近年来，实时三维成像声呐[1]发展迅速。三维成像声呐分辨率高，成像包含三维信息，但需要阵元数达几千甚至上万的平面换能器基阵。因此三维成像声呐系统设计具有2个难点：硬件系统复杂以及大规模计算量。针对硬件设计复杂这一难题，常用方法是对平面基阵稀疏化。通过建立一个优化目标函数以及相应的约束条件，使用优化算法寻找一种稀疏阵型的方式，使目标函数值最小。因此目标函数的选择直接影响了声呐成像的性能。
平面基阵主要的稀疏方式有稀疏抽取[1-2]及稀布阵[3-4]2种。稀疏抽取相比于稀布阵有较高灵活性。稀疏抽取的优化过程有2种:①固定抽取数量[5]的优化;②在达到目标性能前提下尽可能减少阵元数量[1]的优化。
目前较为常用的优化过程[1-2]是以主副瓣比为优化目标，采用阵元加权的方式，使用尽可能少的阵元数进行稀疏抽取。
本文对已有的优化过程进行分析及改进。以固定抽取数量的优化方式，采用包含主副瓣比、旁瓣高度和、主瓣宽度及幅相误差的目标函数，求解最优的稀疏抽取方式。
对采用不同目标函数的优化过程进行仿真，结果表明使用改进后的优化过程及目标函数所设计的声呐具有更好的综合性能。并通过实验验证设计的可行性。
1 基本假设水平角θ与俯仰角β定义方式如图 1所示。
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| 图 1 声呐视场角示意图 |
接收平面基阵为M×N；等间距布阵，布阵间距为d。
使用远场算法做波束形成：
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采用对数波束方向图：
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式中，vm, n=(xm, yn, 0)为平面基阵上第(m, n)阵元的位置坐标矢量。ωmn为第(m, n)阵元的权重。ωmn≠0表示该阵元被抽取，参与波束形成。
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(θ0, β0)为目标方向的水平角与俯仰角，(θ, β)为波束方向的水平角与俯仰角。取视场角范围：θ∈[-22.5°, 22.5°]；β∈[-22.5°, 22.5°]。因此有u∈[-0.77, 0.77], v∈[-0.77, 0.77]。根据BP(u, v)的对称性[5]，在不损失波束方向图任何信息的前提下，取u∈[-0.23, 0.77], v∈[0, 0.77]进行计算。
使用遗传算法[5-8]作为优化手段，染色体为M×N个元素的行向量，每一个元素对应一个阵元的权重ωmn。随机构建具有100条染色体的初始种群，计算所有染色体的目标函数，对种群进行选择、交配、变异，产生新的种群。最终输出目标函数最小的染色体，作为最优的稀疏抽取方式。
2 常用目标函数分析目前较为常用优化过程为以主副瓣比为优化目标，采用阵元加权的方式，使用尽可能少的阵元数对满阵(全部阵元参与波束形成)进行稀疏抽取；其目标函数[1-2]如下：
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(1) |
式中：k1、k2、k3为权重；BPd为最高旁瓣的目标值；A为抽取的阵元数量，S为满足以下2个条件的的集合：
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S1为主瓣外的(u, v)的集合，R0为阵元权重系数比：
(1) 式中第一个积分项是对波束方向图的评价；其物理意义为旁瓣区域超过某一高度值的所有波束的高度和。当BPd=-21.2 dB时，该优化过程得到的波束方向图的主副瓣比等于-BPd[1]。但并非对于任意的取值，其结果的主副瓣比都等于-BPd。
波束方向图的主副瓣比不可能无限高，假定优化过程中，能够达到的最高主副瓣比为-BPmin；则当BPd∈[BPmin-δ, BPmin]，δ为一个较小的值，一般不超过2 dB时，波束方向图中只有极少数甚至只有最高旁瓣的高度超过BPd；因此在目标函数值降低的过程中，最高旁瓣高度值也会降低，此时优化结果的主副瓣比接近-BPd。
当BPd＜BPmin-Δ，Δ为一个较大的值，一般超过5 dB时，波束方向图中存在大量的波束其高度值超过BPd，尽管在目标函数值降低的过程中，波束方向图的整体旁瓣高度降低了，但是最高旁瓣高度未必降低，此时优化结果的主副瓣比会远小于-BPd。
以(1)为目标函数，取M=N=48;k1=1, k2=k3=0;d=λ；抽取512阵元；给出BPd取不同值时的优化结果：
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| 图 2 BPd=-21.2 dB时优化结果的波束方向图 |
为更加直观地观察主瓣及旁瓣结构，这里给出优化结果的侧视图，即u方向的投影图如图 3所示。
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| 图 3 BPd=-21.2 dB时优化结果的侧视图 |
主副瓣比为20.071 dB、主瓣宽度为1.222°时，对应的稀疏抽取后的阵元分布图如图 4所示。
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| 图 4 BPd=-21.2 dB时阵元分布图 |
在这一优化过程中，主副瓣比不断升高；最终接近21.2 dB。因此，如果对波束方向图的主副瓣比直接优化，会得到类似的结果。采用如下的目标函数进行优化
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(2) |
max(BP(u, v), (u, v)∈S1)为最高旁瓣高度。
采用(2)式作为目标函数时的优化结果如图 5所示。
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| 图 5 最高旁瓣最小化时优化的结果 |
主副瓣比为20.299 dB，主瓣宽度为1.228°。这一结果的特性与图 3的结果较接近。当BPd=-30 dB时，采用(1)式作为目标函数，其他参数与图 2相同，优化结果如图 6所示。
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| 图 6 BPd=-30 dB时优化的结果 |
主副瓣比为13.85 dB，主瓣宽度为1.13°。
表 1为3种情况的对比：
| 指标 | 满阵 | BP4=-21 | 最高旁瓣高度最小化 | BPd=-30 |
| 主副瓣比/dB | 13.15 | 20.07 | 20.30 | 13.85 |
| 主瓣宽度/(°) | 1.05 | 1.22 | 1.23 | 1.13 |
从表 1中可以看到，当BPd=-30 dB时，主副瓣比远低于30 dB。但是超过-30 dB的波束数量少于BPd=-21.2 dB时的结果。因此优化结果的旁瓣结构随着参数BPd的变化会有很大不同，图 7为BPd取值不同时，波束方向图的波束高度分布状况对比：
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| 图 7 波束高度分布对比图 |
BPd=30 dB时，大于-30 dB的波束数量要明显少于BPd=-21.2 dB时的结果；但是超过-22 dB的波束数量有所增加。
3 对波束方向图评价方式的改进BPd=-30 dB时，(1)式的优化结果可以有效降低波束方向图中超过-30 dB旁瓣的数量，但是主副瓣比没有得到优化。而对主副瓣比优化结果的主瓣宽度为1.22°；导致声呐的角分辨率降低。
改进评价函数为：
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(3) |
S1为主瓣区域以外的的集合。S2为满足以下2个条件的的集合
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WML为主瓣宽度，等于波束方向图u=0切片上的主瓣-3 dB宽度。k1、k2、k3为权重。
NE和NML为归一化因子，目的是使得优化过程中，第二项、第三项的取值范围与第一项的取值范围可比拟。其目的是为了使3个权重的取值能够更直观地反映出这3项在fdest中的权重。例如，归一化后，如果取k1=k2=k3=1；则表示这3项在fdest中处于同样重要的位置。
在优化过程中，随着fdest的降低，波束方向图的主副瓣比会提高，超过BPd的波束数量会减少，同时主瓣宽度会得到优化，优化过程保障了声呐的整体性能。
(3) 式所定义的评价函数可以适应不同应用场景的三维成像声呐的要求，当声呐主要对近处小目标观测时，需要提高声呐的主副瓣比及保证角分辨率，可以设计权值k1=k3>k2。若声呐主要对远距离的大型目标进行成像时，首先减低旁瓣高度和，其次要提高主副瓣比，可以设计权值k2>k1>k3。因此这一评价函数具有一定的普适性。
4 优化过程的改进已有的优化过程是在给定优化目标的前提下，使用尽可能少的阵元，通过加权波束形成来达到优化目标。较少的阵元可以降低电路系统的复杂度，但是在随机非相关噪声场中，声呐阵增益与阵元数量正相关。阵元数量增加可以提高阵增益从而增加声呐的作用距离，或在同样距离上观测到目标强度更低的目标。
在主瓣宽度、阵元位置相同的条件下，加权波束形成可以获得更低的主副瓣比；但权重较高阵元失效会对成像结果有较大的影响。
已有的优化过程没有考虑幅相误差[9-10]的影响，如果优化结果对幅相误差较为敏感，则声呐成像效果的稳定性会降低。
这里对优化过程进行改进，设计一种对阵元失效、幅相误差不敏感的优化过程，提高声呐的整体性能：
1) 根据声呐的体积、功耗等方面的限制，计算可以集成的模拟通道的最大数量A。
2) 固定阵元的抽取数量为A；采用阵元权重相等的波束形成，即ωmn=1或0；1表示该阵元参与波束形成，0表示不参与。
3) 设计目标函数，在对波束方向图进行全面评价的基础上，增加优化结果对幅相误差敏感度的评估。对每一种稀疏抽取的方式，随机生成Q组通道间的幅相误差，取评价函数值最高的作为该抽取方式的评价。
4) 采用遗传算法[5-8]作为优化手段；输出目标函数值最低的稀疏抽取方式。采用如下方法评估优化结果对幅相误差的敏感程度： 存在幅相误差时的波束形成公式[9-10]：
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其中δmn为第(m, n)阵元所对应模拟通道的幅度误差，φmn为对应的相位误差。此时：
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幅度、相位误差均由系统中大量误差的累积导致的，二者均服从正态分布[9]。取：
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设计目标函数：
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(4) |
式中
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(5) |
Ω为(δ, φ)的样本空间，样本数量取Q=100。Ω中的每一个样本，是所抽取的A个阵元所对应模拟通道上的(δt, φt), t=1, 2, …, A的集合。
fdest(δ, φ)代表通道的幅相误差为Ω的某一个样本的条件下，对某种稀疏抽取方式成像结果的评价。
fdestΩ为对于某种稀疏抽取方式，其通道间的幅相误差遍历Ω的全部样本共Q个，取Q个评价函数值的最大值作为该抽取方式的目标函数值。则优化过程可以描述为：
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(6) |
CopΩ为最优染色体，即目标函数值最小的染色体；其包含M×N个二进制元素，等于1的元素个数为A；每个元素代表一个阵元，等于1表示所对应的阵元被抽取，参与波束形成。|CopΩ|表示该染色体向量的1-范数。
取M=N=48;k2=k2=k3=1;BPd=-30 dB;d=λ；NE=8 200;NML=42。通过遗传算法搜索到最优染色体CopΩ对应的阵元分布如图 8所示：
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| 图 8 CopΩ对应的阵元分布图 |
CopΩ对应的波束方向图如图 9所示。
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| 图 9 CopΩ对应的波束方向图 |
图 9中，主副瓣比为16.27 dB。 表 2为不同优化结果与满阵的对比：
| 指标 | 满阵 | (1)式优化结果 | (4)式优化结果 |
| 主副瓣比/dB | 13.15 | 20.30 | 16.27 |
| 主瓣宽度/(°) | 1.050 | 1.222 | 1.092 |
| 旁瓣高度和 | 1.26×104 | 2.26×104 | 1.88×102 |
改进后的优化结果在主副瓣比、旁瓣高度和、主瓣宽度三者间取得了折衷，同时对幅相误差不敏感，具有更好的综合性能。
图 8所示的抽取方式较为均匀地分布在整个基阵平面上；而图 4中基阵中心区域阵元数量较多，因此图 8所示的阵型的等效孔径要高于图 4所示的阵型，从而提高了角分辨率。
5 实验结果采用图 8所示稀疏抽取方式的三维成像声呐，对湖下桥墩成像结果如下：
图 10为单帧三维原始图像;图 11为图 10旋转后的视图。
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| 图 10 对桥墩成像的结果 |
图 11可以看到，柱子为圆柱形，其上方的墩具有倒角结构。
对湖底梯田地貌进行成像并进行三维重建后的结果如图 12所示：
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| 图 12 湖底梯田地貌重建结果 |
由于对主瓣宽度进行优化，因此地貌的细节较为丰富，分辨率较高。
6 结论文中提出了包含主副瓣比、旁瓣高度和、主瓣宽度的评价函数；可以较为全面的评价波束方向图的各项特性。可以通过调整权值适应不同的设计需求，具有一定的普适性。
改进的优化过程，使声呐获得了尽可能高的阵增益，并降低阵元失效的影响，同时降低优化结果对于幅相误差的敏感度，使声呐具有较好的综合性能。
通过实验的结果验证使用本文稀疏方式设计的三维成像声呐成像细节丰富，分辨率高，具有良好的综合性能。
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