行星滚柱丝杠副(planetary roller screw mechanism, PRSM)以其高刚度、高承载和长寿命等特点在机电作动装置中得到了越来越广泛的应用[1], 如精密机床[2]、医疗装备[3]、船舶装备[4]以及多电飞行器的舵面控制装置[5]。
PRSM螺纹载荷分布特性是制约其承载能力、寿命、传动效率等性能指标的关键。关于载荷分布的研究, 杨家军等[6]基于赫兹接触理论, 研究了滚柱载荷分布和静刚度特性; Rys等[7]将滚动体等效成承受剪应力的矩形单元, 建立了载荷分布计算模型, 并与有限元解进行对比验证; Jones等[8]采用直接刚度法建立了PRSM刚度模型, 预测了螺纹载荷分布规律; 马尚君等[9]考虑了误差的影响, 建立了在丝杠受拉螺母受压条件下的载荷分布模型; Zhang等[10]基于变形协调关系, 建立了考虑PRSM在不同安装方式下的载荷分布模型, 并提出了载荷均布方法; Abevi等[11]采用梁、杆及非线性弹簧单元建立了反向式PRSM载荷分布模型, 并研究了螺母结构形式对载荷分布的影响规律。现有研究对于揭示PRSM载荷分布特性提供了重要理论支撑。然而, 螺距误差、多头螺纹的分头误差以及牙型误差等不但会导致载荷作用位置发生变化, 而且会造成多个螺纹牙承载不均。而且, PRSM在受载往复运行一段时间后, 摩擦热以及磨损必然产生, 因此在误差、摩擦热和磨损的耦合作用下, 作用在螺纹上的载荷将重新分布, 呈现出新的分布规律。
本文在前期仅考虑误差的载荷分布模型的基础上, 进一步考虑螺纹磨损和温度变化, 基于变形协调关系建立了新的PRSM载荷分布模型。研究了含误差和温度变化、含误差和磨损深度等因素对PRSM载荷分布的影响规律。
1 载荷分布建模 1.1 螺纹载荷分布模型本文所作假设与文献[9]一致。基于模型假设, 滚柱与丝杠和螺母的接触状态如图 1所示。
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| 图 1 载荷分布模型 |
图 1中, F表示轴向载荷, Fsi和Fni分别表示作用在丝杠侧和螺母侧第i个螺纹上的载荷; a和b表示丝杠侧第i-1个螺纹和第i个螺纹接触点, 同理, c和d表示螺母侧第i-1个螺纹和第i个螺纹接触点; 实线和虚线分别表示滚柱螺纹与丝杠和螺母螺纹接触发生弹性变形前后的状态; δs和δn分别表示丝杠侧和螺母侧弹性变形; hi用于表示第i个螺纹由误差和磨损产生的轴截面法向偏差; β和λs分别表示螺纹接触角和螺旋升角。
由文献[12]可知, PRSM载荷分布模型为
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(1) |
式中, Pi表示第i个螺纹所受法向载荷; E′s和E′n分别表示丝杠侧和螺母侧等效弹性模量; As和An分别表示丝杠和螺母等效横截面面积; M为滚柱个数; p为螺距; N为单个滚柱上的螺纹数; Cs和Cn分别为丝杠侧和螺母侧刚度系数。As、An、Cs和Cn由下式计算:
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(2) |
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(3) |
公式(3) 中, Dn表示螺母大径, dn表示螺母中径。
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(4) |
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(5) |
公式(4) 和(5) 中, e表示椭圆偏心率; K(e)表示第一类椭圆积分; ma为椭圆无量纲系数, ∑ρ为曲率和。e和K(e)由下式计算：
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(6) |
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(7) |
无量纲系数ma和mb可表示为：
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(8) |
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(9) |
式中, L(e)为第二类椭圆积分
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(10) |
式中, k=b/a, a和b为接触椭圆半长轴和半短轴。
1.2 含误差、螺纹磨损和温度变化的载荷分布模型基于图 1所示力平衡关系可得
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(11) |
假定每个滚柱载荷分布一致, 轴向载荷和法向载荷的关系可表示为
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(12) |
由图 1可知, 当丝杠侧或者螺母侧产生一个由误差或磨损导致的法向偏差hi时, 对于滚柱来说, 就相当于滚柱螺纹产生一个相同量级的反向偏差量。由于在第i-1到i个螺纹之间, PRSM受到丝杠及螺母对滚柱的轴向拉力及压力作用, 故在i-1与i螺纹处的丝杠侧和螺母侧的轴向偏差分别为
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(13) |
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(14) |
假定丝杠侧第i-1个螺纹和第i个螺纹之间的轴向偏差等于螺母侧, 联立(13) 式和(14) 式并假定两接触侧法向偏差一致, 可得
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(15) |
由赫兹接触可知, 丝杠侧和螺母侧接触变形可表示为：
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(16) |
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(17) |
为了简化计算, 将丝杠和螺母分别等效为圆柱和空心圆柱, 则丝杠受到的轴向拉伸量和螺母受到的轴向压缩量分别为：
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(18) |
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(19) |
根据赫兹接触变形与轴向变形关系, 在丝杠受轴向拉力和螺母受轴向压力作用下, 其相对应的丝杠伸长量及螺母的压缩量与在第i-1到i个螺纹的赫兹接触变形量的轴向分量之差相同。基于这一关系, 将(2)~(5) 式和(16)~(19) 式带入(15) 式, 并联立(11) 式和(12) 式, 可得含误差和螺纹磨损的法向载荷分布
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(20) |
误差是导致载荷分布发生波动的关键因素之一, PRSM中的螺距误差、分头误差以及牙型误差是主要误差源, 为了便于模型求解, 本文将上述误差均等效为螺距误差, 并假定该螺距误差服从正态分布, 图 2给出了平均误差为0, 标准方差为2.0×10-4mm的误差分布。其中, 误差量级依据实测确定。
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| 图 2 等效螺距误差分布 |
由于螺纹传力过程中滚滑并存, 而粘着磨损是滑动接触中最主要的磨损形式, 因此本文仅考虑粘着磨损, 并给出了磨损深度计算方法。由于滚柱和螺母的螺旋升角相同, 而且滚柱两端的直齿与固联于螺母内的内齿圈啮合, 理论上能够保证滚柱和螺母无滑动和相对轴向位移, 相反在丝杠侧, 滑动必然存在。
基于Archard磨损模型, 点接触理论磨损体积可由下式计算[13]
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(21) |
式中, Wi为磨损体积, 单位mm3; K为材料的磨损系数, 单位mm3/Nmm; L为滑动距离; σs为较软材料的屈服应力, 单位MPa。L可表示为
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(22) |
式中, rs为丝杠螺纹的等效半径, 单位mm; ns为丝杠转速, 单位r/min; t为总的滑动时间, 单位min。
第i个螺纹的磨损深度在法向的分量χi可表示为[14]
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(23) |
式中, ai和bi分别表示第i个椭圆接触面的半长轴和半短轴, 即
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(24) |
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(25) |
磨损深度在轴向的分量可表示为
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(26) |
将(21) 式和(22) 式带入(26) 式，(26) 式改写为
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(27) |
通常情况下, 为了改善接触特性并减小磨损, 丝杠、滚柱和螺母采用不同的材料进行组合。因此, 摩擦热引起的材料热膨胀量不一致, 进而导致接触位置和载荷分布发生变化。以丝杠侧为例, αs和αr分别表示丝杠和滚柱材料的热膨胀系数, 那么第i个螺纹由温度变化产生的偏差可表示为:γi=(i-1)p(αr-αs)(T-T0), T和T0分别表示温度变化值和参考温度, 本文假定T0=20℃, 如果αr>αs, 那么由温度变化引起的热膨胀会减小接触点处的偏差量, 可认为正偏差, 反之为负偏差。结合公式(20) 可得计及温度变化的螺纹载荷分布
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(28) |
由(28) 式可知, 该载荷分布模型包含了误差、磨损和温度变化项。
2 结果分析以某型号PRSM为例, 其相关参数如表 1所示。
| 参数 | 符号 | 单位 | 参考值 |
| 丝杠中径 | ds | mm | 24 |
| 螺纹头数 | n | 5 | |
| 螺距 | p | mm | 2 |
| 螺旋升角 | λs | ° | 7.555 |
| 接触角 | β | ° | 45 |
| 滚柱中径 | dr | mm | 8 |
| 螺母中径 | dn | mm | 40 |
| 螺母大径 | Dn | mm | 60 |
| 滚柱螺纹数 | Ν | 20 | |
| 滚柱个数 | Μ | 10 | |
| 丝杠/螺母弹性模量 | Es/Εn | Pa | 210×109 |
| 泊松比 | μs/μn/μr | 0.3 | |
| 软材料的屈服应力 | σs | MPa | 750 |
| 参考温度 | Tw | ℃ | 20 |
| 滚柱热膨胀系数 | αr | /℃ | 5×10-6 |
| 丝杠/螺母热膨胀系数 | αs | /℃ | 2×10-6 |
| 磨损系数 | K | mm3/Nmm | 1×10-10 |
为了验证本文模型的正确性, 将计算结果与文献[15]的有限元模型和文献[10]的弹簧模型进行对比。轴向载荷为30 000 N, 模型参数如表 1所示, 为了进行等效对比, 将(28) 式等号右侧第2项设为0, 对比结果如图 3所示。
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| 图 3 载荷分布结果对比 |
由图 3可知, 本文所建模型的载荷分布规律与文献[10, 15]均吻合较好, 相比于文献[10], 最大载荷由355.7 N变为366.1 N, 增加了2.84%;相比于文献[15], 最大载荷由396.7 N变为366.1 N, 减小了8.36%。本文模型、文献[10]和文献[15]的载荷均值分别为249.7 N、250 N和250 N, 相差很小, 因此对比结果表明, 本文所建模型正确且可用于载荷分布规律研究。
2.2 不同因素载荷分布对比含误差、磨损和温度变化的载荷分布对比如图 4所示。温度变化为40℃, 轴向载荷设为50 000 N, 丝杠转速为500 r/min, 滑动时间设为1 200 min, 采用图 2所示误差分布。
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| 图 4 含误差、磨损和温度变化的载荷分布对比 |
由图 4可知, 误差是导致载荷分布不均和产生波动的主因; 误差和磨损的综合作用加剧了载荷不均程度, 使得载荷波动更加剧烈。更重要的是当计入温度变化后, 载荷分布规律发生了变化, 尽管波动仍然存在, 但载荷分布相对变得均匀。由此可见, 在误差、磨损和温度变化耦合作用下, PRSM载荷分布呈现前端螺纹载荷减小, 后端螺纹载荷增大的趋势。由此可见, 温度变化对载荷分布规律有重要影响。
2.3 温度变化对载荷分布的影响由图 4可知, 温度变化改变的载荷分布规律, 本节假定误差分布和磨损深度保持不变, 轴向载荷为50 000 N, 丝杠转速为500 r/min。温度变化对载荷分布的影响如图 5所示。
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| 图 5 温度变化对载荷分布的影响 |
图 5所示结果表明, 随着温度变化量的增加, 与不考虑温度变化的载荷分布曲线相比, 2者以中间螺纹为基准, 呈近似对称分布。这是因为对于丝杠受拉螺母受压工况, 当滚柱热膨胀系数大于丝杠或螺母时, 其产生的正偏差可使远离受力端的螺纹进入啮合而承载; 同时, 受制于零件本身结构刚度对螺纹载荷分布的非线性影响, 原本由于结构刚度大承载小的螺纹在温度变化和外载荷的耦合作用下产生了较大载荷。4种温度工况中, 当温度变化达到80℃时, 最大载荷(第20个螺纹)比无温度变化的最大载荷(第1个螺纹)增大了9.2%, 由此可见, 须重视摩擦热或者环境所引起的温度变化, 其所导致的单个螺纹载荷增加会加剧摩擦磨损, 从而降低寿命甚至过早失效破坏。
另外, 由图 5可见, 通过控制温度变化是实现载荷均布的方法之一, 例如图 5所示当温度变化为40℃时, 载荷分布相对更加均匀。同时, 较大温度变化会导致后端螺纹载荷过快增加。因此, 每个螺纹承载大小取决于温度变化、误差和磨损的耦合作用所产生的偏差量, 偏差量的大小(正偏差或负偏差)最终决定螺纹是否处于啮合或者分离。
3 结论基于变形协调关系, 建立了考虑误差、磨损和温度变化耦合的PRSM载荷分布模型, 研究结果表明:误差是导致载荷分布不均及波动的主因; 磨损加剧了载荷不均程度, 使得载荷波动更加剧烈; 温度变化可改变载荷分布规律, 考虑温度变化前后的载荷分布以中间螺纹为基准, 呈近似对称分布。每个螺纹承载大小及分布规律取决于温度变化、误差和磨损的耦合作用所产生的偏差量, 因为偏差量的大小最终决定螺纹是否处于啮合或者分离状态。
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