2. 西北工业大学 理学院, 陕西 西安 710129
飞行器在高速飞行过程中, 与空气摩擦产生较高温度, 这种高温会对飞行器的机械结构产生不良影响, 甚至导致飞行事故的发生[1-2]。因此, 进行飞行器材料承受热应力的研究, 对飞行器的飞行安全有重要意义。气动加热模拟实验主要通过控制弹体表面温度使之完全跟踪设定温度曲线, 是结构热强度和环境工程中极其重要的组成部分。
按照加热方式进行分类, 气动加热模拟实验技术主要分为对流加热、传导加热、辐射式加热3大类[3]。对流加热主要借助于热介质和试验件之间的高速相对运动来实现, 以热结构风洞为代表。实验时高温高速气流快速流过结构体表面, 实现强迫对流换热。但高温热结构风洞的试验成本极为昂贵, 并且单次运行时间短, 主要应用于模型实验。传导加热主要通过在试验件表面敷设加热垫来实现, 或利用试验件电阻直接通电进行加热。这种方式主要用于材料高温性能测定。辐射式加热是目前气动加热模拟实验广泛采用的加热方式, 其中以石英灯为发热体的实验方法最为普遍。
针对温度控制, 专家学者已给出一些控制策略, 如自适应控制[4], 它具有快速有效、计算量小、减少超调量、缩短稳定时间的优点, 但该控制方法比常规反馈控制复杂, 且成本昂贵。自校正控制作为自适应控制特例[5], 可根据一定的自适应更新律调节控制器的可调参数, 使被控系统在抵消系统不确定性的同时保证良好的运行效果, 该方法因需精确分析其动态特性和较大的计算量, 使得此方法没有广泛应用于温控系统中。文献[6]将模糊控制用于气动加热模拟实验中, 虽然模糊控制[7]不需要精确的数学模型, 且具有较强的鲁棒性和容错能力, 对受控对象的动力学特征、环境特征和行动条件变化具有较强的适应能力, 但模糊控制对热流控制的设计尚缺乏系统性, 无法定义控制目标, 且信息简单的模糊处理会降低系统的控制精度, 导致系统的动态品质变差。文献[8-9]利用PID控制结构简单、控制性能好、稳定性高等优点, 实现温度谱线的跟踪, 但PID控制器的参数主要通过手动调试来实现。上述自适应控制、自校正控制、模糊控制和PID控制中, 都面临着控制器参数整定的问题, 这些控制方法的参数整定均是依靠经验, 通过大量的实验, 采用试凑法获得合适的参数, 整个参数整定过程没有明确的指导思想, 耗费了大量的时间和物力, 降低了这些控制方法的有效性。
迭代学习控制 (iterative learning control, ILC) 由Arimoto[10]等于20世纪80年代提出, 它是一种无模型控制, 在系统模型未知的情况下, 利用自身的重复性特性, 通过足够多次的重复运行, 使执行对象行为达到期望的要求。正是由于迭代学习控制的这种属性, 迭代学习控制方法得到众多学者的青睐。与上述整数阶迭代学习控制相比, 分数阶迭代学习控制 (fractional order iterative learning control, FOILC) 更加细腻, 有很强的记忆功能、遗传特性和更好的动态性能[11-12]。针对气动加热模拟实验技术, 利用温度控制所具有的属性, 如周期性、快速变化、热功率大、受环境影响大情况, 这里引入分数阶迭代学习控制来实现温度轨线的精确跟踪。
由于石英灯辐射式气动热实验具有重复性的特点, 满足迭代学习控制的基本条件[13-14]。而分数阶迭代学习控制同样适用于具有某种重复运动性质的对象[15]。因此本文提出了基于分数阶PDα型迭代学习控制的石英灯气动热实验导通角控制策略, 并对其收敛性进行了严格的数学证明, 最后的实验结果表明了所提方法是可行有效的。
1 系统模型及控制器设计 1.1 系统模型石英灯辐射式气动热实验的系统结构如图 1所示。控制器实时采集温度信号, 进行相应的分析运算后, 输出控制信号给调功器。调功器根据控制信号改变输出电压, 即改变加热器的输出功率, 使到达被试产品表面的温度跟踪给定控制目标谱线。如何提高谱线跟踪性能对提高实验有效性具有十分重要的意义。
图 1所示输入信号与输出电压功率转换之间的关系不是线性的关系, 但它们具有一一对应的特点。为了迅速获得控制律, 功率装置转换模型可以简单表示为
(1) |
式中,kp是功率转换装置的增益; τp是功率变换器的时间常数; τ1是功率转换装置的时间延迟。
加热器的模型可以简单表示为
(2) |
式中,kH为加热器增益, τH为加热器时间常数, τ2为加热器的时间延迟。
温度传感器的模型可以简单表示为
(3) |
式中,ks为温度传感器增益, τs为温度传感器时间常数, τ3为温度传感器的时间延迟。
综合上述各部分的传递函数, 得到石英灯辐射气动加热功能实验系统的传递函数为
(4) |
在实际测试系统中, τp和τs非常小, 而τH又远远大于τp和τs, 因此在系统中τH起着主导作用。从而 (4) 式可以简写为
(5) |
式中,K=kpkHks, T≈τH。
1.2 控制器设计对于具有重复运行特性的石英灯辐射式气动加热系统, 满足使用迭代学习控制运行的基本条件, 下面采用分数阶迭代学习控制对期望温度曲线进行跟踪, 以提高跟踪速度和温度跟踪精度。分数阶迭代学习结构框图如图 2所示。
其中虚线框“当前周期”表示气动热实验系统, 其结构见图 1; 虚线框“前一周期”内为迭代学习控制器, 采用开环PDα型学习律。开环PDα型学习律利用了上一次的控制量与上一次迭代时的跟踪误差及跟踪误差的α阶导数来修正当前次的控制量 (即导通角)。
由图 2可得各物理量之间的频域关系为
(6) |
式中, Yd(s) 为期望参考输出信号; Yk(s) 为系统第k次运行后的输出; Ek(s) 为第k次迭代学习的跟踪误差; Uk(s) 为第k次迭代的控制输入; k次修正后的控制为Uk+1(s), 作为第k+1次迭代的控制输入; ΚP和ΚD分别为PDα型迭代学习律比例和微分学习增益。
定理 将分数阶PDα型迭代学习律作用于实测系统 (5) 中, 选取适当的比例和微分学习增益ΚP和ΚD, 若
(7) |
则当k趋于无穷大时, 系统输出完全跟踪期望输出。
证明 在频域下对其进行收敛性分析, 有
(8) |
对上式两边取范数可得
(9) |
递推可得
(10) |
由于ρ=‖1-KPG(s)-KDsαG(s)‖<1, 则由 (10) 式可得, 当k→∞时, ‖Ek(s)‖→0, 则存在控制输入序列Uk(s), 使系统一致收敛。
定理得证。
注1 针对石英灯辐射式气动热实验的温度轨线高精度跟踪, 该定理提供了在分数阶迭代学习控制下的理论依据。
注2 类似于整数阶迭代学习控制, 采用PDα型学习律相比单一的Dα型学习律, 降低了极限轨迹相对期望轨迹的偏移, 所引入的P型成份, 降低了Dα型成分对扰动敏感性的不利影响, 增强了学习性能。
1.3 分数阶微分的实现针对分数阶微积分计算问题, 目前一般把分数阶系统转化为连续的整数阶系统进行数值逼近, 这样就可以把整数阶系统的分析方法移植到分数阶系统。常用的方法主要有连分式展开法、Grunwald-Letnikov定义直接计算法、Carlson法、Matsuade法、Chareff法以及Oustaloup法等。其中, 改进型Oustaloup法近似效果比较好, 本文利用该方法进行分数阶数值计算, 具体如下[16-17]
(11) |
式中, N为正整数, 2N+1为系统 (11) 的近似阶次, 通常情况下, 取N=3;K=(ωbωh)α, ωh和ωb分别为上截止频率和下截止频率, 其值的选取由系统的控制周期和频率决定, b和d为引入的系数, α为分数阶阶次, 第k个零点ω′k和极点ωk分别为
(12) |
(13) |
则分数阶微积分近似计算步骤如下:
1) 给定近似频段的范围[ωb, ωh]和阶次N;
2) 通过微积分的阶次α, 极点和零点的计算由 (12) 和 (13) 式得到, 并算出K值;
3) 再根据 (11) 式近似计算出分数阶sα的整数阶有理传递函数。
上述 (11) 式仅对α∈(0, 1) 有效, 例如:若α>1, 如α=2.5, 此时可化为s2.5=s2·s0.5; 若α<0, 如α=-0.8, 此时为s-0.8=s0.2·s-1替代计算。
2 实验分析利用迭代学习进行谱线跟踪调试过程步骤如下:
a) 选择学习增益;
b) 在u0为零的情况下, 以 (6) 式产生控制量, 给调功器;
c) 对温度反馈进行分析, 判断谱线误差是否满足气动热实验的条件。如满足转向步骤f);
d) 以 (6) 式产生新的控制量, 给调功器;
e) 转向步骤c);
f) 结束。
为了验证所提方法的可行性和有效性, 采用图 3所示的实验装置进行实验分析, 其中交流电源采用380V动力电; 功率调节器为中凯变流器, 型号为JK3S, 输出功率高达230 kVA, 导通角使用范围为[90°, 150°]; 加热器为双排共10根石英灯灯管, 单根石英灯灯管功率5 kW, 灯管电阻R为28 Ω, 灯丝的长度40 cm; 试件采用比热容为500 J/(kg·℃) 钛合金的试件, 钛合金试件厚度l为2 cm, 钛合金密度ρ为4 500 kg/m3; 灯管距试件距离r为0.1 m; 热电偶采用OMEGA K型高温热电偶, 测量范围为0~980℃; 控制器为贝加莱PLC X20系列CPU。实验装置实物如图 3所示。
设置期望温度轨迹为yd(t)=40+t, t∈[0, 600], 取ΚP=0.23, ΚD=1.2, α=0.8。分数阶微积分计算的相关参数为:N=3, ωb=0.001, ωh=1 000, b=10, d=9。经计算ρ=0.873 9<1, 满足 (6) 式的迭代学习控制收敛条件; 实验过程中的运行数据存于上位机中, 实验后利用上位机中的数据采用MATLAB绘图。
实验过程中, 跟踪的目标谱线特性为从40℃以0.3℃/s升到150℃, 然后保持不变。每次迭代初始温度都始于40℃, 整个实验进行了4次迭代就达到所需要求。不同次迭代学习得到的跟踪温度轨线如图 4所示。不同次迭代学习得到的误差如图 5所示。不同次迭代学习得到的控制量如图 6所示。
图 4中, 第1次学习结束后, 反馈温度和目标温度之间存在较大误差。第2次学习过程中, 控制量在第1次学习的基础上进行修正。学习的过程中, 误差逐渐变小, 这使得微分项越来越小, 但控制量需要增大, 导致图 6中的导通角越来越小。PDα型迭代学习的关键在于利用误差变化率去修正控制量, 从而逐渐向最优的控制量趋近。
图 5中, 在学习次数增加的情况下, 误差曲线逐渐变小。经过4次的学习, 稳态误差为2.2℃。在初始状态时, 动态跟踪误差为2.6℃。初始状态控制误差较大的原因是由于被控对象具有时滞特性。在渡过初始过程后, 动态最大跟踪误差为1.7℃。这种误差满足航天系统对谱线跟踪误差的要求。
从图 6可以看出, 实验过程中导通角的变化范围为[130°, 150°], 其最优的控制量位于[130°, 150°]内, 与先前的假定最优控制量位于[90°, 150°]一致。
每条谱线具有600 s的持续时间。经过4次学习达到要求。而利用PID进行调试时, 往往需要长时间调试才能达到要求。因此文中所提分数阶迭代学习控制方法极大缩短调试时间, 且改进了学习性能。
为便于比较分析, 在相同仿真环境下, 分别采用本文所提分数阶PDα型迭代学习算法和整数阶PD-型迭代学习算法进行试验比较, 在[0, 600]时间内, 二者的跟踪误差与迭代次数变化轨迹如图 7所示, 两者都随着迭代次数的增加单调趋向于零。
由图 7可以看出, 分数阶PDα型迭代学习算法迭代4次时, 已经收敛到误差带15°内。而整数阶PD-型迭代学习算法需要迭代7次才能收敛到上述误差带。可以看出本文所提分数阶PDα型控制算法较整数阶PD-型迭代学习算法学习速度的提高十分明显, 在同样的迭代次数下, 误差比传统意义下要小得多。
3 结论本文利用石英灯辐射式气动加热模拟实验重复性的特点, 提出基于分数阶迭代学习控制的谱线跟踪方法运用于气动热实验, 该方法结构简单, 在线计算量小, 不需要建立精确的数学模型, 仅依靠系统的输入输出参数设计控制器, 即:利用误差和误差的α阶导数修正上一次学习得到的控制量, 产生新的控制量, 加快谱线的调试过程。
实验结果表明, 该法同传统的整数阶迭代学习算法相比, 缩短了调试周期, 实现了精确跟踪; 提高了跟踪精度, 能够更加有效地模拟气动热环境; 能够有效抑制超调, 降低瞬态大热流的输出, 有效避免对涂层的破坏, 保护产品不受破坏; 提高了实验的效费比, 短时间精确跟踪, 能降低实验准备时间; 推广了迭代学习控制在工程中的应用范围。
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2. School of Natural and Applied Sciences, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710129, China