2. 西北工业大学 电子信息学院, 陕西 西安 710072;
3. 空军工程大学 航空航天工程学院, 陕西 西安 710038
多普勒波束锐化(Doppler beam sharpening, DBS)是一种在全程范围内进行孔径不变的非聚焦合成孔径雷达(synthetic aperture radar, SAR)技术[1]。相比聚束式SAR[2-3]，DBS具有运算负荷低、实时性好、成像视角范围宽等优势，成为当今制导领域研究的热点[4]。
空地DBS导弹研制过程中，设计满足各项约束条件的制导律算法是制导系统总体设计的关键。Fraooq等[5]对含有成像约束条件的空地导弹的轨迹优化问题进行研究，谢华英、张刚等[6-7]应用遗传算法、SQP法对SAR制导平台的导弹飞行轨迹进行了优化设计，文献[8-9]应用逆最优控制方法并考虑制导系统动态性能，设计了满足成像约束和脱靶量约束的制导律算法。但上述成果的研究背景均为聚束式SAR制导导弹，未见DBS制导导弹的相关研究成果。
基于此，考虑到DBS导引头的成像分辨率及脱靶量主要取决于导弹与目标在方位向平面的相对运动关系，所以仅在方位向平面建立导弹制导系统状态方程。将成像约束和脱靶量约束分别转换为对导弹前置角和目标线角速度的约束，以导弹目标线法向加速度为控制量，基于最优控制理论，设计了脱靶量、成像分辨率和经济性综合最优的空地DBS导弹制导律算法。
1 空地DBS导弹成像分辨率分析空地DBS制导导弹发射后，多普勒雷达导引头对目标区域进行二维成像，从而实现对目标要害部位的精确打击。距离向分辨率主要取决于导引头多普勒雷达发射线性调频信号的带宽，目前导引头发射大带宽信号以获得高的距离向分辨率，在技术上已不难实现。在方位向上，导引头通过多普勒波束锐化技术，将一固定目标回波波束应用快速傅里叶变换(FFT)分裂成若干窄的子波束，从而获得较高的方位向分辨率，所获得的方位向分辨率与多普勒分辨率和导弹的运动状态紧密相关。
图 1所示为导弹多普勒波束锐化成像的几何原理。假设导弹与目标成像区域位于同一方位向平面内，导弹位于Op点, 速度矢量为VP, VP相对于连线OpOb的前置角为ϕ; Oa和Ob为成像区域内所要分辨的目标点, 两点间的距离为Δl; 导弹与目标点距离为R。导引头发射载波波长为λ的线性调频信号经目标点Ob散射后, 导引头接收回波, 经检波去除高频项的多普勒频率为[10]
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| 图 1 多普勒锐化成像几何 |
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(1) |
导引头接收经目标点Oa散射后回波的多普勒频率为
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(2) |
由于Δl相比R为小量, 目标点Oa和Ob回波的多普勒频差为
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(3) |
(3) 式给出了DBS导引头对目标区域成像过程中, Δf、Δl与导弹运动参数之间的关系。设ΔfT为DBS导引头给定的频率分辨率, Δl为成像的方位向分辨率, 则Δl与前置角ϕ的关系式为
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(4) |
由(4) 式可见, 导弹前置角ϕ越大, 导引头所获得的方位向分辨率Δl越小, 可分辨目标的能力越强。但是, 对于自主寻的DBS导弹而言, ϕ并不是越大越好, 成像的目的是为了获取目标参数, 而有效的命中目标则是关键, 脱靶量表达式为[11]
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(5) |
由(5) 式可知, 脱靶量主要取决于目标线角速度ω的大小。由图 1可知目标线角速度ω与导弹前置角之间的关系式为
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(6) |
由(6) 式可知, 前置角ϕ增大, ω增大, 将导致脱靶量增大。综合上述分析, 在DBS导弹制导过程中, 成像分辨率与脱靶量是相互制约的。为此, 在DBS导引头所需分辨率ΔlT给定的前提下, 综合考虑方位向分辨率及脱靶量要求, 导弹所需的理想前置角为
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(7) |
空地DBS导弹主要用于攻击地面固定或慢速移动的目标, 由此可忽略目标运动的影响, 并假设导弹为质点, 在方位向平面内, 导弹与目标的相对运动关系如图 2所示。
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| 图 2 导弹与目标运动关系 |
图 2中, 以战斗机发射导弹所在的空间位置为原点建立方位向平面坐标系OXY。ϕ、ε、θ分别为方位向平面内导弹前置角、目标线角及偏航角。导弹位于Op点, 速度矢量为VP, Los为Op与Om的连线(以下简称“目标线”)。将VP投影到目标线Los上可得
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(8) |
将VP投影到目标线Los法线上可得
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(9) |
(9) 式中
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(10) |
将(8) 式代入(10) 式可得
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(11) |
导弹在目标线Los法向上的加速度j为
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(12) |
由(11) 式和(12) 式可得
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(13) |
(12) 式中, 考虑到
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(14) |
根据(14) 式所表示的弹目(导弹与目标, 下同)相对运动关系的数学模型以及制导过程的各项指标要求, 可将DBS制导问题转化为二次型最优控制问题, 从而得到满足指标要求的最优制导律, 保证制导过程的成像分辨率并有效减小脱靶量。
将(14) 式写成标准系统状态方程形式
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(15) |
(15) 式中, 由目标线角速度ω和导弹前置角ϕ组成状态量X=[ϕ ω]T, 控制量为导弹目标线法向加速度U=j, 状态矩阵
建立性能指标函数基于如下考虑:为满足DBS导引头方位向分辨率要求, 导弹前置角应趋于(7) 式表示的理想前置角; 为满足脱靶量要求, 目标线角速度ω应趋于零; 应考虑制导过程的经济性。由此, 二次型性能指标函数为
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(16) |
式中, 
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(17) |
(17) 式中反馈增益系数K=[k1 k2], P满足Riccati方程及边值条件
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(18) |
求解Riccati方程并代入(17) 式, 最优控制量
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(19) |
(19) 式所建立的制导律算法是成像分辨率、制导准确性和控制经济性综合最优的。采用变系数冻结法, 假设增益系数k1和k2为常数, 弹目相对速度V为常量, 变化量仅为弹目距离R, 在成像制导阶段, 弹目距离较远, R较大, 前置角误差项(ϕ-ϕΤ)的权值较大, 对控制量起主要作用, 从而确保了成像分辨率; 而随着弹目距离R的不断减小, 目标线角速度误差项ω权值不断增大, 在末制导阶段, 误差项ω对控制量起主要作用, 确保命中的准确性。
最优制导律算法在实现的过程中, 弹载传感器应向制导系统提供与算法(19) 式相关的各项参数的量测值, 结合(7) 式可得
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(20) |
式中, 
假设导弹为质点, 制导律算法(20) 式中各项参数的量测值都准确、理想, 导弹飞行控制系统无迟滞地响应制导系统给出的指令加速度, 根据导弹相对目标的运动学方程, 在方位向平面内验证算法的有效性。
在图 2所示的方位向平面坐标系中, 假设导弹的初始位置坐标为(0 km, 10 km), 初始速度分量为Vx=400 m/s、Vy=1 000 m/s, 地面目标点位置坐标为(80 km, 80 km), 其他参数如表 1所示。
| 参数名称 | 取值 |
| 雷达波长λ/m | 0.03 |
| 导引头所需方位向分辨率ΔlT/m | 12 |
| 导引头多普勒锐化频率分辨率ΔfT/Hz | 8 |
| 方位向分辨率设定值Δl′T/m | 10 |
| 导弹极限过载nmax | 6 |
| 导弹脱靶量h/m | 10 |
(20) 式中, 考虑到制导过程中实际导弹前置角ϕ趋于理想前置角ϕT所带来的状态误差, ΔlT应替换为相对较小的设定值Δl′T, 从而增大理想前置角ϕT, 保证方位向分辨率。
图 3给出了空地DBS导弹在方位向平面的运动轨迹。假设导弹发射后143 s制导系统结束控制, 此时导弹速度为Vx=479 m/s、Vy=-158 m/s, 当前位置坐标为(79.67 km, 80.49 km), 目标线角速度ω=0.021 rad/s, 根据(5) 式计算可得, 脱靶量h=4.6 m, 满足脱靶量要求。
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| 图 3 二维平面导弹运动轨迹 |
图 4给出了DBS导引头方位向分辨率随制导时间的变化规律。制导初始阶段, 由于导弹运动状态不满足成像分辨率要求, 方位向分辨率Δl较大; 导弹在制导律算法所得到的指令加速度的作用下, 运动状态在短时间内满足成像要求, 并保持在ΔlT以下, 满足导引头的成像分辨率要求。
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| 图 4 导弹方位向分辨率 |
图 5给出了导弹过载随制导时间的变化规律。由图可知, 导弹过载在制导过程中小于设定的极限过载, 由于初始阶段导弹运动状态不满足成像分辨率要求, 状态误差(ϕ-ϕT)及相应的权值系数较大, 导致导弹过载较大。在中、末段制导阶段, 导弹过载变化较为平稳。
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| 图 5 导弹过载 |
图 6和图 7分别给出了导弹实际前置角和理想前置角随制导时间的变化规律。由图可见，实际前置角趋近于理想前置角，导弹运动状态满足方位向分辨率的要求。
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| 图 6 导弹前置角 |
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| 图 7 导弹理想前置角 |
综合上述仿真结果可知，在算法(20) 式的作用下，导弹运动状态逐步消除了前置角误差和目标线角速度误差，在满足成像分辨率的同时，有效减小了脱靶量，保证了攻击目标的精度。
5 结论本文提出的控制算法有效解决了空地DBS制导导弹较为特殊的制导律设计问题，研究总结如下：① 综合考虑了DBS制导过程中成像分辨率约束和脱靶量约束，并将其转换为对导弹运动状态的约束；② 应用最优控制理论，设计了基于脱靶量、成像分辨率和制导经济性综合最优的制导律算法，经仿真验证满足各项指标要求；③ 制导律算法形式简单，满足弹载计算机实时解算的要求，所涉及的相关参数可由弹载传感器量测获得，具有较强的实用性。
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2. School of Electronic and Information, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China;
3. School of Aeronautics and Astronautics Engineering, Air Force Engineering University, Xi'an 710038, China
