水声换能器基阵是声呐设备的重要装置, 为了提高声呐的探测能力, 要求换能器基阵朝着低频、大功率、宽带的方向发展。在这样的应用背景下, 基阵多工作在低频条件下, 并采用小间距的结构, 此时阵元间的互辐射阻抗对基阵性能的影响非常明显^[1-2]。

目前, 水声基阵阵元间互辐射阻抗已经得到了广泛研究^[3-4], Haksue Lee等人^[5]根据Pritchard提出的近似法计算了圆面活塞线列阵中, 互辐射阻抗与阵的总辐射阻抗的关系, 但并未就阵列的优化得出一般性的结论。Kun-Chou Lee^[6]在自适应阵LMS算法中引入了阵元间互辐射阻抗的影响, 结果表明在有干扰信号的情况下, 考虑了辐射阻抗的LMS算法比传统的LMS算法更加精确。侯宏等^[7]运用电、力、声类比方法, 研究了有源消声中声源电声阻抗变化规律, 分析了声源辐射阻抗对电阻抗的影响关系, 据此研究了利用辐射阻抗消声的效果。何正耀^[8]根据基阵的驱动电压与互辐射阻抗、振速之间的关系, 结合优化方法计算出换能器阵驱动电压的加权向量从而获得低旁瓣的发射波束。上述的研究虽涉及了阵元间的互辐射阻抗, 但均未具体针对基阵的某个参数给出修正算法。在经典的基阵理论中, 基阵的指向性图计算均是在忽略阵元间互辐射阻抗的情况下进行的, 这样做虽然能够简化计算, 但并不能反映基阵指向性图的实际情况。本文针对基阵的加权指向性图的计算, 将互辐射阻抗引入基阵辐射声场的计算中, 修正基阵加权指向性函数的计算公式, 为基阵的设计提供理论依据。

1 基本理论1.1 互辐射阻抗

在基阵中, 当阵元表面振动时, 推动周围介质振动, 辐射出声波, 与此同时阵元也处在整个基阵的辐射声场当中。因此, 阵元不仅受到机械策动力的作用, 也受到声场反作用力F_r的作用, F_r为辐射声压在阵元表面的积分, 定义F_r与阵元表面振速u的比值为辐射阻抗

(1)

(2)

式中, p为声场在阵元辐射表面的声压分布, S为阵元辐射表面面积, 负号表示作用力与机械策动力的方向相反。在由N个阵元构成的任意基阵中, 阵元的标号分别为1, 2, 3, …, N, 其表面振速分别为u₁, u₂, u₃…u_N。当基阵工作时, 基阵中的每个阵元都处于整个基阵的辐射声场中, 它表面的声压是所有N个阵元声压的叠加, 所受的声场反作用力也是所有N个阵元声场力的叠加。以i号阵元为例, 当基阵工作时, 其所受声场的总反作用力为F_i

(3)

式中, f_ii为i号阵元自身辐射声场在自身辐射表面产生的反作用力, f_ij为第j号阵元辐射声场在i号阵元辐射表面上产生的反作用力。根据辐射阻抗的定义, i号阵元的总辐射阻抗可表示为

(4)

式中, Z_ii为i号阵元的自辐射阻抗, f_ij/u_i为第j号阵元由于声场互耦作用引起的互辐射阻抗。对于第j号阵元产生的声场, 在均匀振幅分布情况下, 辐射声场的声压和辐射表面的振速成正比, 因此f_ij可以写作

(5)

同时, (4) 式可以改写为

(6)

式中, Z_ij有阻抗的量纲, 它表示第j号阵元单位振速声场作用于i号阵元表面上的力, 称为第j号阵元对i号阵元的互辐射阻抗。为了分析简便起见, 通常假设阵元的振速一致u₁=u₂=u₃=…=u_N, 于是有

(7)

定义一个矩阵来表示整个基阵的辐射阻抗情况

(8)

式中, Z称为基阵的互辐射阻抗矩阵, 它的第i行行向量即为第i号阵元的辐射阻抗分布, 且Z为一个N×N的方阵。根据声学互易原理, 基阵中任意两阵元之间的互辐射阻抗是相等的, 即矩阵Z为一个对称矩阵。矩阵Z是基阵固有的声学特性, 它的计算是展开后续研究的基础, 其求解方法主要有借助于近似函数和级数的解析法以及借助于声学软件的数值法, 2种方法的具体过程在此就不展开叙述，下面将针对互辐射阻抗对基阵指向性的影响展开讨论。

1.2 指向性函数

考虑一个由N个任意分布的换能器组成的离散阵, 根据相关的声学理论, 基阵的指向性可表示为

(9)

式中, (α₀, θ₀)为主波束方向, (α, θ)为任意的方向。p_i为第i号阵元的声压幅值, Δϕ_i为第i号阵元相对于参考阵元的相位差, N为基阵阵元数目, 由于互辐射阻抗的存在, 导致各个阵元的声压分布不一致, 在计算指向性函数时需计入互辐射阻抗的影响。假设阵元半径为a, 将换能器的振速参考点均选择在其振动面上, 有

(10)

(11)

式中, u_i和u_j分别为第i号阵元和第j号阵元的表面振速, T_me为换能器的机电转换系数, V_i为换能器的驱动电压。为了简化起见, 假设加在换能器两端的驱动电压均一致为V, i号和j号阵元在距其声中心r处产生的声压分别为

(12)

式中, k为波数, ρ为介质密度, c为声速, Δφ_j为第j号阵元与i号阵元间的相位差。将(12) 式代入到(9) 式中, 假设基阵中各个换能器阵元具有相同的机电转化系数, 在远场时可求得考虑互辐射阻抗的任意离散阵三维指向性修正算法

(13)

在实际的基阵综合法中, 为了实现特定的指向性, 往往要选择合适的向量对各个阵元进行加权。在理想情况下, N元阵中选取1号阵元为参考阵元, 其方向向量r为

(14)

当基阵的加权向量W=[w₁, w₂, …, w_N]^T时, 方向向量将变为r′

(15)

式中, w_i包括了振幅加权和相位加权信息。将(15) 式中的方向向量代入到(13) 式中得到有加权时, 考虑互辐射阻抗的基阵指向性函数修正算法

(16)

2 仿真与实验

在低频和小间距的应用背景下, 由于超指向性阵在相同的基阵结构下, 能够得到比常规综合法更高的指向性指数使其成为目前研究的一个热点。由于超指向性阵阵元间距很小, 因此以它为例并结合前述的修正算法研究互辐射阻抗在频率较低时对指向性的影响。

以图 1中所示5元圆管换能器阵作为分析对象, 阵元间距d为0.05 m, 阵元采用几何尺寸为Φ0.04 m×Φ0.032 m×0.02 m的圆管型换能器, 阵元编号从左至右分别为1、2、3、4、5。

为了更真实地反应阵元间互辐射阻抗的分布情况, 采用有限元——边界元耦合法计算阵元间互辐射阻抗。计算时, 首先由有限元法得到换能器阵元的表面振速分布, 并以此作为边界元法的边界条件完成互辐射阻抗的计算。计算时采用的有限元软件为ANSYS, 边界元软件为SYSNOISE, 计算频率为0~30 kHz。

图 2选取了几个具有代表性位置的阵元绘制归一化互辐射阻抗曲线。由图可知, 相邻阵元间互辐射阻抗在频率大于15 kHz时开始变为负值, 互辐射抗在频率大于5 kHz时开始趋于平坦。这里选取2 kHz和3 kHz作为仿真与实验的2个代表性频率点, 表 1和表 2给出了利用有限元——边界元耦合法计算所得到的2 kHz和3 kHz阵元间互辐射阻抗的数值。

从表 1和表 2可知, 基阵的辐射阻抗数据所构成的矩阵为一个对称矩阵, 其主对角线元素为各个阵元的自辐射阻抗, 其他元素为阵元之间的互辐射阻抗。由表可知, 由于阵元间距较小, 工作频率较低, 互辐射阻抗与自辐射阻抗相比, 基本在一个数量级上, 此时互辐射阻抗不能忽略。将有限元——边界元的计算结果应用到超指向性的计算中, 图 3给出了实现超指向性的二项式束控原理示意图, 图中第n号阵元的振幅加权系数为T_n=4!/(4-n)!n!, 相位加权为Φ_n=nΦ, 其中Φ=π-kd。

利用图 1所示的换能器基阵在西北工业大学航海学院消声水池中开展了相关的实验, 实验框图如图 4所示。图 5给出了根据(16) 式所计算出的仿真结果和实验测试结果。从图 5可知, 互辐射阻抗影响了指向性的主瓣宽度, 使主瓣宽度大于理想情况, 并且产生了旁瓣, 使基阵的指向性与理论结果不一致。实验结果的趋势和修正结果的趋势相一致, 验证了修正算法的正确性, 因此在进行低频超指向性波束形成时必须对互辐射阻抗加以考虑。

3 结论

本文针对水声基阵阵元间互辐射阻抗对基阵性能的影响, 分析了互辐射阻抗的形成机理, 利用互辐射阻抗修正了基阵加权指向性函数的计算公式, 以低频、小间距超指向性阵为例进行了计算机仿真和消声水池实验。仿真与实验结果表明:在低频、小间距超指向性阵中, 互辐射阻抗会严重影响基阵的指向性, 所提的指向性修正算法更能反应基阵指向性的真实情况。由于本文所研究的方法在推导过程中具有一般性, 因此该方法适用于任意形状阵元以及任意阵型的基阵加权指向性的计算。