变体飞行器是一类能够根据飞行条件和飞行任务而改变其气动外形, 始终以最优的飞行状态在大范围变化的飞行环境中完成多种飞行任务^[1]。变体飞行器的变体过程主要通过改变机翼的气动外形来实现, 机翼形状的改变使得飞行器本体参数如翼面面积、重心位置都随着翼型的改变而改变, 由此产生的气动力和动量矩(积)随之发生变化^[2], 这为变体飞行器的控制带来新的挑战。因此, 为了满足飞行品质的要求, 所设计的飞行控制系统必须确保变体过程中的飞行稳定性^[3]。

线性变参数(linear parameter varying, LPV)控制通过实时可测或可估计的系统参数的变化体现系统的时变特性, 可在整个参数轨迹上实现鲁棒稳定性和系统的鲁棒性, 在进行系统分析与综合时, 其最大的优势在于可用线性系统的处理方法解决非线性问题, 因此被广泛地应用于航空、航天系统的控制器设计与研究中^[4-5]。系统的性能如稳定性、H_∞性能在很大程度上由系统参数集的大小决定, 但当参数大范围变换时, 单一的LPV控制器将使系统性能变得很差, 甚至无法求解。Lu等将LPV控制方法和切换控制理论相结合, 提出了一种参变Lyapunov函数的切换线性变参控制(switching linear parameter varying, SLPV)方法^[6-7], 文献[8]根据变体飞行器的特点及任务模式把后掠角的变化范围分成不同的区域, 在各自的区域分别设计控制器, 变体时通过激活相应区域的控制器以实现变体过程中的稳定性, 但该方法在设计控制器时没有考虑变体飞行器在不同机体构型的控制目标。

变体飞行器相异于常规飞行器的最大优点在于能根据飞行任务的变化而改变机体构型, 从而在不同的飞行环境和飞行任务中始终具有良好的飞行性能。由于不同的任务需求及飞行性能要求对应不同的控制目标, 因此不同的机体构型其性能指标也不同。文献[6, 9]用不同的权值函数来表示F-16战斗机在不同迎角区域的期望性能指标, 用参数依赖多Lyapunov函数方法解决迎角大范围变化时的飞行器控制问题。文献[10-11]用迟滞切换和公共Lyapunov函数方法解决变体飞行器变体的快速性问题及变体过程中的多目标控制问题, 但采用公共Lyapunov函数方法过于保守; 而采用迟滞切换策略时, 切换面却因切换序列的不同而不同, 这给设计过程带来额外负担, 而平均驻留时间方法可弥补上述两种切换策略的不足, 解决变体飞行器变体过程中的多目标控制问题。

1 变体飞行器LPV建模

基于如图 1所示的某型变后掠翼无人机进行研究, 机翼后掠角χ的变化范围为15°~60°, 这里给出该变体飞行器的纵向短周期非线性动力学模型^[10-11]:

(1)

对其用Jacobian线性化方法可以得到变体飞行器纵向短周期在平衡点处的线性小扰动方程为

(2)

式中, Δα、Δq和Δδ_e分别为状态向量和控制向量相对于平衡点处的偏差量。为描述变体动作对飞行器的影响, 在后掠角变化范围内每隔5°作为一个考察基准, 运用CFD软件计算每种构型下的气动参数。为便于分析气动参数和χ的关系, 把变体过程中重心位置的变化对飞机的影响换算为相应构型气动参数的变化。因此, 以后掠角作为调度参数, 定义ρ=χ, 可得到变体飞行器的LPV模型

(3)

式中, 状态变量x=Δα  Δq^T, 控制量u为平衡点处升降舵相对于配平值的偏差量Δδ_e^[10]。

2 基于参数依赖Lyapunov函数方法的切换LPV控制器设计 2.1 问题描述

考虑如下形式的切换LPV系统模型

(4)

式中，x∈Rⁿ是系统状态, z∈R^n_z是被控输出, ω∈R^n_ω是外部干扰输入, y∈R^n_y是量测输出, u∈R^n_u是控制输入, ρ是可以实时测量的可微时变参数, 并且参数ρ在紧集P⊂R^s内, 其变化率的上下限为v_k≤≤v_k, k=1, 2, …, s。假设P可由一族切换面分割为一组子区域集{p_i}_i∈ZN, 对于任意i, j∈Z_N, Z_N={1, 2, …, N}, p_i⊂P, 有∪_i=1^Z_N p_i=P, p_i∩p_j=S_ij。各子区域互相互联, 且在不同的子区域系统的控制目标各不相同。对开环LPV系统(4), 在不同的子区域设计形如下式的变参数控制器

(5)

式中，x_k∈R^n_k为控制器的状态。当参数变化到某个区间, 激活相应的控制器。因此, 在每个参数子区域p_i内闭环系统描述为

(6)

式中，x_cl^T=[x^T   x_k^T] ∈R^n+nk, 切换信号σ为右连续的分段常值信号, 且假设在有限的时间间隔内切换次数有限。

2.2 基于平均驻留时间方法的控制器设计

定理1  给定标量λ₀ > 0, μ > 1, 考虑开环线性变参数系统(4)和变参数区域P及子区域{p_i}_i∈ZN, 令

若对于任意ρ∈p_i都存在一组正定对称矩阵R_i(ρ)和S_i(ρ), (i∈Z_N)满足如下条件

(7)

(8)

(9)

式中, π_i(ρ)=R_i(ρ)A_i^T(ρ)+A_i(ρ)R_i(ρ)+λ₀R_i(ρ)+ , κ_i(ρ)=A_i^T(ρ)S_i(ρ)+S_i(ρ)A_i(ρ)+λ₀S_i(ρ)+ , 且对于任意ρ∈S_ij, 如下不等式成立

(10)

(11)

则存在变参数控制器使系统(4)切换信号满足条件

(12)

时在参数区域P内是指数稳定, 且对于λ < λ₀时系统满足加权H_∞性能指标γ

证明  对任意参数子区域p_i(i∈Z_N)内, 假设存在一组参数相关正定对称矩阵函数X_i(ρ)在其所属子区域光滑连续, 则闭环系统(6)对应于该子区域的Lyapunov函数可定义为

(13)

线性矩阵不等式(7)~(9)等价于

(14)

并且参数相关Lyapunov函数具有如下形式

式中

为方便设计, 选择M_i(ρ)=R_i(ρ), N_i(ρ)=R_i^-1 (ρ)-S_i(ρ), 则对应的Lyapunov函数可写为

对上式作等价变化可得

(15)

采用平均驻留时间方法可降低Lapunov函数在切换面处连续性的要求, 但为保证切换发生时Lapunov函数非增, 需使切换前Lapunov函数值增大μ( > 1)倍, 则由(15)式易知不等式(10)~(11)等价于≤V_i(ρ)≤μV_j(ρ)。

由不等(14)式易知

(16)

假设在时间间隔[0, T]内的切换时间序列为0, t₁, …, t_{Nσ(0, T)}, t₀=0为初始时刻, 则

由(12)式易得闭环系统(6)指数稳定。

3 仿真验证

本节基于前文的变体飞行器切换LPV模型进行仿真研究。根据变体飞行器的特点及任务模式将后掠角变化范围分为3个区域, 区域划分为P₁:15°≤χ≤30°; P₂:30°≤χ≤45°; P₃:45°≤χ≤60°, 分别对应巡航模态、中间过渡模态和冲击飞行模态。为体现变体飞行器变体过程中在不同的后掠角区域有不同的控制目标, 分别选择3个权值函数

相应区域的LPV控制器分别用K₁(ρ)、K₂(ρ)和K₃(ρ)表示。当后掠角变化到相应区域时, 相应的控制器被激活, 并通过相应的权值函数实现对变体飞行器的多目标控制。

变体飞行器切换LPV系统的控制结构图如图 2所示。

其中P(ρ)是变体飞行器纵向短周期的切换LPV模型, 把系统的2个状态α和q作为输出, 跟踪的理想模型：

其输出α_ideal和实际迎角输出α的差α-α_ideal作为跟踪误差, 通过权值函数惩罚跟踪误差。外部输入包括二维传感器噪声n和迎角指令信号a_cmd。被控输出包括开环加权误差信号α_p和z_a, 这样就可将跟踪问题转化为外部输入和被控输出之间的H_∞控制问题。图 2中作动器动态模型W_act取为

控制输入的惩罚函数W_a为

设各子区域p_i(i为所在区域编号)所对应的参数依赖Lypunov函数矩阵X_i(ρ)为

式中, ρ=χ为变体飞行器的后掠角, 矩阵R_ij和S_ij, (j=0, 1)是待优化求解的矩阵。图 3给出了变体飞行器用本文所用方法在变体过程中对给定指令信号的响应曲线。

4 结论

本文基于平均驻留时间的方法设计了变体飞行器切换线性变参数系统的鲁棒H_∞控制器, 考虑到变体飞行器在不同的后掠角区域其控制目标不同, 在设计过程中根据不同的控制目标分别设计相应区域的鲁棒控制器, 并用平均驻留时间方法保证变体过程中的稳定性。仿真结果表明用本文所用方法不但能有效降低系统的保守性, 同时可使系统的H_∞性能明显改善, 也可实现对指令信号的良好跟踪。