随着我国大型民机研制工作的进一步深入，建立与其相应的民机备件多级库存保障体系已刻不容缓。国内外许多学者已经对备件的多级库存建模问题进行了深入的研究，形成了诸如Metric模型[1]、Vari-Metric模型[2]等影响广泛的经典模型，并已经成功应用在民机的备件管理上[3-4]。然而，上述模型在计算时往往采用的是完全维修的假设，即故障件在经过修理后能够“修复如新”，但是在实际情况下，民机可修件经过维修后会处于不完全维修状态，即由于不能修复如新导致部件性能劣化并出现报废的情况[5]。针对这一问题，李华等[6]考虑备件具一定的报废概率，将系统中的不完全修复件近似等效为消耗件，利用伽马分布的可加性得到备件方案下的可用度计算模型；Liu Tianbin等[7]利用准更新理论对不完全维修情况下的可修系统进行了可用度建模，建立了备件需求预测模型；薛涛等[8]以最小化维修成本为目标，研究了考虑报废后备件保障效能的分析流程和方法；Behfard S等[9]考虑不完全维修对备件供应的影响，利用启发式算法求解了最后一次购买时的备件需求量。
尽管上述学者已经对可修件的库存规划问题进行了有针对性的研究，但在实际应用上还存在着以下问题：①现有的数学模型无法对可修件的劣化、报废和可重复使用的性质进行统一的描述，只能同时表达其中1~2个，这与实际维修中可修件同时具备这3种性质的情况不符；②目前的研究局限于对单级库存模型下可修件需求量的求解，难以应用到民机备件管理这种多级配置问题上，无法得到各级各基地的备件配置方案。针对以上问题，本文提出了一种在不完全维修情况下的民机可修件多级库存配置方法，以准更新理论描述劣化过程，以基于维修次数的M/M/c/m+S/m排队论模型表达备件可修，考虑可修件在一定维修次数后选择报废的情况，引入报废流补充了Vari-Metric模型，采用边际分析法求解了在一定可用度下的备件多级配置方案，并利用算例分析验证了方法的合理性与有效性。
1 模型描述与假设本文产生的工程背景是民机备件多级库存保障体系的构建问题。该体系为2级2层结构，2级是指维修级别分为中心级和航线级，2层是指民机可修件分为外场可更换件(LRU)和内场可更换件(SRU)。
飞机部件发生故障时，航线级维修点若有备件则进行更换，否则向中心级申请备件，如果中心级也发生备件短缺的情况，则订购一个新备件。故障件在航线级有一定的修理概率，若不能在航线维修则送往中心级，在中心级故障件可进行修理或报废的决策。备件修理成功后，放入库存成为新的备件；而备件在经过不完全维修之后，并不能达到“修复如新”，这导致其在维修后的逐次工作时间越来越短，而维修耗时越来越长。当备件由于不完全维修使其可靠性与经济性下降到一定程度时，进行报废处理，此时备件的维修次数即为其最大的可维修次数。
为了简化建模的过程，现对可修件多级库存规划模型进行合理的假设[10]：
1) 备件的失效服从独立的泊松过程；
2) 每个备件的维修间隔时间相互独立；
3) 不存在备件间的横向供应问题；
4) 所有的维修点实行(s, s-1)的库存控制策略；
5) 部件只能在中心级修理点进行报废。
为了方便模型的描述，现将模型中用到的符号在此列出：i为备件编号, LRU:i=0, SRU:i=1, 2, 3, …, n; j为维修点编号, 中心级维修点:j=0航线级维修点:j=1, 2, 3, …, nmij是备件i在维修点j的需求量; miz为备件i的年均报废量; Oij是备件i在维修点j的订购周转时间; Xij是供应渠道件数; rij是修理概率; τij是运输周转时间; sij是配置方案; Tij是当量维修时间, 为劣化过程维修时间的均值。
2 可修件报废量和需求量确定备件的报废量和需求量是备件库存配置模型的重要输入参数, 其取值的准确与否直接影响到备件配置方案的好坏, 故如何准确求解民机可修件这种考虑劣化和报废的可重复使用件的报废量和需求量成为对其进行库存规划建模需要面对的首要问题。
2.1 可修件报废量考虑到不完全维修备件的劣化性质, Wang和Pharm[11]采用准更新理论来描述不完全维修的过程, 其定义如下:
定义1 假设{N(t), t > 0}是一个计数过程, 而Xn为第n次与第n-1次计数时的间隔时间, 若非负随机变量序列{W1, W2, W3, …}相互独立且Wi=αWi-1(i≥2), 其中α > 0为常数, 则{N(t), t > 0}被视为是准更新过程, 其劣化系数为α, 首次计数间隔为W1。
若某民机可修件的工作时间(MFH)和维修时间(TAT)分别记作准更新序列{X1, X2, X3, …}和{Y1, Y2, Y3, …}, 其均值分别为μi和ηi, 劣化系数为α和β, 根据更新报酬理论, 在泊松过程下系统的效益率R(H)为
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(1) |
式中, Cw为单位工作时间内的收益, Cr为单位维修时间内的花费, Ch为一次拆卸更换的费用, h为维修次数。
在其他参数已知的情况下, 可以由遗传算法求得效益率R(H)最大时对应的最大维修次数H。
根据准更新理论, 准更新函数M(t)定义为维修次数的期望, 其值可由拉普拉斯变换求出:
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(2) |
式中, fXn*(s)为工作时间概率密度函数的拉普拉斯变换。
结合最大维修次数H与准更新函数M(t), 提出一种确定可修件报废时机与报废量的方法:当备件的维修次数达到最大维修次数时, 备件选择报废, 飞机采购全新件放入库存, 不完全维修过程重新开始, 故可以此时对应的时间为备件最长工作时间, 由总工作时间和最长工作时间可以衡量可修件i的报废时机和任务期内的报废量mis。
2.2 可修件需求量考虑采用M/M/c/m+K/m排队论模型计算可修件的需求量。若某部件单机安装数量QPA为m件, 另有S个备件, c个维修设备。若部件不足m件时, 飞机停止运行。针对可修件的劣化过程, 本文基于维修次数对排队论模型进行工程适应性修正, 设部件的工作时间服从参数为λ(i)的指数分布, 维修时间服从参数为μ(i)的指数分布。λ(i)和μ(i)是部件总维修次数i的函数, 表达式如(3)式和(4)式所示:
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(3) |
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(4) |
式中, λ0、μ0为λ和μ的初始值, 
令
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(5) |
式中
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当给定保障率P时, 不完全维修备件需求量K可由(6)式求出
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(6) |
结合(5)式与(6)式, 便可以确定任务周期内不完全维修备件的总需求量。各级各基地的需求量mij由文献[13]中的方法确定。
3 可修件多级库存规划方法由于民机可修件具备劣化和报废的不完全维修特性, 传统的库存规划模型无法对其进行统一的数学描述, 故本文在求得备件报废量和需求量的基础上, 考虑可修件的不完全维修特性, 引入报废流补充了Vari-Metric模型, 完成了对可修件的库存配置规划。
根据经典的METRIC理论, 备件库存量为S0时的短缺数期望EBO与方差VBO为:
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(7) |
式中, X为供应渠道件数, P(X=x)为供应渠道件数为x的稳态概率。P(X=x)与其均差比
将各维修点各备件的短缺数期望相加, 即可得到在在备件库存方案为S时的总短缺数期望EBO(S)。机队的可用度A和备件i短缺数期望EBOi(S)的关系为:
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(8) |
式中, EBOi(S)为第i种备件的总短缺数期望, Zi为单机安装数, N为机队飞机数。由此可见, 其机队的最大可用度即是求其备件短缺数期望的最小值。
设采购备件的投资费用为C, 表达式为
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(9) |
式中, Si为第i种备件的库存数量, ci为其单价。
通过以上分析, 可以得到以机队备件的短缺数期望为目标函数, 备件总的投资费用为约束条件的多级库存规划模型如下:
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(10) |
式中, C0为总的费用约束。
接下来, 分别计算航线级和中心级维修点可修件供应渠道件数的均值与方差:
1) 中心级维修点
本文考虑到备件报废的情况, 引入报废流修正中心级维修点备件的供应渠道件数。
中心级维修点SRU的供应渠道件数由2部分组成:①由于发生故障导致的送修件数; ②由于报废导致的订购件数。其均值和稳态概率由(11)式得出
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(11) |
将(11)式代入到(7)式中, 即可以得到在库存水平si0下中心级维修点第i个SRU备件的短缺数期望EBO(si0|mi0Ti0)和方差VBO(si0|mi0Ti0)。
中心级LRU供应渠道件数由3部分构成:①中心级送修渠道LRU件数；②由于缺少SRU造成而延误的中心级送修LRU；③由于报废导致的订购件数。其均值和方差由(12)式给出:
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(12) |
式中, 
由此可求得供应渠道件数为x的概率P(DI=x), 将其带入到(7)式中, 即可以得到在库存水平s00下中心级维修点LRU备件的短缺数期望EBO(s00|E[X00], var[X00])和方差VBO(s00|E[X00], var[X00])。
2) 航线级维修点
航线级SRU和LRU的供应渠道件数均值和方差可参考文献[2]中的方法, 由(13)式和(14)式得出
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(13) |
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(14) |
式中, 
同理, 可得到在一定库存水平下航线级维修点SRU和LRU备件的短缺数期望和方差。
至此, 本文考虑可修件的不完全维修性质, 在其劣化过程中以准更新理论求解报废量, 以基于维修次数的排队论模型得到需求量, 并在此基础上构建了引入报废流的Vari-Metric模型。该模型可采用边际分析法求解[2], 得到民机可修件的备件配置方案及费效比曲线。考虑不完全维修的民机可修件多级库存配置方法的流程图如图 1所示。
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| 图 1 考虑不完全维修的民机可修件多级库存配置方法的流程图 |
为了验证所提出模型的合理性, 以2级2层维修保障系统作为算例进行分析。维修基地和备件的结构层级如图 2所示。机队由4架飞机组成, 维修设备有20套, 备件的参数如表 2所示。
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| 图 2 维修保障系统结构图 |
| 参数 | LRU1 | SRU1.1 | SRU1.2 | LRU2 | SRU2.1 | SRU2.2 |
| MTBR/h | 2 200 | 3 000 | ||||
| Tij/year | 0.25 | 0.2 | 0.2 | 0.28 | 0.24 | 0.23 |
| Ti0/year | 0.2 | 0.18 | 0.18 | 0.27 | 0.23 | 0.23 |
| α | 0.9 | 0.9 | 0.9 | 0.8 | 0.8 | 0.8 |
| β | 1.1 | 1.1 | 1.1 | 1.2 | 1.2 | 1.2 |
| cH/＄ | 120 | 120 | 120 | 250 | 300 | 300 |
| cw/＄ | 8 000 | 8 000 | 8 000 | 9 000 | 9 000 | 9 000 |
| cf/＄ | 320 | 300 | 300 | 500 | 400 | 400 |
| QPA/set | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 |
| qij | 0 | 0.6 | 0.4 | 0 | 0.2 | 0.8 |
| rij | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 |
| MFH/h | 4 000 | 4 000 | 4 000 | 4 000 | 4 000 | 4 000 |
| τij/year | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| Oij/year | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |
| Ci/＄ | 1 500 | 900 | 600 | 1 000 | 600 | 400 |
考虑初始供应下(前2年)备件的库存方案。经计算, 不完全维修部件LRU1的最优维修次数为5次, LRU2的最优维修次数为9次, 在初始供应阶段不存在备件报废的问题, 不完全维修仅仅影响部件的逐次工作时间和维修时间, 此时备件的配置方案和短缺数期望曲线如表 3和图 3所示:
| 名称 | 中心级维修点 | 航线级维修点1 | 航线级维修点2 | 航线级维修点3 |
| LRU1 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| SRU1.1 | 2 | 1 | 0 | 0 |
| SRU1.2 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| LRU2 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| SRU2.1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| SRU2.2 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 总费用/美元 | 20 400 | 可用度 | 98.5% | |
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| 图 3 初始供应下备件与短缺数期望曲线 |
由此可见, 通过边际分析法求解本文所提出的模型不仅可以得到备件的最优配置方案, 还可以获取系统指标与投资费用的费效比曲线, 使得工程管理人员可以根据资金的多少对备件进行优化配置, 体现了本文所提方法的实用性。
为了验证本文所提模型的正确性, 将LRU1和LRU2视为可修件中的特例——周转件, 即不存在劣化和报废的现象, 劣化参数为1。对比传统的周转件规划模型[14]与本文模型的计算结果(如表 4和图 4所示):
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| 图 4 传统方法与本文方法费效比曲线 |
由对比结果分析, 在计算周转件的配置方案时, 传统方法与本文所提模型的计算结果误差很小, 其中总费用误差为2%, 机队可用度误差为0.2%, 也即由本文提出的模型计算民机可修件中的特例(周转件)时, 其误差与传统方法相比较小, 故可间接证明本文的建模思路合理、方法有效。
在后续供应阶段(第2到15年), 由于在此阶段可修件存在报废的情况, 从而影响备件的短缺数期望, 通过本文所建立的模型可以求解在后续供应状态下备件的库存配置方案(如表 5所示):
| 名称 | 中心级维修点 | 航线级维修点1 | 航线级维修点2 | 航线级维修点3 |
| LRU1 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| SRU1.1 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| SRU1.2 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| LRU2 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| SRU2.1 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| SRU2.2 | 3 | 1 | 0 | 1 |
| 总费用/美元 | 20 200 | 可用度/% | 96.5 | |
可以看出, 后续供应阶段由于考虑到存在备件报废的情况, 使得中心级维修点的备件配置数量有较大增加, 这导致在基本相同的投资费用下, 后续供应状态机队可用度与初始供应条件下相比有所减少。
总的来说, 本文提出的模型可以很好地描述可修件的不完全维修性质, 并在此基础上对初始供应和后续供应阶段的备件配置方案进行求解, 从而为民机全寿命阶段提供不完全维修备件多级库存配置方案及保障。经过与传统方法的对比, 证明了本文所提方法合理有效, 可为民机备件管理研究提供新的具有工程实用价值的可行思路和方法。
5 结语1) 本文考虑可修件劣化和报废的不完全维修特性, 结合更新报酬理论与准更新函数, 得到了可修件的报废量, 并基于维修次数对排队论模型进行了工程适应性修正, 求解了民机可修件的需求量。
2) 在此基础上引入报废流补充了Vari-Metric模型, 使其成功地应用在民机可修件多级库存配置问题的求解上, 更加适应民机全寿命阶段维修需求。
3) 算例分析表明, 本文所提出的建模方法合理有效, 能够为不完全维修状态下的民机备件库存决策提供参考。
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