基于HRRP的目标识别一直是雷达目标识别的热门领域^[1]，且一般都遵循预处理、特征提取\选择、分类识别的处理流程。

HRRP的统计特征能够反映其幅度起伏特性，因此在特征提取阶段，对HRRP进行统计建模将建模问题转换为模型选择和参数估计问题^[2]，能够获取可分性更高、更有价值的特征。文献[3]指出HRRP在PPCA和FA模型下近似服从联合高斯分布，提升了参数估计的效率。文献[4]在PPCA模型的基础上，利用EM算法和KL距离对HRRP重新分帧，提升了大范围方位角内HRRP的识别率。

但实际工作环境中，获取的HRRP回波由于受到目标远近、杂波和天气等因素的影响具有相对较低的信噪比，如果直接应用高信噪比环境中估计的PPCA模型参数会造成模型失配，影响识别性能^[5]，这也是基于统计建模面临的普遍问题。为此相关文献从造成模型失配的原因入手，做了许多工作。文献[6]对FA模型进行非参数化修正并预先估计噪声水平，提升了小样本情况下FA模型的稳健性。文献[7]在假设HRRP各距离单元噪声服从复高斯分布的基础上，补偿不同信噪比下统计模型的参数。文献[8]利用参数寻优将基本PPCA修正为对噪声稳健的自适应PPCA模型。本文引入训练样本与测试样本模型匹配度的概念，利用噪声与信号的向量关系，得到针对不同信噪比测试样本的PPCA修正模型，增强了PPCA模型在不同信噪比环境下的稳健性。

1 模型修正和概率主成分分析 1.1 模型修正

雷达识别系统工作的典型模式是高信噪比下训练，低信噪比下识别。这使得应用PPCA模型时，不得不考虑模型在训练样本与测试样本之间的匹配问题。

从图 1看出，由于受到噪声的影响，获取的PPCA模型参数Λ_X={μ_X, W_X, σ_X}和Λ_Y={μ_Y, W_Y, σ_Y}并不相同, 如果使用训练样本模型Λ_X, 通过最大后验概率判定测试目标则必然造成识别率的下降。根据引起模型差异的原因, 通过构造差异函数D₁(·)、D₂(·)和D₃(·)消除模型间的失配, 达到稳健识别的目的。

对于HRRP识别系统, 假设训练数据集为X={x₁, x₂, …, x_n}, 测试数据集为Y={y₁, y₂, …, y_n}。在特征空间内, 通过构造从测试数据集到训练数据集的映射X=F_v(Y), 或在模型空间构造映射Λ_Y=G_η(Λ_X), 消除噪声的影响。可得

(1)

(2)

利用(1)、(2)式的最优化方法获得补偿参数ṽ和ῆ, 得到修正PPCA模型。

1.2 概率主成分分析模型

隐变量参数模型是PPCA模型的基础^[9]

(3)

等式(3)中, 隐变量x服从独立高斯分布N(0, I)。ε为观测噪声向量, 服从N(0, ψ)。观测向量y服从N(μ, WW^T+ψ)。得到模型参数为{μ, W, σ}, 可通过最大似然估计或期望最大值算法得到具体参数:

(4)

(5)

(6)

下标i代表第i个样本, 总数为N。λ₁, λ₂, …, λ_d是从大到小依序排列的样本协方差矩阵S=的特征值。U_q和Λ_q分别是与前q个特征值对应的特征向量矩阵和特征值矩阵。

2 基于修正模型的稳健识别

修正PPCA模型的目的是对高信噪比条件下的模型参数进行补偿, 以便准确反映不同信噪比下测试样本的分布。但是求解补偿参数是一个极值搜索问题, 必然造成大量的计算。通过分析可知, 不同信噪比下的PPCA补偿参数与叠加的噪声功率直接相关。如果能寻找一种估计测试样本噪声功率的方法, 就可以避免求解最优化问题, 降低系统的计算负担。

2.1 基于复高斯噪声的参数修正

HRRP是对采样后的复距离像取模得到的, 即x=[|x(1)|, |x(2)|, …, |x(N)|]^T。噪声n叠加在复数域, 则任意一个距离单元内的复信号模型可表示为|x|=|s+n|。如果定义高信噪比的HRRP为|x_h|, 则低信噪比的HRRP为|x_l|:

(7)

等式(7)中θ为信号与噪声之间的夹角。HRRP各距离单元波形的统计分布满足|x_h|~N(μ_h, σ_h²)。噪声幅度|n|服从瑞利分布, 其概率密度函数可表示为:

(8)

噪声与信号间的夹角θ∈[0, π], 概率密度函数为:

(9)

利用隐函数关系f(|x_l|², wvcosθ)=0求解|x_l|的密度函数p(|x_l|)。令W=|x_h|, v=|n|则各变量的联合密度函数为p(W², V², wvcosθ), 首先计算cosθ的概率密度函数:

(10)

假设Z=XY, 已知X, Y的联合概率密度函数f(x, y), 根据(11)式计算Z的密度函数:

(11)

利用(11)式的结果计算(w, v, cosθ)的联合概率密度函数p(w, v, cosθ):

(12)

=-2|x_l|由隐函数关系可得, 按(7)式进行变量代换:

(13)

得到|x_l|的概率密度函数p(|x_l|):

(14)

(14)式过于复杂, 修正模型意义不大。计算|x_l|的近似分布。已知信号与噪声独立, 期望E (|x_h||n|cosθ)=0。(7)式可简化:

(15)

计算u=|x_h|²和v=|n|²的概率密度函数:

(16)

(17)

由于|x_h|²和|n|²独立, 按照随机变量和的分布计算规则, 计算z=|x_l|²的密度函数:

(18)

进而得到|x_l|的概率密度函数p(|x_l|):

(19)

对于形如y_t=x_t+b_t的模型, 在模型空间下的补偿参数更易计算^[10]。最终的补偿形式等价为μ_y=μ_x+μ_b, Σ_y=Σ_x+Σ_b。

按不发生越距离单元徙动的角度为标准, 将c个目标的训练HRRP划分为m帧模板。则对任意一组测试HRRP, 其关于第c个目标第m帧HRRP模板的辅助函数可表示为:

(20)

(20)式中, |x_l(l)|表示测试距离像第l个距离单元对应的幅值, W_h^cm(l)对应训练样本第c个目标第m帧HRRP在PPCA模型下的加载矩阵的第l行, μ_h^cm(l)对应训练样本第c个目标第m帧HRRP在PPCA模型下第l个距离单元的均值。则|x_l(l)|的期望为:

(21)

可得针对第c个目标第m帧HRRP的PPCA模型的均值修正值μ₀为:

(22)

通过辅助函数f(|x_l|)_cm计算第c个目标第m帧HRRP的PPCA模型噪声协方差辅助矩阵φ_cm:

(23)

噪声协方差修正值ψ₀^cm可表示为:

(24)

式中, ψ_h^cm对应训练样本c个目标第m帧HRRP在PPCA模型下的噪声方差矩阵。

2.2 基于高斯噪声的参数修正

由于能克服初相敏感性, 实距离像是常用的研究对象。可简化信号模型, 将低信噪比下其距离单元HRRP幅度表示为x_l≈x_h+n。如果已知x_h~N(μ_h, σ_h²), n~N(0, σ_n²), 根据随机变量和的分布, 得x_l的密度函数:

(25)

从(25)式可知，低信噪比条件下，HRRP幅度仍服从高斯分布。

对于第c个目标第m帧训练样本, 其对应的PPCA模型参数分别为_cm^h, 和。则测试样本的PPCA模型表示为:

(26)

已知n_l~N(0, δ²I), 得到n_cm^l~N(0, (σ_cm^l)²I)。直接推导低信噪比下测试样本的PPCA模型参数:

(27)

(28)

(29)

测试样本和训练样本的协方差矩阵相等, 即S_l==S_h, 容易得出结论U_{cm, q}^l=U_{cm, q}^h。则修正后的协方差矩阵为。

2.3 测试样本噪声功率的确定

中值滤波估计器常用来估计不同测试样本的噪声水平^[11]。对于一个待测信号x_n=x+n, n表示叠加的噪声, 首先去除原始信号x的影响:

(30)

运算符⊗表示卷积, fd_i表示i阶有限冲激响应高通滤波器。则近似的噪声信号为:

(31)

式中, 对于高斯分布b=1.482 6, med()表示取一组数据的中位数。对于一组测试HRRP信号x_l, 其在复高斯噪声模型下的噪声方差σ_n²可表示为:

(32)

对于实HRRP信号x_l, 其在高斯模型下的噪声方差δ²为:

(33)

将等式(32)、(33)带入等式(22)、(24)、(28)和(29)中, 得到针对不同信噪比条件下, 测试HRRP的PPCA修正模型参数。

3 仿真实验

识别实验使用的HRRP数据按照文献[12]所示方法获取, 包括4类飞机外形的目标A、B、C、D。采用步进频雷达, 步进频2 MHz, 脉冲重复频率4 KHz, 步进数200, 对应的HRRP距离分辨率为0.375 m, 包含400个距离单元。设置4类目标的方位角变化范围为0-180°, 每隔0.1°取一次回波数据作为训练样本。重新设置不同的偏航角, 俯仰角和横滚角, 每步进0.05°取1次回波数据作为测试样本。根据目标的横向尺寸(近似为10 m), 以不发生越距离单元徙动的角度δ_(MTRC)=4°, 划分角域。

PPCA模型描述HRRP各个分帧的统计分布, 准确性受隐变量维数q的影响。当q较低时, PPCA模型不足以描述HRRP的真实数据结构; 另一方面PPCA自由参数的数量为dq+1-q(q-1)/2, 当隐变量维数较多时, 需要估计的参数增多, 对于训练样本有限的情况, 估计的精度会有所下降。针对训练样本和测试样本均为高信噪比的情况, 以最大后验概率分类器检验识别结果。通过PPCA建模获取c个目标第m帧的统计参数μ_cm和∑_cm, 则对测试样本x_test的判定结果为:

(34)

图 2给出了A、B、C、D类目标识别率随隐变量维数q变化的曲线, 基本反映了PPCA模型描述HRRP分布的性能。

在模型准确度和计算效率上折中, 取隐变量维数q=60。对于复高斯噪声增量下的PPCA模型, 其第c个目标第m帧的统计参数为修正均值=μ₀^cm+μ_h^cm和修正协方差=W_h^cm(W_h^cm)^T+ψ_h^cm+ψ₀^cm, 则对测试样本x_test的判定结果为:

(35)

高斯噪声增量下的判别规则:

(36)

图 3给出了PPCA模型，基于高斯噪声的PPCA修正模型和基于复高斯噪声的PPCA修正模型在不同噪声强度下平均识别率的变化情况。

由图 3可知，将PPCA模型应用于低信噪比测试样本的识别时，平均识别率非常低。可以这样认为，当信噪比低于20dB时，PPCA模型其实已经失效。而提出的另外两种PPCA修正模型却在低信噪比下有60%左右的平均识别率，明显的提高了识别性能，削弱了训练样本与测试样本之间的失配现象。而随着信噪比的提升，PPCA模型的平均识别率才逐步趋近于本文提出的两种PPCA修正模型。

4 结论

在实际应用中，雷达目标识别系统获取的HRRP常处于强噪声背景中，信噪比较低，极大地影响了测试样本固有的统计特性，导致由训练样本估计的PPCA模型很难适用于测试样本。本文通过分析低信噪比信号与噪声的关系，先验的估计不同噪声源的功率，得到两种PPCA修正模型。这两种修正模型能够根据测试样本的噪声水平，修正模型参数，提高低信噪比环境下测试的稳健性。