在未来联合作战中，炮兵仍然是实施地面火力覆盖的主体力量和支援配合其他军兵种作战的基本力量，常规炮弹在保持对广阔区域的高水平压制能力的同时，还应具备在复杂环境中对小面积、低成本目标的精确打击能力。二维弹道修正引信是一种实现低成本精确打击的前沿技术，仅通过更换弹道修正引信即可满足大批量库存无控弹药智能化、灵巧化改造的迫切需求，其赋予常规弹药低成本精确打击的能力已经成为世界各国发展弹药引信装备的强烈共识。

基于中大口径迫/榴弹平台，采用惯性器件/卫星定位组合测量弹体姿态/弹道参数，将修正引信与弹体通过解耦结构部件连接构成双旋稳定弹(dual-spin stabilized projectiles)，修正引信头部采用的2对翼面布局分别实现引信的滚转控制和弹道修正所需控制力，这是目前国际上二维弹道修正引信技术中最具代表性的总体设计方案^[1-2]。修正引信的实时滚转角作为弹道控制模块的重要输入信息，其准确测量是二维弹道修正技术有待解决的关键技术。滚转角测量的主要方法有：太阳方位辅助测量、磁/卫星定位组合测量以及陀螺/卫星定位组合测量等方法。太阳方位辅助测量受到天气限制，具有较大的应用局限性；磁/卫星定位组合测量方法国内外相关文献较多^[3]，算法成熟且运算相对简单，但其缺点在于易受到外界强电磁信号干扰，目前仍处于屏蔽/补偿磁干扰的关键技术突破阶段；陀螺/卫星定位组合测量方法的详细介绍最早于1995年由David J.Lucia提出^[4]，近年多有文献进行进一步的阐述，其中Hee Young Park等人继承并改良了David J.Lucia的算法^[5-6]，但这些方法都仅限于引信修正阶段几近止旋的微旋状态(3 r/s以内)且转速恒定。然而在实际弹道环境中，修正引信的转速远远大于文献[4-6]所设定的理想情况，因此需要设计一种能够适应较高转速的修正引信滚转角测量方法。

针对该二维弹道修正技术设计方案中修正引信在全弹道范围内的旋转特点，本文建立了双旋稳定迫弹七自由度(7 degree of freedom，以下简称7DOF)外弹道模型用以分析修正引信全弹道旋转特性，通过推导得到修正引信滚转角的力学解析关系，并提出一种基于扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter，以下简称EKF)的高转速修正引信滚转角测量方法。

1 研究基础 1.1 解析法推导

双旋稳定受控弹发射后，北斗卫星定位接收机完成重捕定位，开始弹道轨迹测量并得到弹丸地面系下3个方向的速度分量V_x、V_y、V_z, 根据所测速度信息可以计算出弹道倾角θ及弹道偏角ψ, 见图 1所示。

(1)

(2)

根据相邻采样时刻计算出的弹道倾角θ和弹道偏角ψ, 能够估算得到俯仰角速度和偏航角速度:

(3)

(4)

式中, θ_k、θ_k-1以及ψ_k、ψ_k-1分别为相邻采样时刻计算得到的弹道倾角和偏角, t_h为采样步长。

根据外弹道学对坐标系的定义^[7], 准弹体坐标系的OX轴为弹轴, OY轴垂直于OX轴指向上方, OZ轴符合右手法则垂直于OXY平面指向右侧; 弹体坐标系的OX^b轴仍为弹轴, 但OY^b和OZ^b轴固连在弹体上并与弹体一同绕纵轴OX^b旋转。设从准弹体坐标系转过的角度为γ, 则弹体坐标系的角速度ω^b要比准弹体坐标系的角速度矢量ω多一个自转角速度矢量, 即

(5)

式中, ω为旋转弹准弹体坐标系相对惯性系的转动角速度, ω^b为旋转弹弹体坐标系相对惯性系的转动角速度, 式中L_x(γ)为绕Z轴的基本旋转矩阵, 对于右旋弹指向弹轴前方。ω在准弹体坐标系的投影为

(6)

式中, L_x(θ)为绕Y轴的基本旋转矩阵, 联立(5)式可以推导出

(7)

ω_x^b、ω_y^b、ω_z^b即为固连在弹体的三轴陀螺输出, 由此建立了滚转角γ与陀螺输出的解析关系, 进而可以求得滚转角。

1.2 扩展卡尔曼滤波^[8]

卡尔曼滤波器是针对观测状态变量的最优线性滤波器, 但对于复杂的非线性系统则需要用到一种非线性滤波方法, 而EKF无疑是过去数十年应用最为广泛的非线性状态估计方法。

设k时刻带有离散量测的连续时间系统如下所示

(8)

式中，x为被估计的状态变量, w为协方差为Q的系统噪声, v为协方差为R_k的量测噪声。

如果记为状态变量的估计值, 则可得到系统偏微分矩阵在当前状态估计的值为

(9)

此时状态估计误差的协方差P_k和传播协方差表达式如下

(10)

式中，A和L由(9)式给出, (10)式的积分方程将状态变量的估计和估计误差的协方差P_k由k-1时刻的后验估计状态传播到k时刻的先验估计状态, 随后在每一个量测时刻按照离散卡尔曼滤波方程更新状态估计和协方差, 如(11)式所示:

(11)

至此得到k时刻的后验状态变量估计, 滤波方程的第k步计算结束。

2 滤波算法设计

根据陀螺输出表达式可以得到滚转角的三角函数表达方程, 同时认为陀螺输出由其载体真实角速度及测量误差叠加构成, 则有(12)式

(12)

将(12)式改写为

(13)

令估计状态向量X_k包括转速p、初始滚转角γ₀以及y/z轴陀螺测量误差, 则

(14)

量测向量Z_k为

(15)

系统偏微分矩阵见(16)式~(19)式:

(16)

(17)

(18)

(19)

式中

0₂为二阶零矩阵，I为二阶单位矩阵，C₂^T是C₂的转置矩阵。

3 仿真验证 3.1 修正引信旋转特性分析

建立某双旋稳定迫弹7DOF外弹道模型, 射角采用最大射程角, 弹丸初速为名义初速, 在炮兵标准气象条件下通过仿真分析修正引信的旋转特性。受控弹全弹道飞行稳定, 弹道曲线如图 2所示。

图 3和图 4分别是全弹道范围弹丸和修正引信无控飞行的转速曲线。弹丸发射后, 迫弹尾翼产生导转力矩使弹丸转速由静止状态迅速提升至10 r/s左右, 之后转速随动压变化(由弹丸速度决定)呈倒“U”型变化趋势且全弹道保持左旋(从弹尾向弹头方向看去); 修正引信头部安装与尾翼反向的导转翼面, 在反向导转作用下转速迅速提升至25 r/s左右, 随后在导转力矩和摩擦力矩的合作用下自由旋转, 使其在全弹道内与弹丸旋转方向相反, 即向右旋转。

假设北斗卫星定位接收机在10 s内实现重捕定位, 那么整个修正阶段的引信转速在15~20 r/s之间波动, 远远超过文献[5-6]算法中的转速限制(3 r/s), 因此需要设计一种适应较高转速的修正引信滚转角测量方法。

表 1给出了应用于滚转角测量模型中的各测量参数。

3.2 理论解析滚转角

在不考虑表 1中陀螺固有系统误差、测量误差及北斗定位测量误差的条件下根据理论解析式(7)推导出修正引信实时滚转角，图 5是解算滚转角与7DOF模型中修正引信滚转角真值的理论解算绝对误差曲线，可以看到滚转角的解算误差几近为零，这也验证陀螺输出与修正引信滚转角的解析关系推导是正确的。

然而根据表 1引入测量误差后，滚转角真值完全湮没在系统噪声中无法分辨，解算绝对误差如图 6所示。可以看到虽然解算误差令人无法接受，但其呈现出弹道初段及末段极大而弹道中段较小的趋势，这是因为修正引信在整个弹道的中段转速最小(几乎为弹道初段和末段的1/2)，由此带来的一个仿真步长周期内的滚转角累积误差也最小。

通过以上仿真可以看到，在引入陀螺和北斗定位测量误差后，仅通过理论推导构建滚转角和陀螺实测输出之间的数学解析关系是无法得到准确滚转角信息的，因此需要采用滤波算法进行优化估计。

3.3 滤波估计滚转角

采用EKF对修正引信滚转角进行优化估计，图 7为引入测量误差条件下使用滤波算法前后的滚转角解算绝对误差对比，图 8为弹道最后23 s的局部对比图。可以看到采用滤波算法的滚转角估计值与真值之间的误差1 s内快速收敛，收敛后全弹道解算误差不超过6°，其中10~40 s弹道段的解算误差不超过2°。宏观来看，滚转角解算误差在弹道初段及末段有所增大，这是由于该时间段修正引信转速较大而导致每一个仿真步长内滚转角增量过大，预测协方差和滤波器的增益不能随新息同步改变从而失去对突变状态变量的跟踪能力，使估计误差增加。以图 4为例，弹道末段修正引信转速超过15 r/s，在一个步长周期内带来的预估状态变量增量就有5.4°，因此采用EKF对修正引信滚转角的估计效果是令人满意的。

通过减小模型仿真步长降低预估状态变量在一次仿真周期内的增量，可以有效提高滤波估计精度；但是过小的仿真步长会导致仿真数据处理量过大，同时也会在算法移植后大大增加微处理器的运算处理负担，考虑到目前的解算误差满足修正系统精度要求可暂不改变仿真步长。

4 试验验证

配有修正引信的某双旋稳定迫弹采取整体灌封、零部件过载缓冲以及射后上电等工程经验，通过外场炮射试验实测数据来验证滚转角测量算法。利用弹载陀螺试验前的零偏、灵敏度等系统参数标定结果，可以将弹道环境下采集的陀螺输出信号转换为相应角速率，截取15~35 s弹道段陀螺数据以验证滚转角解算算法。陀螺数据如图 9所示：

滚转角解算绝对误差如图 10所示，经统计：15~35 s弹道段解算绝对误差不大于10°，绝对误差的均值为3.9°，满足滚转角测量指标要求。

5 结论

本文建立双旋稳定迫弹的7DOF外弹道模型用以分析修正引信在全弹道范围内的转动特性，通过力学推导得到滚转角的理论解析表达式，并仿真验证了其正确性；在此基础上引入了陀螺固有系统误差、测量误差以及北斗卫星定位测量误差后，基于EKF方法估计出修正引信实时滚转角。仿真结果表明：采用该估计方法1 s内就可以实现滚转角解算快速收敛，全弹道滚转角解算绝对误差不大于6°，在弹道10~40 s段解算绝对误差不大于2°；最后通过外场炮射试验采集数据进行验证，以15~35 s弹道段为例，滚转角解算绝对误差不大于10°，绝对误差的均值为3.9°，可以满足修正系统的滚转角测量精度要求。