阵列天线方向图综合的目的是通过确定阵列天线的某些参数，使天线阵的辐射特性满足给定的要求。由于方向图综合问题中的目标函数和约束条件大部分都具有非线性、不可微的特点，传统的解析方法和数值方法无法有效地求出满意的解，而各类智能优化算法如模拟退火算法(simulated annealing, SA)^[1]、遗传算法(genetic algorithm, GA)^[2]和粒子群算法(particle swarm optimization algorithm, PSO)^[3-4]等由于具有很强的随机性和稳健性，在阵列天线方向图的综合设计中得到了广泛应用。

2009年，Esmat Reshedi等人提出了一种新型的元启发式算法——引力搜索算法(gravitational search algorithm, GSA)^[5]，该算法在求解空间中随机产生一组初始解，并把它们映射为宇宙空间中的粒子位置，粒子都具有质量，粒子在万有引力作用下运动，运动形式由动力学中的加速度、速度和位移来描述，粒子位置的变动意味着新解的产生。GSA算法具备很强的随机性、鲁棒性和较强的全局收敛性能，一经提出，就引起国内外许多专家和学者的广泛关注。文献[6]将GSA应用于数据挖掘中，具有灵活稳定、寻优速度快的优点；文献[7]将GSA应用到无线传感器网络中；文献[8]结合PSO算法与GSA算法，提出了一种改进后的引力搜索算法，并将其应用于环境经济优化调度问题中，其性能要优于基本的GSA算法和PSO算法；此外GSA算法还在短期水火电调度系统^[9]、开关模式升压变换器系统^[10]、经济负荷分配^[11]等方面均有应用。引力搜索算法的收敛性能以及优化精度虽然优于标准的遗传算法和粒子群算法，但是在处理高维度以及复杂的阵列天线综合问题时，收敛速度较慢且容易陷入局部最优。

针对上述不足，结合阵列天线方向图综合问题的特点，提出一种混合引力搜索算法(hybrid gravitational search algorithm, HGSA)，首先判断种群中2类粒子对全局收敛性的作用，对与最优粒子的欧氏距离较大但适应度值较好的粒子进行适当保留，同时对子代适应度值相对父代有明显改进的粒子进行微扰，改善了种群的多样性，克服了算法的早熟收敛问题，提高了优化精度；其次重新定义了惯性质量调节系数q，通过改变惯性质量的分布状况，使算法快速有效地收敛于问题的最优解。最终将提出的HGSA算法用于优化低旁瓣以及方向图可重构天线阵，并且和GSA算法以及GA算法、PSO算法进行了比较，验证了HGSA算法在处理复杂阵列天线综合问题时候的有效性和稳定性。

1 基本引力搜索算法(GSA)

在引力搜索算法(GSA)中，粒子的运动遵循动力学定律，在其它粒子的万有引力合力作用下，粒子的速度和位置会发生变化，直至达到最优位置。

step1  随机产生初始种群；假设在D维搜索空间中有N个粒子, 第i个粒子的位置为:X_i=(x_i¹, x_i², …x_i^d, …x_i^D), i=1, 2, …N, x_i^d代表第i个粒子在第d维上的位置。

step2  计算各粒子的引力值; 在t时刻, 第j个粒子作用在第i个粒子的引力大小F_ij^d为:

(1)

式中, M_aj(t)和M_pi(t)分别为粒子j和粒子i的惯性质量, ε是一个非常小的常数, G(t)是在t时刻的引力常数:表示第i个和第j个粒子之间的二范数:R_ij(t)=‖X_i(t), X_j(t)‖₂。

step3  计算各个粒子运动的速度和加速度; 根据牛顿第二定律, 粒子i在第d维上t时刻的速度为

(2)

式中, 加速度是第i个粒子的惯性质量。粒子的惯性质量与适应度值密切相关, 惯性质量作为适应度值的一种度量形式参与粒子位置的移动。惯性质量通过下面的公式进行更新:

(3)

式中, 表示在t时刻第i个粒子的适应度值。对于最大化问题, best(t)和worst(t)分别表示t时刻的最优和最差适应度值。

step4  更新粒子的位置, 计算适应度值的大小, 如果满足求解精度或达到最大迭代次数, 输出结果(即“此时粒子的位置”); 否则, 转到step2。

(4)

2 混合引力搜索算法(HGSA)

在基本的GSA算法中, 各粒子都有向惯性质量大的粒子聚集的趋势, 粒子惯性质量的分布应当合理, 不能太集中或太分散。太集中会使种群中各粒子的适应度差变小, 收敛速度缓慢; 而太分散会使种群中优势个体过于突出, 算法容易限入局部最优解; 同时种群的多样性也会很大程度影响算法的优化精度。

1) 精英粒子和后进粒子

要提高GSA算法的优化精度, 改善算法较早收敛于局部最优解的问题, 就要识别具体粒子对全局收敛性的作用, 保护种群的多样性。因此论文中引入了精英粒子以及后进粒子的定义, 通过适当延长精英粒子的存活时间, 同时对后进粒子进行微扰的方式保护了种群的多样性, 解决了算法过早收敛的问题。

精英粒子保护算法:设X_i是种群中t时刻的第i个粒子, X_opt是种群中t时刻的最优粒子, D_i=‖X_i-X_opt‖₂为粒子X_i与最优解的距离。对各粒子与最优粒子的距离由远及近排序, 满足

(5)

(6)

的粒子为精英粒子, 该类粒子虽然与最优粒子的欧式距离大, 但是适应度值较好, 其周围存在极值的概率大, 应当保留。在迭代中不仅保留该类粒子的最优解, 同时保留精英粒子, 避免其在迭代过程中流失, 从而保持了种群的多样性。

后进粒子扰动算法:设fit_{i old}为粒子X_i父代的适应度函数, 定义J_i=(fit_i(t)-fit_{i old})/(fit_{i old})为粒子X_i的进化系数, 同时定义占种群一定比例(5%)的具有较大进化系数的粒子为后进粒子。这类粒子的邻域容易出现早熟收敛现象, 延长此类粒子的存活时间并扩大在其邻域的搜索范围可以提高局部寻优能力。随着进化代数的增加, 后进粒子的进化系数变小, 因此在经过M次迭代后需要重新寻找后进粒子。本文提出的对后进粒子进行微扰的方式借鉴了IWO产生子代的过程, 扰幅逐渐递减, 第k次迭代过程中的方差δ由(7)式与(8)式确定。(8)式中δ_init和δ_final分别为M次迭代中的初始方差和最终方差, 本文中δ_init=0.1, δ_final=0.000 01。

(7)

(8)

2) 惯性质量调节系数

在GSA算法中, 根据函数的适应度值来更新粒子的惯性质量, 惯性质量越大, 粒子越容易吸引其他粒子, 向最优的位置移动。因此, 本文定义了惯性质量调节系数q, 将惯性质量M_i(t)乘以调节系数q, 改变了粒子的惯性质量, 使惯性质量大的粒子, 其惯性质量更大; 惯性质量小的粒子, 其惯性质量更小, 从而提高了算法收敛于最优解的速度。将(3)式更新为(9)式:

(9)

式中, M_qi(t)是调节后的t时刻第i个粒子的惯性质量, q是惯性质量调节系数, f_AVG(t), best(t)和worst(t)分别表示t时刻粒子的平均适应度值, 最大适应度值和最小适应度值。γ_min和γ_max为缩放因子, 控制惯性质量调节系数的大小变化, 一般取0到1之间, 本文中γ_min=0.1, γ_max=0.7。β是指数权重, 改变其大小可以更进一步地调节惯性质量的分布状况。当β>1时, 惯性质量的分布变得更分散, 优者更优, 差者更差, 加快了粒子的局部寻优; 当β < 1时, 各粒子惯性质量的分布变得更集中, 提高了算法全局收敛性, 因此可以根据算法的不同要求来改变其大小。

可以看出, 当第i个粒子的适应度值fit_i(t)等于t时刻所有粒子的平均适应度值f_AVG(t)时, 惯性质量不变, M_qi(t)=M_i(t)。和基本GSA算法相比, 通过惯性质量调节系数q的大小可以改变粒子的惯性质量, 使粒子的惯性质量差距增大, 加快了接近最优位置的速度, 提高了算法的收敛速度。通过调整β的大小可以在算法加快收敛速度的同时, 进一步平衡算法的全局和局部搜索能力。

3) 混合引力搜索算法的实现过程

步骤1  初始化种群, 包括粒子的位置和速度;

步骤2  计算粒子的适应度值, 根据(5) ~(8)式找出精英粒子和后进粒子并且保留至下一代;

步骤3  更新引力系数G(t), 平均适应度值f_AVG(t), 最大适应度值best(t)和最小适应度值worst(t);

步骤4  引入惯性质量系数q, 根据(9)式来更新粒子的惯性质量;

步骤5  由(1)式更新粒子各个方向上力的总和;

步骤6  根据(2)式计算粒子速度和加速度;

步骤7  由(4)式更新粒子的位置, 计算适应度值的大小, 如果满足求解精度或达到最大迭代次数, 输出结果(即“此时粒子的位置”); 否则, 转到步骤2。

3 方向图综合仿真结果

各向同性的N元等间距线阵, 其归一化方向性函数为^[12]:

(10)

式中，N为阵元数目; d为阵元间距; k=为波数, λ为自由空间波长; I_n为第n个阵元的复激励(包括幅度和相位); θ为射线方向与阵列轴线之间的夹角; F_max为方向性函数的最大值。

为了验证本文中所提的混合引力搜索算法在解决复杂阵列天线方向图综合问题时的有效性, 进行了2组不同的实验。

3.1 综合低旁瓣方向图

N=20的均匀直线阵列, 初始相位设置为0, 对激励电流幅度进行优化, 阵元间距d=λ/2, 主瓣宽度20°(80°~100°), 每隔0.2°一个采样点。采用GA^[2]算法、PSO^[3]算法；标准的GSA算法以及混合算法HGSA分别进行优化, 4种算法迭代次数均为1 000次, GSA算法以及HGSA算法种群个数为100, G₀=5, α=5, β=3。

优化目标:实际峰值旁瓣电平低于期望的目标值L_ESL1。适应度函数设置为

(11)

式中, E=|L_MSL-L_ESL1|, L_MSL为实际方向图的最大旁瓣电平, L_ESL1=-42 dB; 仿真得到的方向图和收敛曲线如图 1、图 2以及表 1所示。

由图 1和图 2可以看出, 在相同迭代次数的条件下, GSA算法和HGSA算法优化得到的峰值旁瓣电平(-40.537 1 dB和-42.124 4 dB)明显要低于GA和PSO算法(-37.988 3 dB和-39.188 3 dB), 收敛速度也要快于GA和PSO算法; 表 1是对优化结果的更深入具体的比较, 可以看出, 和另外3种算法相比, 论文中提出的HGSA算法无论是方向性系数, 还是旁瓣电平, 优化结果都明显优于其他3种, 在主瓣展宽程度相同(0.6°)的情况下, HGSA与基本的GSA算法相比, 方向性系数提高了0.085 9, 峰值旁瓣电平降低了1.587 3 dB, 在一定程度上改善了后者容易陷入局部最优的问题。

3.2 综合唯相位方向图可重构天线

N=20的均匀直线阵列, 阵元间距d=λ/2, 对激励电流的幅度和相位同时进行优化, 实现平顶波束和笔状波束的唯相位方向图可重构, 2种工作状态共用一组激励幅度, 每隔0.2°一个采样点。采用引力搜索算法(GSA)以及混合引力搜索算法(HGSA)进行优化, 迭代次数为1 000, 种群个数为200, G₀=5, α=5, β=3。

优化目标为:笔状方向图主瓣区域为[80°, 100°], 峰值旁瓣电平低于期望的目标值L_ESL2; 平顶方向图主瓣区域为[75°, 105°], 主瓣区域波动小于0.5 dB, 峰值旁瓣电平低于期望的目标值L_ESL2。适应度函数设置为:

(12)

式中，ω_i是第i种工作状态对应的误差权值系数, 第i种工作状态下主瓣和旁瓣区的误差分别为:

则第i种工作状态下主瓣区的均方误差为:, 旁瓣区的均方误差为:, M、M^*分别代表主瓣区和旁瓣区角度的采样个数; 每种工作状态下的总误差为:E_i(θ)=α₁e₁₁(θ)+α₂e₂₂(θ), α₁=0.65, α₂=0.35, L_ESL2=-25 dB, 2种工作状态下的误差权值系数分别为ω₁=0.45(笔状), ω₂=0.55(平顶)。仿真得到的结果如图 3~图 5以及表 2所示。

从图 3可以看出，HGSA算法不仅收敛速度快于基本的GSA算法，在进化后期，GSA算法容易出现局部最优的问题也得到了改善；图 4和5中可看出，HGSA算法的优化精度要高于基本的GSA算法；从表 2中也可以看出，无论是平顶波束还是笔状波束，利用HGSA算法优化得到的峰值旁瓣电平值(-25.428 0 dB和-25.363 1 dB)、主瓣抖动(0.498 1 dB)都小于基本的GSA算法(-24.218 0 dB和-24.079 0 dB、0.828 1 dB)。再次验证了论文中提出的混合引力搜索算法不论是在收敛速度还是优化精度方面都优于基本的引力搜索算法。

4 结论

针对基本的引力搜索算法(GSA)存在早熟收敛、收敛速度慢的问题，提出了一种混合的引力搜索算法(HGSA)，该算法通过分析种群，对影响种群多样性的2类粒子进行保护，改善了算法早熟收敛问题；通过引入惯性质量调节因子，改变了粒子的惯性质量分布情况，实现了算法全局收敛性和局部收敛性的平衡，提高了算法的收敛速度。最后通过第3节的仿真结果，验证了所提算法在解决复杂的阵列天线方向图综合问题时具有较快的收敛速度以及较高的优化精度，与同类算法相比，整体性能更佳。