在近二十年来, 反馈式的防滑刹车控制律有效的应用于各类飞机防滑控制中^[1-3]。然而, 飞机防滑刹车系统数学模型却具有一定的非线性和不确定性。众多论文研究均是基于滑移速度控制式多门限偏压调节(PBM)的控制方法应用于防滑刹车控制律设计, 但是由于防滑刹车系统常存在低速打滑现象, 故而控制效果并不理想。现有的控制方式大多是基于最佳滑移率控制来设计相应的防滑刹车控制律^[4-5], 但这类设计均没有考虑刹车系统出现故障时处置策略。若刹车控制的执行机构一旦出现故障, 不仅无法完成正常刹车, 有时会使得飞机偏离跑道, 造成不可避免的飞行事故。容错控制作为飞机着陆研究的基础和关键技术, 对保障飞机的安全运行具有重要的意义。

基于观测器的鲁棒型故障重构技术广泛的被用于故障诊断领域中, 常见的方法有基于状态观测器、基于神经网络观测器、基于卡尔曼滤波估计器和基于自适应观测器的故障重构^[6]。基于卡尔曼滤波估计器、神经网络观测器和基于自适应观测器的故障重构方法对参数的依赖性较强, 容易受系统参数的变化影响。由于滑模观测器具有较强的鲁棒性, 对系统的不确定性和非线性不敏感, 可以达到故障重构的目的。文献[7]将滑模观测器应用于直流电机传感器故障的容错控制中, 采用误差等效注入算法设计滑模观测器来重构传感器故障, 取得了较好的控制效果。但在该文献中被控对象被简化为线性系统来进行考虑, 其实效性较差, 结论很难推广至非线性系统。文献[8]提出一种新型的滑模观测器设计方法, 将传感器故障通过虚拟状态转换, 等效为执行机构故障, 重新设计二阶滑模观测器来检测和重构传感器故障。文献[9]针对非线性系统执行机构故障提出了一种非线性鲁棒滑模观测器, 可以以任意精度来在线估计执行机构故障, 但是其使用线性矩阵不等式(LMI), 对滑模参数进行选择, 增加了估计系统的复杂度, 而且该观测器的设计是在故障上界已知的前提下进行的, 具有一定的保守性。文献[10]提出一种滑模观测器的设计方法, 用于对非线性系统中的传感器、执行器和被控对象的故障检测, 然而该文献仅考虑了故障检测并未考虑重构, 并不能应用于容错控制器设计当中。

基于滑移率控制的防滑刹车系统设计, 研究的重点在于调节滑移率使其对于不同跑道路面设定最优值进行跟踪, 通常根据滑移率与结合系数的关系, 将刹车工作点描述为位于稳定或不稳定区域^[11]。这就要求了控制器的设计必须要满足一定的输出受限条件, 使得系统总是工作在稳定区域内。近几年, 基于反步设计的容错控制方法设计层出不穷。文献[12]将模糊理论同反步控制方法相结合, 提出基于反步控制的模糊自适应容错方法, 应用模糊理论来估计模型中的未知非线性不确定项, 设计滤波器用于估计系统中不可测状态, 最后结合反步控制理论推导出容错控制律, 得到了较理想的仿真效果。但是, 文中的执行机构故障类型, 被假设为已知。实际中系统发生故障时, 故障类型往往不可准确获知的。该方法的推广具有一定的局限性。障碍李雅普诺夫函数结合反步控制方法首先被应用于解决Brunovsky形式非线性系统的输出受限问题。文献[13]针对严反馈非线性系统, 提出通过合适的参数选择, 考虑输出受限, 将反步法应用于该系统控制器设计中, 获得无超调控制效果。P T Keng等学者^[14]探索性研究了非对称障碍李雅普诺夫函数, 放宽了应用初始条件, 使其作为一种通用型方法。以上文献, 仅考虑非线性系统在正常工况下的稳定控制, 并未考虑执行器故障时的状况, 同时也未考虑外部未知扰动和不确定项时的系统稳定控制。

针对上述问题, 考虑无人机防滑刹车系统输出受限和执行机构故障, 本文提出一种基于非线性滑模观测器的主动容错反演动态面控制方法。设计滑模观测器, 采用滑模等值原理, 实时重构出执行机构故障值, 然后采用障碍李雅普诺夫函数的反演方法来设计容错控制器, 将重构出的故障值作为控制器补偿项, 用于容错控制, 最终使得系统输出有界, 并且消除由外界未知干扰和模型不确定项对闭环容错系统的影响。该策略用于无人机防滑容错控制器设计, 可以保证滑移率在任意状态下均能在约束区间内, 在系统存在未知扰动或不确定项时, 系统可以实现及时稳定跟踪, 同时提高了系统的鲁棒性和容错能力。

1 问题描述

考虑包含执行机构故障的刹车系统数学模型为不确定非线性系统。建立刹车系统模型时不考虑飞机的横侧向运动, 假设所有主机轮的作动机构均具有一致性和同步性, 因此刹车控制系统可以简化为仅对单个机轮的控制^[5], 而本文主要应用于基于滑移率设计的防滑刹车控制系统, 则滑移率δ可以被定义为

(1)

对(1) 式两边求导可得

(2)

式中

(3)

式中, V_x为飞机速度, ω_w为机轮速度, T_b为刹车力矩, δ为滑移率, F₁、F₂和其他飞机机轮建模相关参数的定义详见文献[5], 结合系数μ同滑移率δ之间具备非线性关系即

(4)

其中, 表 1展示出μ-δ相关参数的定义。由于执行机构系统是由无刷直流电机构成, 而电机是由电压输入来控制的, 通过改变电压大小可以获得相应的刹车力矩, 从而作用至刹车盘。故而将无刷直流电机当作系统的执行机构进行建模可得^[15]

(5)

式中, T_L=ηT_b, η为输出力矩与负载力矩比值。无刷直流电机所有相关参数定义详见文献[15]。

综合(1) 式至(5) 式可得系统的非线性数学模型为

(6)

根据公式(6) 所示, 由(3) 式、(4) 式可知飞机刹车系统是一个较强的不确定非线性系统。

对于上述的刹车系统运动模型, 为了分析简便, 本文将其变换为状态空间方程的形式, 考虑包含执行器故障的防滑刹车不确定非线性系统, 定义

(7)

(6) 式可以写成如下形式

(8)

式中, 执行机构的故障模型可以表示为u=u+f_s(t), f_s(t)为故障时控制输出电压的偏移量。式中

(9)

本文考虑的偏差型执行机构故障, 具体指无刷直流电机的输入控制电压发生故障, 电压出现时变波动, 即发生时变型偏差故障。

假设1  对于非线性系统函数f_i(x_i), 其满足Lipschitz条件, 既有

(10)

式中, x_i=[x₁, x₂, …x_i]^T, i=1, 2, …, n, γ_i为已知正常数。

假设2  在(8) 式中, d(t), 可以被认为是外界扰动和建模不确定项的集合, 假设总是存在一个正常数D, 如下所示

(11)

式中，常数D的值未知。

综上所述, 本文研究目的为:根据包含故障的防滑刹车非线性模型(8), 通过构造相应的滑模观测器使其所有状态估计误差渐进收敛, 并利用滑模等效原理来完成执行机构输入电压故障的重构, 考虑执行机构故障重构值, 在保证系统输出受限的情况下, 设计相应的容错控制律。

2 执行机构故障重构律设计

对于考虑执行机构故障的系统(8), 针对所有状态量。故障重构误差为x_i, 可令。故障重构误差为, 设计滑模观测器为

(12)

式中, 切换项为v_i=L_isgn(e_i) (i=1, 2, 3, 4)。sgn(·)为符号函数，L_i为正常数, 且为观测器增益。e_i为观测器估计系统状态量的误差。根据(12) 式，可将状态估计误差方程表示为

(13)

定理1  对于发生执行机构故障的非线性系统(8), 若满足假设条件1、2, 从而设计观测器(12), 选取足够大的正常数的L_i(i=1, 2, 3, 4)，同时选取

(14)

为执行机构故障重构律, 且估计误差e_i(i=1, 2, 3, 4) 渐进收敛于零。

证明  选择Lyapunov函数为

(15)

对(15) 式两端求导, 由(13) 式可得

(16)

若选取足够大L_i, 使得L_i>(|e_i|γ_i+g_i|e_i+1|), 有, 经过时间t_i后达到滑模状态, 依据滑模等值原理可得使得

(17)

选择Lyapunov函数为

(18)

对(18) 式两端求导, 由(13) 式可得

(19)

若选取足够大L_n, 使得L_n>(||e_n||γ_n+|D|), 并将(14) 式代入(19) 式, 可得。

综上所述, 系统估计误差可以渐进收敛于零。证毕。

由于切换项的存在, 滑模控制会产生抖振, 为了减少抖振且消除抖动带来的高频干扰, 本文选取双曲正切函数u_c=u_{c_nom}+u_{c_fault}来代替观测器(14) 中的符号函数u_c=u_{c_nom}+u_{c_fault}。

(20)

式中, τ为正常数。

3 容错控制器设计

设计如下控制器以实现对最佳滑移率的跟踪控制

(21)

式中，u_{c_nom}保证系统输出受限的稳定性, u_{c_fault}用于补偿执行机构故障对滑移率跟踪控制的影响。首先设计u_{c_nom}，由定理1可知, 利用观测器(12) 不仅可以提供估计值, 而且可实现对偏差型故障精确估计。为此, 本节在应用故障估计值设计容错控制器来实现对滑移率稳定跟踪控制的同时, 确保系统输出值(滑移率)满足受限区域内。为了避免高阶系统反步算法设计中的“微分膨胀现象”出现, 这里引入基于动态面控制方法, 首先定义变量S₁=, 定义虚拟滤波控制输入z_i+1(i=1, 2, 3) 可得

(22)

式中, α为反步控制中的虚拟控制输入, 定义χ_i+1=z_i+1-α_i(i=1, 2, 3) 为滤波误差。

步骤1  选取非对称Lyapunov候选函数

(23)

式中, log(·)为“·”的自然对数, 定义收敛域为

(24)

当S₁=0，z₂(0)=α₁(0), -k_a1 < S₁ < k_b1, 可以得到V₁≥0。

设计虚拟控制输入α₁为

(25)

对χ₂求导可得

(26)

式中, 令|ξ₂|≤M₂, M₂∈R₊, 根据Young不等式可得

(27)

对(23) 式求导可得

(28)

代入(25)~(27) 式

(29)

由(29) 式可知, 选取合适的参数k₁, τ₂可以保证S₁, , 渐进收敛, 即。则选取

(30)

(29) 式中0.5σ₂为正常数。

步骤2  设计虚拟控制输入α₂为

(31)

结合步骤1, 并考虑(22) 式, 同理对求导可得

(32)

根据Young不等式可得

(33)

选择Lyapunov函数为

(34)

代入(29)、(31)~(33) 式可得

(35)

为确保系统闭环稳定, 选取参数增益为

(36)

步骤3  与步骤2同理, 选取Lyapunov函数

(37)

设计α₃分别为

(38)

对(37) 式求导, 并代入(38) 式可得

(39)

为确保系统闭环稳定, 选取参数增益为

(40)

步骤4  与之前步骤相同, 选取Lyapunov函数

(41)

针对d(t)的外界扰动自适应最大估计值选取为

(42)

式中, ζ, δ, ψ∈R₊。同时设计标称控制律u_{c_nom}为

(43)

将(41) 式求导, 同时将(42) 式、(43) 式代入, 应用不等式|S₄|-S₄tanh(S₄/δ)≤0.278 5δ^[16], 可得

(44)

式中, k₄∈R₊。

针对本文研究的非线性偏移型故障, 根据(16) 式和定理1, 控制补偿项可以设计为

(45)

定理2  针对受外部干扰与执行机构偏差故障作用的飞机防滑刹车控制系统(8), 若采用滑模观测器(12) 来重构故障, 采用滤波器(22), 引入虚拟控制量(25)、(31)、(38), 和自适应律(42) 并应用控制器(21) 进行控制, 假设1、2均成立, 则在初始条件下, 即Ω_y⁰:={S₁(0)∈R:-k_a1 < S₁ < k_b1}, 信号S₁总是保持在一定的紧集Ω_y之中，且整个闭环控制系统是渐进稳定, 输出误差收敛为零。

证明  根据V₄设定新的Lyapunov方程V为

(46)

对(46) 式求导, 同时考虑定理1和文献[17]中的引理2, 可得

(47)

式中, 控制增益Q₁、Q_i、Y₂、Y_j、ψ、c分别为、

(48)

选取正定矩阵Ξ, Γ, Ν

令w=min(λ_min(Ξ), λ_min(Γ), Ν), 同时考虑以上正定矩阵, 代入(53) 式, 可得

(49)

求解(49) 式简单可以得出, 综合以上述分析, 闭环系统渐进稳定, 且系统中所有信号都是半全局一致最终有界。证毕

综上所述, 防滑刹车闭环容错控制系统中, 非线性滑模观测器(14) 为控制器补偿项的设计, 提供故障估计信息, 该估计器的设计并不依赖闭环系统稳定性, 而控制器(21) 则用于对偏差型故障的补偿, 并保证最优滑移率受限跟踪稳定控制。

4 仿真分析

为了验证所提出的控制方法用于防滑刹车执行器故障容错控制的有效性, 在MATLAB环境下对所提的方法进行了仿真研究。无人机在复杂路面着陆的情况时有发生, 为了验证所提容错算法的可靠性, 可分2种情况进行仿真:

1) 无人机在冰跑道上着陆是一种极限工况, 对执行机构性能和控制律的设计提出了更为严苛的要求, 本组验证中设置无人机着陆跑道为冰跑道, 跑道参数从表 1中选取。

2) 设置在刹车运动起始2 s时跑道状况从干柏油跑道切换至湿跑道, 验证控制输出受限条件下的跟踪性能。同理, 从表 1中选取相应变化的跑道参数, 以确保跑道模型准确。

刹车系统模型部分参数分别为:飞机质量m=3 000 kg, 前轮至重心距离a=3.833 m, 主轮至重心距离b=1.076 m, 主轮受刹半径R_vb=0.165 m, 重心高度h=1.32 m。防滑控制的目标是刹车滑移率实时跟踪最优滑移率, 且滑移率受限在稳定范围内。本文根据无人机不同的着陆跑道情况, 设定最优滑移率可取值范围为0.117~0.13, 如:干柏油跑道选取0.117, 湿跑道取0.12, 冰跑道取0.13。在这里选取最佳滑移率跟踪误差S₁受限的上下界分别为k_b1=k_c1-δ_d(t)，k_a1=k_c1-δ(0)。其中, 选取参数k_c1=0.25。无人机的着陆刹车初始速度为V_x(0)=45.8 m/s, ω(0)=277.5 rad/s, 非线性观测器(12) 的增益和与控制器(21) 参数取值为:τ₂=τ₃=τ₄=0.001, L₁=2 000, L₂=1 000, L₃=9.2, L₄=0.1, Γ=1 500, k₁=85, k₂=35, k₃=150, k₄=100, ζ₁=1, ζ₂=2, ζ₃=4, ζ₄=3, δ_i=1, ψ_i=0.1(i=1, …, 4) 本文观测器的初始值状态为, 选取外加扰动d(t)=0.03cos3t, 为了验证所设计容错控制器的鲁棒性, 在外加未知扰动的情况下, 于刹车时间5 s处注入执行机构时变偏移型故障, 分析控制器(21) 作用下的容错控制性能。注入故障定义如下

(50)

在冰跑道工况下, 由图 1可知, 当采用控制器(21) 进行防滑控制时, 应用观测器(12) 的所有状态估计误差(归一化处理)趋近于0, 当执行机构发生故障时, 状态的误差估计维持在有界范围内, 可以说明本文所设计的观测器能够克服未知干扰和故障的影响。故障估计器(14) 重构性能如图 2所示。根据式(50) 可知执行器在起始5s内正常工作, 此时可以由图 2可知观测器能在0.5 s内估计出无效故障, 由于扰动自适应律(42) 的加入使得故障重构未受到外加扰动影响, 防止误报现象出现。当执行机构在地5 s发生故障时, 所设计的观测器能够在很短的时间内实现故障的精确估计, 且估计误差在, 飞机速度与机轮速度对比结果如图 3, 无人机着陆滑跑距离如图 4所示, 防滑刹车过程持续时间11.2 s, 刹车距离为285 m。从仿真全程结果来看即使在5s之后的执行器故障状态, 也并未出现明显的受刹机轮“走步现象”。最优滑移率跟踪响应如图 5所示, 滑移率全程跟踪性能良好, 并未有显著的超调, 防滑系统持续在稳定区域内工作。刹车力矩的响应如图 6所示, 当5 s执行器故障注入时, 由于控制器的补偿容错处理, 故而对刹车力矩的影响并不大。

在切换跑道工况下, 执行机构故障的重构效果如图 7所示, 可知观测器同样能够在外部扰动作用下, 以及未知故障信息的情况下实现故障的精确估计与诊断, 而且进一步验证了定理1中的正确性。由图 8、图 9可知, 即使在系统参数发生变化时, 较好的防滑刹车性能依然得以保持, 当跑道情况切换时, 滑移率也能较好地跟踪给定切换最佳滑移率, 克服故障等未知干扰的影响。

5 结论

本文在构建无人机刹车数学模型基础上, 考虑系统输出受限, 外界干扰作用以及未知故障信息的情形, 研究了基于滑模观测器的故障重构方法, 设计了一种输出受限且收敛的主动容错控制器。自适应观测器算法可以实现对非线性偏差型故障的精确重构, 且故障估计器的设计不依赖于闭环系统稳定性。将重构的故障信息用于控制器实现对故障的补偿, 基于障碍李雅普诺夫方程的反步控制方法的应用, 可以使得系统滑移率受限于稳定区域内。在未知扰动和执行器故障情况下, 也能获得较为满意的防滑刹车效果。理论分析和仿真结果均表明了所提算法的有效性。