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一直以来, 对自由声场中的窄带噪声进行有源噪声控制(active noise control, ANC)受到人们的重视。在一些噪声控制工程, 如变压器噪声的有源控制中, 要对噪声声功率进行全空间抑制[1]或在某个传播方向上设置有源声屏障[2], 通常需要布置足够多的次级源和误差传感器[3], 在控制范围较大的情况下, 甚至会使用包含数十个次级源和误差传感器的大规模自适应控制器。多通道自适应控制器最常用的算法为多通道滤波-x LMS算法(filtered-x lMS, FxLMS), 实现该算法需要获得每个次级声源和误差传感器之间的次级通路传递函数, 这使得算法实现需要花费可观的运算能力, 而且随着系统规模的增加, 系统的实现代价(如所需的运算能力, 硬件复杂度等)将快速增加。其他类别的有源控制也有类似特点, 这种考虑所有次级通路传递函数的控制策略称为集中式系统。为了解决大规模集中式系统存在的这一问题, Levine提出一种分散式的控制策略[4]。分散式系统将集中式系统分为多个独立的只包括一个误差传感器和一个次级源的控制单元, 每个单元只考虑自身的一个次级通路传递函数, 而不考虑其他控制单元的影响。对于同样规模的ANC系统, 分散式系统大大降低了系统设计难度和实现成本, 而且可以很容易地根据实际需要来扩大系统规模。然而, 与集中式系统相比, 分散式系统有以下缺点:① 由于控制单元之间的互相耦合, 系统不能确保稳定; ② 控制效果不一定能达到全局最优; ③ 误差传感器和次级源的数量必须相等。
工程中, 有时会采用误差传感器多于次级源的系统配置[5-6], 因此无法直接使用分散式系统。一种将集中式系统划分为多个独立的、规模稍小的多通道控制单元的系统称为集群式系统[7]。相比于分散式系统, 集群式系统的控制单元考虑了更多数量的误差传感器和次级源的相互影响, 因此可以期望比分散式系统有更好的全局性能(总降噪量)和更好的稳定性。同时, 集群式系统中的每个控制单元都可以使用不同数量的次级源和误差传感器, 能根据需要自由控制误差传感器和次级源的数量比例, 同时相比于集中式系统仍能保持较低的实现成本。实际中应用集群式控制系统, 我们关心的一个重要问题是:在次级源、误差传感器的位置和数量完全相同的情况下, 与使用集中式系统相比, 集群式系统的控制性能是怎样的?受哪些因素影响?我们期望的最理想的情况为, 集群式系统的控制性能与集中式系统完全一致, 即使不一致, 性能下降幅度也在可接受范围内。
目前为止, 已有许多关于集中式和分散式系统稳定性及收敛性能的研究[8-10]。本文对集群式系统应用在直升机舱室模型中的可行性做了初步的理论和实验分析[7], 研究了控制单元距离对系统稳定性的影响[11], 然而目前还没有关于集群式系统控制性能方面的研究。由于各种ANC控制方案均是在选择代价函数后, 通过各种方法调节次级源使代价函数达到最优(如最小二乘法直接计算次级源强度[12]、或性能曲面梯度搜索[13]等), 因此为了研究集群式系统的控制性能及其影响因素, 本文首先通过最小二乘法推导得到集群式最优次级源强度表达式, 并将其与集中式系统的最优次级源强度比较, 推导得出集群式系统等效于集中式系统的充分条件; 然后以在自由声场中产生声影区为背景, 通过仿真对等效条件进行验证; 最后对集群式系统控制性能的影响因素进行了分析研究。
1 理论分析 1.1 集群ANC系统的最优次级源强度为了便于研究集群式ANC系统的特性, 我们假设:① 空间中媒质为理想流体; ② 每个次级源均为一个单极子点声源; ③ 误差传感器为理想声压传感器, 对声场无影响。由于各种复杂的声源可用多个单极子点源表示, 因此假设初级声源为单极子点阵。
将次级源、误差传感器划分成数个互相独立的组, 每组次级源和误差传感器组成一个控制单元。假设集群式ANC系统由N个控制单元组成, 第n个控制单元中包含Jn个次级源, Kn个误差传感器; 初级声源由I个点声源组成。于是, 在该控制单元误差传感器收到的声压PTn为
(1) |
式中, PPn为初级源产生的声压, 可由初级源强度矢量Qp和声阻抗矩阵ZPn表示
(2) |
(3) |
式中,zPn(k, i)表示第n个控制单元中的第k个误差传感器到第i个初级源的声阻抗。
(1) 式中的PSn为所有次级源在第n个控制单元的误差传感器处产生的声压矢量, 有
(4) |
式中,ZSn为第n个控制单元的Kn个误差传感器到所有次级源的声阻抗矩阵, Qs为所有次级源的强度矢量
(5) |
(6) |
如果以ZSnm表示第n个控制单元误差传感器到第m个控制单元次级源的声阻抗矩阵
(7) |
那么ZSnn表示控制单元自身的声阻抗矩阵, 称为控制单元子阻抗矩阵。QSm表示第m个控制单元的次级源强度
(8) |
那么将(7) 式、(8) 式代入(4) 式得
(9) |
由于集群式ANC系统中控制单元之间是独立的, 因此各个控制单元均以自身误差传感器处声压的平方和为代价函数, 这样N个控制单元就有N个代价函数, 第n个控制单元的代价函数为
(10) |
将(1) 式、(9) 式代入(10) 式并展开得
(11) |
可以看出, 第n个控制单元的性能曲面不仅与自身的次级源强度有关, 还受到其他控制单元次级源的影响, 这说明各个控制单元是互相耦合的。(11) 式中, Fn对次级源强度QSn求偏导得
(12) |
由于控制单元互相耦合, 因此必须联合求解它们的最优次级源强度。对于所有的N个独立控制单元, 都令Ψn=0, 并联立N个方程, 得方程组
(13) |
定义系统声阻抗矩阵为
(14) |
控制单元声阻抗矩阵为
(15) |
将初级源产生的声压和初级源到误差传感器的阻抗写为
(16) |
(17) |
式中,PPn为初级源在第n个控制单元的误差传感器处产生的声压, ZPn为初级源到第n个控制单元的误差传感器的声阻抗矩阵; 并令
(18) |
式中,
(19) |
其中上标“+”表示求Moore-Penrose广义逆。
至此求出了集群式系统的最优次级源强度QS*。值得注意的是, 若集群式系统N=1, 即只有一个控制单元, 此时的集群式系统其实就是集中式系统, 有
(20) |
若每个控制单元都有Kn=Jn=1, 显然此时的集群系统其实就是分散式系统,
由于集中式系统有最优的全局控制性能, 因此有必要研究集群式系统达到这一最优性能的充分条件。如果在初级源各种参数不变的前提下, 系统次级源和误差传感器数量和位置都相同时, 采用集群式系统和集中式系统分别得到的最优次级源强度是相等的, 那么则称它们是等效的。
由(19) 式、(20) 式, QS*=QSg*可化为
(21) |
首先引入定理:对于A1∈Cm×n, A2∈Cn×l, 当rank(A1)=rank(A2)=n时, 有(A1A2)+=A2+A1+且A1+A1=A2A2+=In成立(证明见附录)。
那么只要满足
以在自由声场中产生声影区为例, 考虑简化的物理模型如图 1所示[14]。系统处于自由声场内, 初级源、次级源和误差传感器均为矩形阵列, 取以坐标轴原点为圆心的球面为观测面, 通过分别计算有次级源和无次级源时, 观测平面上各点的降噪量, 以及所有误差点控制后的声压平方和即控制系统的最小均方误差(MSE), 来衡量系统控制性能。
为了比较系统产生声影区的性能, 选择以O点为球心, 半径为ro(ro>re)的球面Ω作为观察面, 计算控制前后观察面上的平均降噪量, 定义降噪量大于10 dB的位置为静区。Ω内的降噪量和静区比例越大, 系统产生声影区的性能越好。
设空气密度为ρ=1.205 kg/m3, 声速为c=344 m/s。初级声源为6×6的正方形单极点源阵列, 点源之间距离为0.1 m, 各点源声源强度相位均一致, 声源强度幅值分布如图 2所示, 频率f为200 Hz。
2.2在初级源参数不变的前提下, 当确定系统误差传感器和次级源的数量和位置后, ZS也就确定了下来, 因此根据(19) 式, 系统最优次级源强度只受
首先, 研究控制单元次级源数与误差传感器数的影响。首先取使ZS满秩的系统布局, 如图 3所示。
次级源阵列位于初级源阵列前λ/4处, 次级源之间距离为λ/4;误差传感器阵列位于次级源阵列前λ/4处, 传感器之间距离也为λ/4。
次级源和误差传感器按图 3由左至右, 由上至下顺序编号, 并以n:(p~q)表示编号为p~q的次级源或误差传感器属于第n个控制单元。
显然控制单元的秩不可能大于单元包含的次级源数与误差传感器数中的较小值, 因此rank(
控制单元1:次级源为1:(1~r-2), 误差传感器为1:(1~14);
控制单元2:次级源为2:(r-1~16), 误差传感器为2:(15~16)。
这样划分的
随之减小, 在满秩时为0。系统在r0=10 m处的观测球面的横截面上的声压分布、声影区中产生的平均降噪量和静区比例分别如图 4b)、图 4c)所示, 同样可以看到, rank(
其次,
方式 | 次级源划分 | 误差传感器划分 | rank() |
1 | 1:(1~4), 2:(5~8), 3:(9~12), 4:(13~16) | 1:(1, 2, 7, 8), 2:(3~6), 3:(9~12), 4:(13~16) | 14 |
2 | 1:(1~4), 2:(5~8), 3:(9~12), 4:(13~16) | 1:(1~4), 2:(5~8), 3:(9~12), 4:(13~16) | 16 |
综上所述, 在进行集群式控制系统设计时, 为了使系统具有更好的性能, 应保证
由于集群式系统只有在误差传感器数量不大于次级源的情况下, 才有可能等效于集中系统, 而许多实际工程中, 控制系统的误差传感器数量会多于次级源, 此时系统不可能满足等效条件, 其性能必然差于采用集中式系统, 因此有必要研究这种情况下影响集群式系统的性能损失的因素。
设定系统有16个次级源, 24个误差传感器, 如图 7所示, 并按表 2划分控制单元。前4种划分均满足2.2节中总结出的2项系统配置原则, 各个控制单元的误差传感器均多于次级源, 且没有互相对称的分布, 因此
控制单 元数 |
次级源划分 | 误差传感器划分 | rank() |
1 | 1:(1~16) | 1:(1~24) | 16 |
2 | 1:(1~8), 2:(9~16) | 1:(1~12), 2:(13~24) | 16 |
4 | 1:(1, 2, 5, 6), 2:(3, 4, 7, 8), 3:(9, 10, 13, 14), 4:(11, 12, 15, 16) |
1:(1~3, 7~9), 2:(4~6, 10~12), 3:(13~15, 19~21), 4:(16~18, 22~24) |
16 |
8 | 1:(1, 2), 2:(3, 4), 3:(5, 6), 4:(7, 8), 5:(9, 10), 6:(11, 12), 7:(13, 14), 8:(15, 16) |
1:(1~3), 2:(4~6), 3:(7~9), 4:(10~12), 5:(13~15), 6:(16~18), 7:(19~21), 8:(22~24) |
16 |
8 | 1:(1), 2:(2~4), 3:(5), 4:(6~8), 5:(9), 6:(10~12), 7:(13), 8:(14~16) |
1:(1~3), 2:(4), 3:(5~9), 4:(10), 5:(11~15), 6:(16), 7:(17~21), 8:(22~24) |
10 |
可以看到, 在
因此可以得出结论, 虽然在误差传感器多于次级源的情况下, 由于不满足等效条件, 集群式系统不可能达到和集中式系统相等的控制效果, 但是通过恰当地划分控制单元, 使集群式系统满足2.2节中总结出的2项系统配置原则, 就可以将性能损失控制在很小的范围内。
3 结论本文对自由声场中集群式ANC系统的性能和控制单元配置的影响进行了研究, 得到的主要结论如下:
1) 在相同的系统次级源和误差传感器配置下, 将集中式系统分割成包含多个控制单元的集群式系统时, 集群式系统等效于集中式系统的充分条件是:误差传感器数量小于或等于次级源数量, 且控制单元声阻抗矩阵
2) 针对自由声场的情况, 研究发现
3) 在系统误差传感器大于次级源数时, 虽然不满足等效条件, 但是通过恰当地划分控制单元, 使控制单元声阻抗矩阵
本文研究并没有涉及某个具体的控制算法在集群式系统下是否稳定, 根据集群式控制单元划分的不同, 如FxLMS算法等控制算法可能会无法收敛, 因此具体的控制算法应用在集群式系统中的稳定条件还需要进一步研究。
附录定理:设A1∈Cm×n, A2∈Cn×l, 当rank(A1)=rank(A2)=n时, 有(A1A2)+=A2+A1+, 且A1+A1=A2A2+=In。
证:若A∈Cm×n, rank(A)=r,
A有最大秩分解A=BC(其中B∈Cm×r, C∈Cr×n且rank(B)=rank(C)=r),
A1=A1In是A1的最大秩分解,
类似可得A2+=A2H(A2A2H)-1, 且A2A2+=In,
通过直接验证可得(A1A2)+=A2+A1+。
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