚度无限大。水平地震作用下结构的计算模型如图 2所示。u_g(t)为地震引起的基底位移, u(z, t)为地震引起的结构水平位移。由于建筑物的宽度不会很大, 地震可视为一致激励, 计算过程中考虑铁摩辛柯剪切变形和转动惯量的影响, 不考虑结构的扭转及阻尼作用。翼缘及腹板的纵向位移已不符合平截面假定, 引入的3个广义位移函数为:框筒的水平侧移u_t(z, t)、剪力滞后效应引起的最大纵向位移差函数U(z, t)和截面动转角θ(z, t)。假设翼缘和腹板的纵向翘曲位移沿板宽分布分别为二、三次抛物线^[14]

(3)

(4)

水平侧移为:

(5)

1.2 控制微分方程

根据上述假设, 翼缘、腹板和角柱的正应变为^[15-16]:

(6)

翼缘、腹板的剪切应变为:

(7)

则侧翼缘板的应变能为:

(8)

腹板的应变能为:

(9)

角柱应变能:

(10)

结构的剪切应变能为:

(11)

则结构总势能为:

(12)

考虑转动惯量的影响, 结构总动能为:

(13)

式中, I_f为两侧翼板对y轴的惯性矩之和, I_f=4t_fba²; I_w为两侧腹板对y轴的惯性矩之和, I_w=4t_wa³/3;I_c为角柱截面对y轴的惯性矩, I_c=4A_ca²; A_f为两侧翼板的截面面积, A_f=4t_fb; A_w为两侧腹板的截面面积, A_w=4t_wa; A_c为角柱扣除中柱后的截面面积; A为截面面积, A=A_f+A_w+A_c; k为截面形状系数, k=A/A_w; G为截面剪切模量, 取加权G=(G_w A_w+G_f A_f+G_mA_c)/A; ρ为材料的密度; I_s为翼缘和腹板的惯性矩之和, I_s=I_f+I_w; I为截面的总惯性矩, I=I_f+I_w+I_c。符号“′”表示对x进行求导, 符号“·”表示对t进行求导。

根据Hamilton原理∫_t1^t₂δ(T-Π)dt=0, 并将以上各式代入, 可推导出框筒的振动微分控制方程及边界条件为:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

式中:

(20)

2 微分方程的求解及动剪力滞后系数 2.1 振动微分方程的解

假设地震动引起的地面运动为正弦波, 振幅为A₀, 频率为ω₀, 相位角ϕ, 即:

(21)

那么有:

(22)

式中, u(z)、θ(z)、U(z)分别为相应的形函数。将(21)式及(22)式代入方程(14)~(19)可将控制方程和边界条件转化为:

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

根据(24)式可求出U⁽³⁾(z)、U⁽⁵⁾(z), 然后对(25)式求三阶导并将U⁽³⁾(z)和U⁽⁵⁾(z)代入, 则可得到一个新的微分方程, 再将(23)求导代入该新方程, 可以得到关于u(z)的独立微分方程:

(29)

(29)式中:n=N₂/(N₁N₃-N₂²)。

(29)式是关于u(z)的常系数微分方程, 其对应的特征方程的解具有以下形式:

(30)

微分方程对应的一个特解为:

(31)

故微分方程的通解可以表示为:

(32)

根据方程的性质可以假设θ(z)、U(z)的形式, 然后代入方程(23)和(25)式, 由恒等式原理可求得θ(z)、U(z)的通解为:

(33)

(34)

式中, c_i为积分常数。

由方程(26)~(28)可得框筒结构的边界条件为:

(35)

将(35)式代入方程(32)~(34)式即可求解方程, 求解可通过MATLAB编程计算。随后可计算翼缘板、腹板和角柱的动正应力幅值, 分别为:

(36)

(37)

(38)

翼缘框架位于y_i处的柱轴力和腹板框架位于x_i处的柱轴力幅值分别为:

(39)

角柱的轴力幅值为:

(40)

2.2 动剪力滞后系数

当结构不考虑剪力滞后效应时, 微分控制方程(23)~(28)可退化为:

(41)

(42)

(43)

(44)

根据2.1节中同样的求解方法可以求解出方程的通解, 并可计算框筒各柱的轴力。定义动剪力滞后系数λ为受拉侧翼缘柱考虑剪力滞后效应的轴力幅值与不考虑剪力滞后效应的轴力幅值的比值。由动剪力滞后系数的定义可知, 当λ>1时, 翼板上该处表现为正剪力滞后现象, 且λ值越大剪力滞后程度越大; 当λ < 1时, 翼板上该处表现为负剪力滞后现象, 且λ值越小负剪力滞后程度越大; 当λ越接近于1时, 则越符合初等梁平截面假定。

3 静力作用下框筒结构剪力滞后效应计算

静力作用下框筒结构的计算假定与1.1节中的假定基本相同, 只是引入的3个广义位移函数仅仅是建筑高度z的函数, 而与时间t无关。结构在顶部水平集中力P作用下和水平均布荷载q作用下的外力势能分别为:

(45)

根据最小势能原理δΠdz=0, 可求得结构在水平集中力和均布荷载作用下控制微分方程分别为(46)、(47)式:

(46)

(47)

其边界条件分别为(48)、(49)式:

(48)

(49)

通过微分方程求解可得集中力和均布荷载作用下方程的通解和边界条件分别为:

(50)

(51)

根据(50)式和(51)式对框筒在顶部集中力和水平均布荷载作用下进行求解计算, 通过积分即可求得各柱的轴力。

4 算例分析

框筒结构平面图如图 3所示(取1/4截面), 结构层高均为3 m, 共20层。柱间距为3 m, 角柱尺寸为0.9 m×0.9 m, 中柱尺寸0.5 m×0.9 m, 梁截面均为0.35 m×0.8 m。钢筋混凝土的弹性模型E=3×10⁴ MPa, 剪切模量G=1.2×10⁴ MPa, 材料密度ρ=2 500 kg/m³。

1) 验证方法正确性。

结构承受水平静荷载, 荷载工况分2种:顶部水平集中力P=2 000 kN; 水平均布荷载q=40 kN/m。

框筒底部的内力和剪力滞后程度最大, 图 4和图 5分别描述了集中力和均布荷载作用下底层框架柱的轴力分布情况。由图可以看出, 水平作用下结构出现了明显的剪力滞后情况, 符合实际情况。为了验证本文采用的翘曲位移函数的准确性, 图中还与文献[13]中的计算方法进行了对比。文献[13]采用的是假设应力分布函数的方法, 且该方法已经得到有限元法验证。从图中可以看出, 2种方法计算结果吻合很好。

为了进一步说明本文计算方法的正确性, 在图 6和图 7中描述了2种荷载下框筒结构的水平侧移情况。通过对比分析可知, 2种方法计算结果吻合良好, 因此认为本文采用的翘曲位移函数是有效的, 计算方法是准确的, 可用于分析框筒结构的剪力滞后效应。且本文假定的翘曲函数对腹板和翼缘采用了相同的最大位移差函数, 简化了推导过程。

2) 分析水平地震作用下框筒的剪力滞后效应, 地震动为u_g(t)=0.05sin2πt。

图 8描述了水平地震作用下, 框筒相应楼层各框架柱的轴力幅值分布情况。观察图可知, 结构在首层的轴力值最大, 且轴力分布很不均匀, 结构出现了明显的剪力滞后现象, 随着楼层高度的增大, 轴力分布逐渐变得均匀, 剪力滞后程度减弱。在第15层处, 结构已经出现负剪力滞后现象。

显然, 结构底层角柱, 即6号柱的剪力滞后现象最严重。图 8描述了底层角柱剪力滞后系数随高度的变化曲线。结合图 9可知, 随着楼层高度的增加, 剪力滞后系数逐渐减小, 结构滞后现象减弱, 直至出现负剪力滞后效应，且在顶层处最为严重。这一规律与静力作用下的规律相同, 也从另一面验证了本文方法的准确性。

表 1列出了相应频率下框筒底层角柱的轴力幅值及剪力滞后系数。由表可知, 随着频率增大, 轴力幅值逐渐增大。当频率达到7π和8π时, 轴力值明显增大，尤其在频率为8π时, 此时的轴力值增大了一个数量级, 剪力滞后系数也最大。这是因为该频率接近结构的自振频率, 结构产生了共振, 致使动力效应加剧。此时, 角柱的名义应力为281.6 MPa, 且结构的滞后现象也比较严重。

为了研究框筒高宽比对水平地震作用下结构滞后效应的影响，分别计算了结构高度H为36 m、50 m、60 m、72 m、90 m、108 m时底层角柱的剪力滞后系数，并绘于图 10中。由图可知，随着高宽比的增大，剪力滞后系数逐渐减小，即增大高宽比减弱了结构的剪力滞后程度。

5 结论

本文利用等效连续体方法，假定框筒结构翼缘和腹板的翘曲位移函数，将水平地震动输入视为正弦位移波，利用动力学哈密顿原理推导出了结构的振动微分控制方程，并结合边界条件对其进行了求解，给出了框筒的动剪力滞后系数定义。随后，利用最小势能原理推导出了框筒结构静力作用下的控制微分方程，进行了求解。通过算例计算得到了如下结论：

1) 算例结果验证了翘曲位移函数及计算方法的准确性，而且该翘曲函数假定翼板和腹板有相同的最大纵向位移差函数，简化了计算。

2) 水平地震作用下，框筒结构会出现剪力滞后效应，且滞后效应在结构底部最为严重。随着高度增加，剪力滞后效应减弱，直到出现负剪力滞后，且负剪力滞后现象在结构顶层最为严重，规律与静力作用下相同。

3) 当地震动频率接近共振频率时，结构剪力滞后效应加重，且角柱轴力幅值很大，容易引起结构的局部破坏，工程中需格外重视。

4) 增大框筒高宽比可以改善结构的动剪力滞后程度，但也会增大结构的内力。