自由声场中集群式有源控制系统降噪性能的影响因素研究
玉昊昕1, 陈克安1, 魏秦华2     
1. 西北工业大学 航海学院, 陕西 西安 710072;
2. 中航工业陕西飞机工业(集团)有限公司, 陕西 汉中 723213
摘要: 与集中式有源控制系统相比,集群式系统具有实现成本低、扩展灵活的优点,因此其降噪性能的影响因素研究对工程应用有指导意义。首先对集群式系统进行建模,并用最小二乘法求解出最优次级源强度;然后推导得出集群式系统与集中式系统等效的充分条件;最后,分析了不满足等效条件时,自由空间中控制单元划分和布局方式对降噪性能的影响。结果表明,集群式系统与集中式系统等效的充分条件是:系统误差传感器数小于或等于次级源数,并且控制单元声阻抗矩阵与系统声阻抗矩阵都满秩。在不满足上述条件时,只要满足以下2个条件,集群式系统的性能损失很小:a)各控制单元内误差传感器数要不都大于等于次级源数,要不都小于等于次级源数;b)各控制单元子阻抗矩阵满秩。
关键词: 有源噪声控制     自由声场     集群式控制系统     声阻抗矩阵    

一直以来, 对自由声场中的窄带噪声进行有源噪声控制(active noise control, ANC)受到人们的重视。在一些噪声控制工程, 如变压器噪声的有源控制中, 要对噪声声功率进行全空间抑制[1]或在某个传播方向上设置有源声屏障[2], 通常需要布置足够多的次级源和误差传感器[3], 在控制范围较大的情况下, 甚至会使用包含数十个次级源和误差传感器的大规模自适应控制器。多通道自适应控制器最常用的算法为多通道滤波-x LMS算法(filtered-x lMS, FxLMS), 实现该算法需要获得每个次级声源和误差传感器之间的次级通路传递函数, 这使得算法实现需要花费可观的运算能力, 而且随着系统规模的增加, 系统的实现代价(如所需的运算能力, 硬件复杂度等)将快速增加。其他类别的有源控制也有类似特点, 这种考虑所有次级通路传递函数的控制策略称为集中式系统。为了解决大规模集中式系统存在的这一问题, Levine提出一种分散式的控制策略[4]。分散式系统将集中式系统分为多个独立的只包括一个误差传感器和一个次级源的控制单元, 每个单元只考虑自身的一个次级通路传递函数, 而不考虑其他控制单元的影响。对于同样规模的ANC系统, 分散式系统大大降低了系统设计难度和实现成本, 而且可以很容易地根据实际需要来扩大系统规模。然而, 与集中式系统相比, 分散式系统有以下缺点:① 由于控制单元之间的互相耦合, 系统不能确保稳定; ② 控制效果不一定能达到全局最优; ③ 误差传感器和次级源的数量必须相等。

工程中, 有时会采用误差传感器多于次级源的系统配置[5-6], 因此无法直接使用分散式系统。一种将集中式系统划分为多个独立的、规模稍小的多通道控制单元的系统称为集群式系统[7]。相比于分散式系统, 集群式系统的控制单元考虑了更多数量的误差传感器和次级源的相互影响, 因此可以期望比分散式系统有更好的全局性能(总降噪量)和更好的稳定性。同时, 集群式系统中的每个控制单元都可以使用不同数量的次级源和误差传感器, 能根据需要自由控制误差传感器和次级源的数量比例, 同时相比于集中式系统仍能保持较低的实现成本。实际中应用集群式控制系统, 我们关心的一个重要问题是:在次级源、误差传感器的位置和数量完全相同的情况下, 与使用集中式系统相比, 集群式系统的控制性能是怎样的?受哪些因素影响?我们期望的最理想的情况为, 集群式系统的控制性能与集中式系统完全一致, 即使不一致, 性能下降幅度也在可接受范围内。

目前为止, 已有许多关于集中式和分散式系统稳定性及收敛性能的研究[8-10]。本文对集群式系统应用在直升机舱室模型中的可行性做了初步的理论和实验分析[7], 研究了控制单元距离对系统稳定性的影响[11], 然而目前还没有关于集群式系统控制性能方面的研究。由于各种ANC控制方案均是在选择代价函数后, 通过各种方法调节次级源使代价函数达到最优(如最小二乘法直接计算次级源强度[12]、或性能曲面梯度搜索[13]等), 因此为了研究集群式系统的控制性能及其影响因素, 本文首先通过最小二乘法推导得到集群式最优次级源强度表达式, 并将其与集中式系统的最优次级源强度比较, 推导得出集群式系统等效于集中式系统的充分条件; 然后以在自由声场中产生声影区为背景, 通过仿真对等效条件进行验证; 最后对集群式系统控制性能的影响因素进行了分析研究。

1 理论分析 1.1 集群ANC系统的最优次级源强度

为了便于研究集群式ANC系统的特性, 我们假设:① 空间中媒质为理想流体; ② 每个次级源均为一个单极子点声源; ③ 误差传感器为理想声压传感器, 对声场无影响。由于各种复杂的声源可用多个单极子点源表示, 因此假设初级声源为单极子点阵。

将次级源、误差传感器划分成数个互相独立的组, 每组次级源和误差传感器组成一个控制单元。假设集群式ANC系统由N个控制单元组成, 第n个控制单元中包含Jn个次级源, Kn个误差传感器; 初级声源由I个点声源组成。于是, 在该控制单元误差传感器收到的声压PTn

(1)

式中, PPn为初级源产生的声压, 可由初级源强度矢量Qp和声阻抗矩阵ZPn表示

(2)
(3)

式中,zPn(k, i)表示第n个控制单元中的第k个误差传感器到第i个初级源的声阻抗。

(1) 式中的PSn为所有次级源在第n个控制单元的误差传感器处产生的声压矢量, 有

(4)

式中,ZSn为第n个控制单元的Kn个误差传感器到所有次级源的声阻抗矩阵, Qs为所有次级源的强度矢量

(5)
(6)

如果以ZSnm表示第n个控制单元误差传感器到第m个控制单元次级源的声阻抗矩阵

(7)

那么ZSnn表示控制单元自身的声阻抗矩阵, 称为控制单元子阻抗矩阵。QSm表示第m个控制单元的次级源强度

(8)

那么将(7) 式、(8) 式代入(4) 式得

(9)

由于集群式ANC系统中控制单元之间是独立的, 因此各个控制单元均以自身误差传感器处声压的平方和为代价函数, 这样N个控制单元就有N个代价函数, 第n个控制单元的代价函数为

(10)

将(1) 式、(9) 式代入(10) 式并展开得

(11)

可以看出, 第n个控制单元的性能曲面不仅与自身的次级源强度有关, 还受到其他控制单元次级源的影响, 这说明各个控制单元是互相耦合的。(11) 式中, Fn对次级源强度QSn求偏导得

(12)

由于控制单元互相耦合, 因此必须联合求解它们的最优次级源强度。对于所有的N个独立控制单元, 都令Ψn=0, 并联立N个方程, 得方程组

(13)

定义系统声阻抗矩阵为

(14)

控制单元声阻抗矩阵为

(15)

将初级源产生的声压和初级源到误差传感器的阻抗写为

(16)
(17)

式中,PPn为初级源在第n个控制单元的误差传感器处产生的声压, ZPn为初级源到第n个控制单元的误差传感器的声阻抗矩阵; 并令, 可将(13) 式写为矩阵形式得

(18)

式中,的逆不一定存在, 可以通过Moore-Penrose广义逆求得QS的最佳逼近解为

(19)

其中上标“+”表示求Moore-Penrose广义逆。

至此求出了集群式系统的最优次级源强度QS*。值得注意的是, 若集群式系统N=1, 即只有一个控制单元, 此时的集群式系统其实就是集中式系统, 有, 因此(19) 式可以写为

(20)

若每个控制单元都有Kn=Jn=1, 显然此时的集群系统其实就是分散式系统, 从对角分块矩阵变为对角矩阵, 对角线上的每个元素为各个控制单元自身的声阻抗。这样集中式、分散式和集群式系统就能在同一框架下进行比较研究。

1.2 集群式系统等效于集中式系统的充分条件

由于集中式系统有最优的全局控制性能, 因此有必要研究集群式系统达到这一最优性能的充分条件。如果在初级源各种参数不变的前提下, 系统次级源和误差传感器数量和位置都相同时, 采用集群式系统和集中式系统分别得到的最优次级源强度是相等的, 那么则称它们是等效的。

由(19) 式、(20) 式, QS*=QSg*可化为

(21)

首先引入定理:对于A1Cm×n, A2Cn×l, 当rank(A1)=rank(A2)=n时, 有(A1A2)+=A2+A1+A1+A1=A2A2+=In成立(证明见附录)。

那么只要满足, 则有, 则(21) 式成立。因此, 集群式系统等效于集中式系统的充分条件为:误差传感器数量小于或等于次级源数量, 且控制单元声阻抗矩阵与系统声阻抗矩阵Zs满秩。

2 集群式系统控制性能的影响因素 2.1 仿真模型

以在自由声场中产生声影区为例, 考虑简化的物理模型如图 1所示[14]。系统处于自由声场内, 初级源、次级源和误差传感器均为矩形阵列, 取以坐标轴原点为圆心的球面为观测面, 通过分别计算有次级源和无次级源时, 观测平面上各点的降噪量, 以及所有误差点控制后的声压平方和即控制系统的最小均方误差(MSE), 来衡量系统控制性能。

图 1 初级源、次级源、误差传感器和观测面的空间分布

为了比较系统产生声影区的性能, 选择以O点为球心, 半径为ro(ro>re)的球面Ω作为观察面, 计算控制前后观察面上的平均降噪量, 定义降噪量大于10 dB的位置为静区。Ω内的降噪量和静区比例越大, 系统产生声影区的性能越好。

设空气密度为ρ=1.205 kg/m3, 声速为c=344 m/s。初级声源为6×6的正方形单极点源阵列, 点源之间距离为0.1 m, 各点源声源强度相位均一致, 声源强度幅值分布如图 2所示, 频率f为200 Hz。

图 2 声源强度分布
2.2 秩的影响

在初级源参数不变的前提下, 当确定系统误差传感器和次级源的数量和位置后, ZS也就确定了下来, 因此根据(19) 式, 系统最优次级源强度只受影响, 而只受控制单元划分方式影响。根据不同的系统布局和单元划分方式, ZS不一定满秩, 因此系统不一定满足等效条件, 将导致集群式系统的性能差于集中式系统。

首先, 研究控制单元次级源数与误差传感器数的影响。首先取使ZS满秩的系统布局, 如图 3所示。

图 3 次级源数等于误差传感器数的系统布局

次级源阵列位于初级源阵列前λ/4处, 次级源之间距离为λ/4;误差传感器阵列位于次级源阵列前λ/4处, 传感器之间距离也为λ/4。

次级源和误差传感器按图 3由左至右, 由上至下顺序编号, 并以n:(p~q)表示编号为p~q的次级源或误差传感器属于第n个控制单元。

显然控制单元的秩不可能大于单元包含的次级源数与误差传感器数中的较小值, 因此rank()的值不大于分配到各个控制单元的误差传感器数与次级源数中的较小值, 因此即使所有控制单元的子阻抗矩阵ZSnn均满秩, 但是它们的和不等于rank(ZS), 也将导致不满秩。可以假设控制单元数为2, 设r=rank(), 依次取r=3, 4, …, 15, 按下述划分即可得到的秩为r的划分方式:

控制单元1:次级源为1:(1~r-2), 误差传感器为1:(1~14);

控制单元2:次级源为2:(r-1~16), 误差传感器为2:(15~16)。

这样划分的中各个分块矩阵均不是方阵, 因此不满秩。显然系统为集中式系统时有r=16。图 4a)为不同rank()的控制单元划分下的MSE曲线, 而控制系统的MSE反映了系统的全局控制性能。可看到, 总得来说随着rank()的增大, MSE

图 4 rank()对系统MSE、横截面声压、平均降噪量和静区比例的影响

随之减小, 在满秩时为0。系统在r0=10 m处的观测球面的横截面上的声压分布、声影区中产生的平均降噪量和静区比例分别如图 4b)图 4c)所示, 同样可以看到, rank()越大, 系统在声影区产生的降噪量和静区比例越大, 说明rank()越大, 系统性能越好, 越接近集中式系统。

其次, 的秩除了受单元次级源和误差传感器数量的影响外, 还会受布放位置的影响。导致控制单元不满秩的另一种情况是控制单元自身的子阻抗矩阵中存在线性相关的行或列。显然, 在自由声场中, 一种可能性是该控制单元中存在多个误差传感器到其他次级源的声阻抗向量相等, 反之亦然, 也就是说该控制单元的误差传感器和次级源之间存在互相对称的关系。在图 5所示例子中共有16个次级源和16个误差传感器, 其中1、2号与7、8号误差传感器关于次级源1~8号组成的阵列对称, 此时计算得ZS满秩。按表 1的2种方式划分为4个控制单元, 其中划分方式1的1号控制单元包含对称的误差传感器, 其声阻抗矩阵的秩为2, 而其他控制单元的秩为4, 从而使rank()=14, 不满秩。划分方式2重新分配了误差传感器, 将互相对称的1、2与7、8号传感器分别划分到控制单元1、2中, 因此各个控制单元中不存在对称关系, 满秩。控制系统两种划分方式的MSE如图 6所示, 按方式2划分的系统MSE为0, 误差传感器处的噪声被完全抵消, 达到最优控制效果, 与集中式系统等效; 而按方式1划分的系统由于1号控制单元的对称关系使不满秩, 导致降噪性能远弱于方式2。

图 5 误差传感器关于次级源阵列对称的系统布局
图 6 2种控制单元划分方式的系统MSE对比
表 1 对称时的控制单元划分方式
方式 次级源划分 误差传感器划分 rank()
1 1:(1~4), 2:(5~8), 3:(9~12), 4:(13~16) 1:(1, 2, 7, 8), 2:(3~6), 3:(9~12), 4:(13~16) 14
2 1:(1~4), 2:(5~8), 3:(9~12), 4:(13~16) 1:(1~4), 2:(5~8), 3:(9~12), 4:(13~16) 16

综上所述, 在进行集群式控制系统设计时, 为了使系统具有更好的性能, 应保证有尽量大的秩。为此系统配置应遵循以下2个原则:① 各个控制单元的误差传感器数量均应大于等于或小于等于次级源数, 不能出现有的单元误差传感器比次级源多, 有的比次级源少的情况; ② 在划分控制单元时, 应避免单元内次级源和误差传感器间的声阻抗矩阵出现线性相关的行或列, 对于自由声场而言, 同一控制单元内不能出现多个次级源关于其他误差传感器位置对称分布, 或多个误差传感器关于其他次级源位置对称分布的情况。

2.3 误差传感器多于次级源的情况

由于集群式系统只有在误差传感器数量不大于次级源的情况下, 才有可能等效于集中系统, 而许多实际工程中, 控制系统的误差传感器数量会多于次级源, 此时系统不可能满足等效条件, 其性能必然差于采用集中式系统, 因此有必要研究这种情况下影响集群式系统的性能损失的因素。

设定系统有16个次级源, 24个误差传感器, 如图 7所示, 并按表 2划分控制单元。前4种划分均满足2.2节中总结出的2项系统配置原则, 各个控制单元的误差传感器均多于次级源, 且没有互相对称的分布, 因此满秩, rank()=16;第5种划分中第1、3、5、7单元的次级源少于误差传感器, 但是第2、4、6单元次级源多于误差传感器, 不满足原则1, 有rank()=10。观察面半径取ro=10, 在z=0水平面上与观察面的横截面上, 控制前后的声压如图 8所示, 不同划分方式系统的MSE如表 3所示。

图 7 误差传感器多于次级源的系统布局
图 8 误差传感器多于次级源的横截面声压分布
表 2 误差传感器多于次级源的控制单元划分方式
控制单
元数
次级源划分 误差传感器划分 rank()
1 1:(1~16) 1:(1~24) 16
2 1:(1~8), 2:(9~16) 1:(1~12), 2:(13~24) 16
4 1:(1, 2, 5, 6), 2:(3, 4, 7, 8),
3:(9, 10, 13, 14), 4:(11, 12, 15, 16)
1:(1~3, 7~9), 2:(4~6, 10~12),
3:(13~15, 19~21), 4:(16~18, 22~24)
16
8 1:(1, 2), 2:(3, 4), 3:(5, 6), 4:(7, 8),
5:(9, 10), 6:(11, 12), 7:(13, 14), 8:(15, 16)
1:(1~3), 2:(4~6), 3:(7~9), 4:(10~12),
5:(13~15), 6:(16~18), 7:(19~21), 8:(22~24)
16
8 1:(1), 2:(2~4), 3:(5), 4:(6~8),
5:(9), 6:(10~12), 7:(13), 8:(14~16)
1:(1~3), 2:(4), 3:(5~9), 4:(10),
5:(11~15), 6:(16), 7:(17~21), 8:(22~24)
10
表 3 误差传感器多于次级源的系统MSE
控制单元数 1 2 4 8 8
rank() 16 16 16 16 10
MSE(Pa2) 25.58 26.03 26.27 26.71 890.87

可以看到, 在满秩时虽然MSE随着控制单元数的增加略有上升, 其整体性能仍然与集中式系统非常接近, 而此时不同划分的系统控制后在横截面上形成的声压分布基本一致, 控制单元数量的影响很小。当控制单元划分使不满秩时, 与2.2节的结论一致, 系统的控制性能大大下降了。

因此可以得出结论, 虽然在误差传感器多于次级源的情况下, 由于不满足等效条件, 集群式系统不可能达到和集中式系统相等的控制效果, 但是通过恰当地划分控制单元, 使集群式系统满足2.2节中总结出的2项系统配置原则, 就可以将性能损失控制在很小的范围内。

3 结论

本文对自由声场中集群式ANC系统的性能和控制单元配置的影响进行了研究, 得到的主要结论如下:

1) 在相同的系统次级源和误差传感器配置下, 将集中式系统分割成包含多个控制单元的集群式系统时, 集群式系统等效于集中式系统的充分条件是:误差传感器数量小于或等于次级源数量, 且控制单元声阻抗矩阵与系统声阻抗矩阵Zs满秩。此充分条件在推导过程中没有限定具体的声场条件, 因此是广泛适用的。

2) 针对自由声场的情况, 研究发现的秩与系统性能成正相关关系, 并得出了两个集群式系统配置应遵循的原则:① 各个控制单元的误差传感器数量要都不大于等于次级源数, 要不都小于等于次级源数; ② 在划分控制单元时, 单元内次级源和误差传感器之间的位置不能互相对称。

3) 在系统误差传感器大于次级源数时, 虽然不满足等效条件, 但是通过恰当地划分控制单元, 使控制单元声阻抗矩阵有尽可能大的秩, 可以将性能损失控制在很小的范围内。

本文研究并没有涉及某个具体的控制算法在集群式系统下是否稳定, 根据集群式控制单元划分的不同, 如FxLMS算法等控制算法可能会无法收敛, 因此具体的控制算法应用在集群式系统中的稳定条件还需要进一步研究。

附录

定理:设A1Cm×n, A2Cn×l, 当rank(A1)=rank(A2)=n时, 有(A1A2)+=A2+A1+, 且A1+A1=A2A2+=In

证:若ACm×n, rank(A)=r,

A有最大秩分解A=BC(其中BCm×r, CCr×n且rank(B)=rank(C)=r),

A1=A1InA1的最大秩分解,

类似可得A2+=A2H(A2A2H)-1, 且A2A2+=In,

通过直接验证可得(A1A2)+=A2+A1+

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Influence Factors of Noise Reduction for a Cluster Active Control System in Free Space
Yu Haoxin1, Chen Kean1, Wei Qinhua2     
1. School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China;
2. Shaanxi Aircraft Corporation, Hanzhong 723213, China
Abstract: Comparing with the centralized active noise control system, a cluster system has the advantages of low implementation costs and flexible extensions, hence it is helpful to examine the influence factors of noise reduction performance of the cluster active system for engineering applications. Firstly, a theoretical model is established and the optimal strengths of secondary sources are obtained using the least square method. Then sufficient conditions related to equivalent performances of the cluster and centralized system are derived. Finally, the influence of unit partition and layout on noise reduction is analyzed when the equivalent condition cannot meet in a free space. The results demonstrate that when the number of the error sensors are less than or equal to that of secondary sources, and the acoustic impedance matrices of the control units and the system are both full rank, the cluster system is equivalent to the centralized system. When the equivalent condition isn't met, the performance of the cluster system degrades small if for each unit both of the following conditions are satisfied: a) the number of the error sensors should be greater than or equal to, or all smaller than or equal to the number of the secondary sources; b) the sub-impedance matrices should be full rank.
Key words: active noise control     free space     cluster control system     acoustic impedance matrix    
西北工业大学主办。
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玉昊昕, 陈克安, 魏秦华
Yu Haoxin, Chen Kean, Wei Qinhua
自由声场中集群式有源控制系统降噪性能的影响因素研究
Influence Factors of Noise Reduction for a Cluster Active Control System in Free Space
西北工业大学学报, 2017, 35(4): 635-642.
Journal of Northwestern Polytechnical University, 2017, 35(4): 635-642.

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收稿日期: 2017-02-12

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