客观世界多可以用连续变化的微分动力系统来表示其运动规律,然而在客观实际问题中,还存在许多动力系统,其状态变量随时间的变化不是连续的而是离散的,即离散动力系统[1]。我们所熟知的一维Logistic映射表示的就是动物种群的繁殖发展问题。对于该繁殖问题,其涉及到的各代数量都是整数,严格来说表示其繁殖规律的动力学方程应为差分方程而非微分方程。然而,差分方程跟微分方程是存在着一定联系的。庞加莱映射表示的高维微分动力系统的动力学规律可用低维庞加莱映射来表示,该映射就是差分方程。可见,低维离散映射可反映高维连续微分动力系统的一些运动规律。因此,离散系统所代表的动力系统就要比相同维数的连续系统更为复杂,其蕴含的巨大魅力吸引了大批科研工作者[2]。
1 b为分岔参数本文研究的Duffing映射[3-4],是典型的存在混沌运动的离散映射系统,其表达式如下
(1) |
该系统由两参数a和b决定,且存在着明显的对称性和丰富的动力学现象,如分岔、混沌及其激变等。
当b为分岔参数时,经计算可知系统仅在区间b∈[1, -1]内收敛,且其运动形式随参数a和b的取值不同而产生变化。由于系统存在吸引子共存现象,故文中首先采用多重分岔图来分析系统的动力学行为,即分岔图所示为从多个初值出发进行计算得到的稳态解,结果如图 1所示。当a=0.01时,系统运动不受分岔参数b的影响,在b∈[1, -1]范围内停留在1周期运动;当b∉(1, -1) 时,系统发散。随着参数a的增大,当a=1和a=1.5时,系统的运动还存在于b∈[1, -1]的范围内。从图 1b) 和图 1c) 可明显看出,系统从参数区域左端产生分岔现象,且随着a的增加逐渐变大成熟且向右移。仔细观察其左右端点可见,随着a的增加系统运动越来越远离左端点,同时保持右端点位置不变;图 1b) 中b∈(-1, 0.92) 时,系统发散;当1>b>0.92时,系统收敛到稳态运动。而对于右端点,系统只有在b>1才进入发散区域。随着参数a的继续增大当a=1.5时,从图 1c) 可知在b从1减小到-1的过程中,系统从最初的1周期运动开始分岔,随即进入倍周期分岔级联,最终进入混沌状态。当b < -0.72和b>1时系统发散。当a增大到a=2时,从图 1d) 可见,系统的运动继续向b=1的一侧移动,此时最初的1周期已经消失,收敛区域继续缩小。当a>3时,无论b取何值系统都处于发散状态。
利用多重分岔图我们对b为分岔参数时,系统的动力学行为建立初步的认识;但多重分岔图无法体现各共存吸引子的具体运动情况和相互关系。当a=1.5时如图 2所示,由于系统此时有两共存吸引子,故从两初值出发进行计算,得到系统关于参数b的单初值分岔图。对比图 2a) 和图 2b) 可见,在参数b递减的过程中,系统在b=0.5处发生了周期吸引子的对称破裂分岔,原1周期吸引子消失,同时生成两互对称1周期吸引子;系统在b=-0.25处,两互对称吸引子同时发生倍周期分岔级联,最终进入混沌状态,且两部分一直保持运动的互对称性;当b < -0.72和b>1时,系统发散。此外,当系统进入混沌状态后,对比图 3a) 和图 3b) 可明显看出,在b∈(0.65, 0.7) 内系统发生混沌吸引子的内部激变,使得吸引子的尺寸和形态都发生了突变,但两共存混沌吸引子依然保持互对称特性。可见,当a=1.5时,在对称破裂分岔发生后,系统就一直保持着共存吸引子的互对称运动直至发散。
相对于a=1.5时系统保持的两吸引子互对称共存情形,当a=2.75时从两不同初值出发的分岔图 4可见,系统随b的减小,从一对互相对称1周期运动开始;在b=0.375处,系统进入倍周期分岔级联,随后进入混沌状态;当b=0.2时,系统的两对称混沌吸引子发生融合激变,两对称混沌吸引子突然消失,同时产生了唯一的、关于原点自对称的混沌吸引子,激变前后随着参数b的继续减小,混沌吸引子只在形状和尺寸上发生了微小的变化,仍维持自对称性和唯一性;最终当b < -0.128 3时,系统发散。可见,当a=2.75时,两共存吸引子在经历倍周期分岔进入混沌状态后,进一步通过混沌融合激变合二为一,形成唯一的混沌吸引子。
为了更加全面地分析系统的全局特性,需进一步分析系统的吸引域[5]。图 5给出了a=2.75时,不同b值处的吸引子及其吸引域,图中黑色点线为吸引子,深浅2种灰色表示不同的吸引域。当b=0.4时如图 5a) 所示,两1周期吸引子共存,两吸引域完全对称,且不同吸引域中你中有我,我中有你,相互缠绕具有分形边界;随着b的减小系统进入倍周期分岔级联并最终进入混沌状态,当b=0.22时两共存混沌吸引子及其吸引域如图 5b) 所示,可见混沌吸引域与周期情形的吸引域结构相似,但整个吸引域在x方向上拉伸扩张;当b继续减小到0.2时,系统发生吸引子融合激变,图 5c) 给出了混沌激变发生后的唯一混沌吸引子及其吸引域;对比图 5b) 和图 5c) 可见,激变发生后的吸引域正是由激变前两吸引域与其边界融合而成,且边界保持分形特性。
2 a为分岔参数充分研究Duffing映射系统随参数b变化的复杂动力学行为的基础上,下面将继续对a为分岔参数的情形进行分析与讨论。基于数值分析可知,系统仅在b∈[1, -1]内收敛,且当a为分岔参数时,其收敛域的位置和范围都会随b的变化而改变。
当b=-1时,系统随参数a变化的分岔图如图 6a) 所示,系统在收敛区域内一直处于两对称吸引子共存的状态。当a值较小时,系统保持如图 7a) 的极限环运动;随着参数a的增加,系统通过环面破裂进入如图 7b) 的混沌状态。
当b∈(1, -1) 时,系统的动力学行为具有一定的规律,如图 6b) 至6c)所示。且随着参数b的增加,系统收敛区域不断扩张、分岔点与混沌区域均不断向右端移动;但由于分岔点右移的速度明显大于区域的扩张速度,分岔和混沌区域逐渐从右侧退出收敛域。当b=1时,其变化如图 8所示,与b=-1时类似,都是从极限环运动开始,不同的是此时并非一直保持吸引子共存情形,而是在收敛域中表现出了丰富的动力学现象。当a∈[0, 0.28]时,系统经历了从1极限环→4极限环→1极限环的运动。图 8a) 中,随着参数值a的不断增加,系统从1极限环→4极限环,即1极限环四边逐渐内凹断裂产生4极限环;变化过程中不同吸引子均在四角处相切,同时保持对称性。在图 8b)~图 8(d)中,系统从4极限环→1极限环,期间还经历了环面破裂。随后,系统一直保持1极限环运动,直至a∈(2, 2.2) 经对称破裂分岔,系统的1极限环类似于细胞分裂,从中部内陷断裂,转化为两共存互对称1极限环,如图 8e)所示。随着参数的继续增大,极限环发生环面破裂,进入了如图 8f) 所示的混沌状态。
可见,随参数a的变化,系统也存在着丰富的多吸引子共存现象。为了了解系统吸引域的变化,以b=0.2为例,系统的分岔行为如图 6c) 所示。选取3个具代表性的状态进行对比,当a=1时,如图 9a)系统存在唯一的1周期吸引子,其吸引域边界光滑无分形现象;随参数a的增加系统发生对称破裂分岔,图 9b) 所示为分岔后的两共存1周期吸引子及其吸引域,此时吸引域对称且其边界仍简单光滑,收敛域较分岔前明显增大;当参数a=2.72时,系统已通过倍周期分岔进入混沌状态,图 9c) 为共存混沌吸引子及其吸引域,吸引域边界已从规则边界转变为分形边界,且系统收敛域范围继续扩大。
3 结论分别以系统参数a和b为分岔参数,研究了二维Duffing映射系统的复杂动力学行为。数值结果表明,映射系统与连续系统相比,不仅存在着与连续系统类似的动力学行为,如多吸引子共存、分岔、混沌、混沌激变、吸引域分形等;还存在与连续系统截然不同的动力学特性,如系统仅在有限参数区域内收敛、吸引域未覆盖整个初始平面等。以上结果进一步映证了离散系统比相同维数的连续系统更为复杂的特性,加深了对离散系统动力学行为产生、发展和转变机制的了解与认识,为后续离散系统的相关研究奠定了基础。
[1] | Tirnakli U, Tsallis C. Noisy Coupled Logistic Maps in the Vicinity of Chaos Threshold[J]. Chaos, 2016, 26(4): 4424. |
[2] | Wang Y, Liu Z, Ma J, et al. A Pseudorandom Number Generator Based on Piecewise Logistic Map[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 83(4): 2373–2391. |
[3] | Holmes P. A Nonlinear Oscillator with a Strange Attractor[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society B Biological Sciences, 1979, A292: 419–448. |
[4] | Moon F C. Chaotic and Fractal Dynamics[M]. Weinheim, Wiley-VCH Verlag: , 2004. |
[5] | Zhang Y, Rossetto B, Xu W, et al. Roles of Chaotic Saddle and Basin of Attraction in Bifurcation and Crisis Analysis[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2011, 21(3): 903–915. |