航天器非质心对接点间相对运动建模与控制
朱战霞1,2, 刘红庆1,2, 樊瑞山1,2     
1. 西北工业大学 航天学院, 陕西 西安 710072;
2. 航天飞行动力学技术国家级重点实验室, 陕西 西安 710072
摘要: 空间交会对接航天器的对接端口一般位于航天器表面,并非位于质心,但传统的相对运动建模往往采用航天器质心作为参考点,致使在实际操作中需要额外的针对对接端口相对位姿进行规划,无疑会降低操作任务完成效率。为此,基于旋量描述,研究了航天器非质心点间的相对运动建模方法,首先通过引入恰当的转换算子,建立了非质心对接点之间的相对速度旋量,然后利用基本力学原理和旋量理论,详细推导并得到了非质心点相栐运动姿轨耦合模型,该模型不仅避免了姿态解算的奇异,而且姿轨描述形式统一,对航天器控制系统并无额外要求,有利于协同控制器设计。利用此模型,考虑空间摄动及未知干扰影响,文中设计了一种将非线性反馈控制和基于状态偏差对数的PD控制相结合的控制律,并证明了稳定性,完成了仿真验证。结果表明该方法可行、姿轨协调控制效果良好、可精确实现对接端口的对接状态,为空间相对运动姿轨耦合建模与协同控制系统设计提供了理论参考。
关键词: 交会对接     姿轨耦合     旋量描述     控制器     李雅普诺夫方程    

航天器相对运动建模与控制是进行空间接近、交会对接、模块更换、抓捕操作的基础, 特别地, 对于近距离复杂操作, 必须考虑相对姿轨耦合和协同控制问题。

已有研究主要集中在以质心为参考点的相对运动建模与控制方面, 包括基于矢量代数描述的建模与控制方法和基于螺旋对偶数描述的建模与控制方法。

基于矢量代数方法进行空间相对运动的建模, 一般是将位置矢量描述的轨道动力学模型和方向余弦(或者四元数或者罗德里格斯参数)描述的姿态动力学模型联合起来, 研究姿轨协同控制问题。这种方法的本质还是对转动和平移分开建模, 虽然在控制系统设计时可以整合到一个状态方程, 但由于轨道姿态建模时分而治之的关系, 为了同时满足轨道姿态控制要求, 往往使控制器设计难度加大, 不利于快速响应的精确控制[1]

基于螺旋对偶数描述建立的航天器相对运动姿轨耦合动力学模型, 可将轨道和姿态运动用统一形式表述, 便于姿轨耦合分析和控制器设计。例如Wang等[2]利用对偶四元数建立了航天器相对运动模型, 设计了类PD控制器; 刘剑等[3]研究了基于螺旋理论的航天器相对运动建模与控制方法, 对耦合项进行了定性分析, 设计了控制律。Filipe等[4-5]基于对偶四元数建立的相对运动模型设计了自适应控制器, 并证明了其全局稳定性。Pham等[6]对空间抓捕机构进行对偶四元数建模, 设计了PID控制器。

但上述研究中, 对于运动的描述均采用刚体或航天器质心作为运动参考点, 而在诸如在轨维修、在轨装配、废弃维修回收等操作任务过程中, 往往需要考虑的是位于航天器表面上装置之间的相对运动, 质心模型使得任务操作过程中还需要针对表面上的操作点额外进行运动规划, 降低了任务完成效率。

为此, 本文以航天器交会对接为背景, 研究非质心点相对运动建模方法。考虑到利用螺旋对偶数描述进行相对运动建模的优势, 本文采用基于螺旋对偶数的旋量描述方式, 建立非质心点相对速度旋量的表述, 由此推导非质心点相对运动姿轨耦合动力学模型。在此基础上考虑实际应用特性, 设计了一种将非线性反馈控制和基于状态偏差对数的PD控制相结合的控制律, 并进行了仿真验证。

1 非质心点相对速度旋量描述

对于航天器交会对接任务, 假设服务航天器相对于目标航天器做接近运动, 该过程包括相对轨道运动和相对姿态运动两部分, 本文通过旋量来对其进行统一描述。

旋量是矢量和对偶数的结合, 可以表示一组对偶矢量。对偶数一般表达式如下所示[1]:

(1)

式中,t为实数部分, t′为对偶部分, ε为对偶标识, 且满足ε2=0, ε≠0。若tt′表示矢量, 则为对偶矢量, 其实部与参考点无关(称为滑移矢量), 对偶部与参考点有关(称为定位矢量), 称该对偶矢量为旋量。

假设航天器在某一时刻的角速度为ω, 其上任意一点A的线速度为vA, 则线速度为定位矢量(随参考点不同而变化), 角速度为滑移矢量(不随参考点变化), A点的速度旋量表示如下:

(2)

交会对接过程中, 服务航天器S和目标航天器T在空间相对状态如图 1所示, O-XsYsZSO-XtYtZt分别表示服务航天器和目标航天器的本体坐标系, 其坐标原点位于各自本体质心, 3个坐标轴和惯性主轴重合。则服务航天器质心的速度旋量为

图 1 服务航天器S和目标航天器T的相对运动示意图
(3)

目标航天器质心的速度旋量为

(4)

式中,分别为服务航天器和目标航天器相对惯性系的速度旋量在其各自本体系中的表示; ωssωtt分别为两航天器各自角速度矢量在其本体系中的表示; vssvtt分别为两航天器各自质心的速度矢量在其本体系中的表示。

假设服务航天器S上对接端点位于Ps, 其在本体坐标系O-XsYsZS中的位置矢量为rs, 三轴分量为rsxrsyrsz; 目标航天器T上对接端点位于Pt, 其在本体坐标系O-XtYtZt中的位置矢量为rt, 三轴分量为rtxrtyrtz。对于服务航天器, Ps点的角速度ωs, Ps(滑移矢量)与其本体的角速度相同, 即ωs, Ps=ωssPs点的速度vs, Ps(定位矢量)与其质心速度不同, 应该为:vs, Ps=vss+rs×ωss。因此, 利用(3)式可得服务航天器非质心点Ps的速度旋量为:

(5)

引入常量转换算子, 其中(rs×)=, 则上式变为:

(6)

相似地, 目标航天器上非质心点Pt的速度旋量表示为:

(7)

式中,为引入的常量算子, (rt×)与(rs×)定义类似。

从(6)式和(7)式可以看出, 通过转换算子, 将参考点从质心转换到了非质心对接点。

此时, 非质心点相对速度旋量可表示为:

(8)

式中,是目标航天器上非质心点Pt的速度旋量在O-XsYsZS中的描述, 与之间的转换关系如下:

(9)

式中,是表示服务航天器与目标航天器非质心点间的相对位置和相对姿态的对偶矢量, 且分别在O-XsYsZs中描述的两航天器非质心点间的相对姿态四元数和相对位置矢量。表示的共轭[1]。则(8)式变为:

(10)

(10)式即非质心点相对速度旋量在服务航天器本体坐标系中的表达。根据(2)式、(10)式也可以写成, 其中ωst.Psvst.Ps分别为在O-XsYsZs中描述的服务航天器与目标航天器非质心点间的相对角速度矢量和相对速度矢量。

2 基于旋量描述的非质心点相对运动耦合模型

O-XsYsZS为参考坐标系建立相对运动方程, 则对非质心速度旋量进行描述时, 将(6)式和(7)式代入(10)式得:

(11)

对(11)式两边求导, 得

(12)

式中,为服务航天器质心速度旋量对时间的微分, 由航天器的动力学方程[2]可得:

(13)

式中, 为服务航天器对偶惯量矩阵, 可表示为, 其中mJC分别表示服务航天器的质量和转动惯量矩阵, I为3阶单位矩阵; 表示服务航天器所受合外力旋量。

对时间的微分, 基于旋量理论和对偶数运算法则, 其表达式为[1]:

(14)

(14)式为航天器非质心点相对运动的运动学方程, 类似地, 对的共轭, 有:

(15)

把(13) ~(15)式代入(12)式, 可得基于旋量描述的航天器非质心点相对运动姿轨耦合动力学方程为:

(16)

可以看出, 转换算子的引入仅仅改变了航天器运动信息的描述参考点, 而作用于服务航天器本体上的外力和力矩仍然是以质心为参考点的, 这符合一般推进装置作用机理, 对航天器控制并没有带来额外要求和复杂性。此时, 对服务航天器而言, 其本体所受力旋量为:

(17)

式中,fssτss分别为作用在其本体上的合外力和合外力矩。在近地轨道, 除控制作用外, 航天器主要受到地球引力及引力梯度、J2、大气阻力摄动以及其它干扰影响, 则其本体所受力旋量表示为:

(18)

式中, 表示作用在航天器上的控制力旋量; 为万有引力作用的力旋量表示J2项摄动影响产生的力旋量表示近地轨道时作用在航天器上的大气阻力摄动力旋量为其余干扰力旋量。

同时, 由以上推导过程可以看出, 通过引入常值转换算子, 将相关参量的描述参考点从质心转移到了对接端口上, 直接得到2个对接点之间的相对运动信息, 避免了质心模型需要额外针对对接端口相对位姿进行规划的问题。

3 控制律设计

利用前面所建立的航天器关于非质心点的相对运动模型, 考虑模型的强耦合、非线性特性, 从控制系统设计的实用性和可靠性出发, 本文设计了一种将非线性反馈控制和基于状态偏差对数的PD控制相结合的控制律, 证明了稳定性。

根据对接任务目标可知, 需要控制服务航天器使其对接端口相对于目标航天器的对接端口的相对位置、相对速度、相对姿态、相对角速度都为零, 即控制期望状态为:

(19)

则此时, 服务航天器和目标航天器对接端口之间的位置姿态误差, 速度旋量误差

基于以上航天器相对运动动力学模型, 设计控制律如下:

(20)

式中, 右端前2项为基于状态偏差对数的PD控制项, 右端最后一项为非线性反馈控制项。

对于PD控制项, 为控制参数, 都为正定矩阵。表示对偶四元数的对数运算[7], 且:

(21)

式中,φ为姿态旋转角度; n为旋转轴; r表示非质心点相对位置矢量。从上式可以看出, ln()与是一一对应的, 同时上式使得位姿对偶四元数在形式上由八维变为六维, 与其他运动参量一致, 此外在≠1到=1的控制过程中, 存在→1+→1-2种情况, 通过对数形式可以很清晰体现出该变化过程, 避免产生分歧。

基于(16)式的动力学模型, 设计非线性反馈控制项如下式所示:

(22)

式中,s为除了控制力旋量之外的外部作用力旋量, 对于近地轨道航天器, 主要包括地球引力及引力梯度、J2、大气阻力摄动以及其他干扰所产生的力旋量。

下面进行稳定性证明, 选取Lyapunov函数为:

(23)

式中, 符号[·|·]为对偶四元数的矩乘运算, 又称Klein型内积, 表示2个旋量的螺旋轴之间的矩[7]

对上式第一项, 已知为正定矩阵, 由矩乘运算定义可知, , 当且仅当时等号成立。第二项可表示为:

当且仅当等于0时, 有

两边求导, 可得:

(24)

将(16)式代入上式:

(25)

将(20)式即所设计控制律代入可得:

(26)

当且仅当等于零时, 有因此所设计控制律是全局渐进稳定的。

由于, 因此有:

(27)

由Barbalat定理可知, , 进而可得, 即系统误差能收敛到期望值, 上述设计的控制系统是渐进稳定的。

4 仿真验证及结果分析

以航天器在轨近距离交会为例, 假设目标航天器在轨无机动飞行, 并且为了方便计算其速度旋量在其本体系中的投影, 令目标航天器在运行过程中, 其本体坐标系主轴和轨道坐标系主轴保持一致, 其运动轨道参数设定为:

表 1 目标航天器运行轨道参数
轨道参数数值
半长轴a/km6 900
轨道偏心率e0.02
轨道倾角i/(°)60
升交点赤经Ω/(°)270
近地点幅角ω/(°)0
真近点角θ/(°)180

服务航天器和目标航天器非质心对接端口在其本体系中位置矢量分别为:

期望相对状态为:

假设服务航天器实际惯量参数为:

初始时刻, 相对姿态四元数和相对位置的误差量为:

初始相对角速度和相对速度的误差量为:

控制器的参数设定为:

仿真中不考虑地球引力及引力梯度、J2、大气阻力摄动, 只考虑服务航天器受到的其他干扰影响, 假设干扰力和力矩为:fd=[3 3 3]×10-3N, τd=[3 3 3]×10-4N·m。

利用本文所建非质心动力学模型和所设计的控制律进行仿真, 仿真时间设为200 s, 结果如图 2~7所示。

图 2 非质心对接口相对角速度变化图
图 3 非质心对接口相对速度变化图
图 4 非质心对接口相对姿态四元数变化图
图 5 非质心对接口相对位置变化图
图 6 服务航天器控制力矩变化图
图 7 服务航天器控制力变化图

从图中可以看出, 在50 s左右, 非质心对接点相对位置和相对姿态四元数同时收敛, 稳态误差在10-5量级, 相对速度和相对角速度也同时收敛, 稳态误差在10-6量级, 不仅实现了姿轨同步控制, 而且控制精度高。图 6~7给出了控制力矩和控制力的变化曲线, 可以看出, 在达到最终相对运动状态并稳定之后, 控制力分量并不为零。这是因为以服务航天器的非质心对接点作为参考点来描述相对运动时, 最终稳定状态是对接点之间的相对稳定, 因此航天器本体仍存在一定的机动运动。可以看出, 该控制方法可以达到理想的控制效果, 纶足空间任务需求。

5 结论

本文针对实际交会对接情况下, 航天器的对接点往往并不在其质心的问题, 利用旋量描述, 推导并建立了航天器关于非质心点间姿轨耦合相对运动模型, 不仅避免了姿态解算的奇异, 而且对航天器控制系统无额外要求, 姿轨描述形式统一有利于协同控制器设计。基于此模型, 设计了结合非线性反馈控制的状态偏差对数PD控制律, 实现了姿轨同步且控制精度高, 为相对姿轨协同控制系统设计提供参考。

参考文献
[1] 朱战霞, 马家瑨, 樊瑞山. 基于螺旋理论描述的空间相对运动姿轨同步控制[J]. 航空学报, 2016, 37(9): 2788-2798.
Zhu Zhanxia, Ma Jiajin, Fan Ruishan. Synchronization Control of Relative Motion for Spacecraft with Screw Theory-Based Description[J]. Acta Aeronantica ET Astronautica Sinica, 2016, 37(9): 2788-2798. (in Chinese)
[2] Wang J Y, Liang H Z, Sun Z W, et al. Relative Motion Coupled Control Based on Dual Quaternion[J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 25(1): 102-113. DOI:10.1016/j.ast.2011.12.013
[3] 刘剑, 朱战霞, 马家瑨. 基于螺旋理论的航天器相对运动建模与控制[J]. 西北工业大学学报, 2013, 31(4): 590-595.
Liu Jian, Zhu Zhanxia, Ma Jiajin. Establishing Spacecraft's Relative Orbit and Attitude Couple Dynamics Model Based on Screw Theory[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2013, 31(4): 590-595. (in Chinese)
[4] Filipe N, Tsiotras P. Adaptive Position And Attitude-Tracking Controller for Satellite Proximity Operations Using Dual Quaternions[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2014, 38(4): 566-577.
[5] Filipe N, Kontitsis M, Tsiotras P. Extended Kalman Filter for Spacecraft Pose Estimation Using Dual Quaternions[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015, 38(9): 1625-1641. DOI:10.2514/1.G000977
[6] Pham H L, Perdereau V, Adomo B V, et al. Position and Orientation Control of Robot Manipulators Using Dual Quaternion Feedback[C]//International Conference on Intelligent Robots and Systems, 2010:658-663
Relative Motion Modeling and Control of Non-Centroid Contact Points of Spacecraft
Zhu Zhanxia1,2, Liu Hongqing1,2, Fan Ruishan1,2     
1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China;
2. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi'an 710072, China
Abstract: The docking port of the spacecraft in rendezvous and docking is usually located on the surface of the spacecraft. It is not located in the center of mass. However, the traditional relative motion modeling often uses the spacecraft centroid as the reference point, so that the actual operation requires additional planning for the docking port, will undoubtedly reduce the efficiency of operational tasks. In this paper, based on the spin description, the relative motion modeling method between the non-centroid of spacecraft is studied. Firstly, by introducing the appropriate conversion operator, the relative velocity rotation between non-centroid pairs is established, and then the coupled model of non-centroid relative motion and attitude is deduced by using the mechanics principle and spin theory. The model not only avoids the singularity of attitude calculation, but also has the unified form of description and there is no requirement for the spacecraft control system, which is conducive to collaborative controllers design. Based on this model, considering the influence of spatial perturbation and unknown disturbance, this paper designs a control law combining nonlinear feedback control and PD control based on logarithm of state deviation logarithm, and proves the stability and completes the simulation. The results show that the proposed method is feasible and has good control effect, and the docking state of the docking port can be realized accurately, which provides a theoretical reference for coupling modelling of space relative motion and the design of the coordinated control system.
Key words: rendezvous and docking     attitude and orbit coupling     spin description     controllers     Lyapunov functions    
西北工业大学主办。
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文章信息

朱战霞, 刘红庆, 樊瑞山
Zhu Zhanxia, Liu Hongqing, Fan Ruishan
航天器非质心对接点间相对运动建模与控制
Relative Motion Modeling and Control of Non-Centroid Contact Points of Spacecraft
西北工业大学学报, 2017, 35(5): 755-760.
Journal of Northwestern Polytechnical University, 2017, 35(5): 755-760.

文章历史

收稿日期: 2017-03-01

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