三轴磁通门磁传感器具有体积小、精度高、抗冲击性能好等特点，在地磁导航、航空磁探、水下平台磁场测量等需要磁场测量场合有着广泛的应用^[1]。由于加工工艺等原因，三轴磁传感器各轴很难做到完全正交，同时三轴之间也存在一定差异，接收器电路存在漂移、噪声，接收器铁芯存在剩磁，数据采集存在截断误差，2个三轴磁通门传感器还存在磁场测量系配准误差^[2-6]，这些误差因素使得磁场测量值与实际值之间有一个较大的误差。经验表明，灵敏度系数差异造成的测量误差约有数十纳特，零点偏差在100 nT左右。在地磁场背景场下，0.1°的角度误差会引起2个磁通门传感器测量差约300 nT，远远大于磁异常引起的磁场之差。因此，磁通门梯度仪在使用前必须进行固有误差的校正。

三轴磁通门传感器校正的关键是校正模型精度和模型系数的求解，对于校正模型通常考虑三轴正交性、灵敏度一致性和零偏误差3个因素，而模型系数求解的方法有很多种，比如Crassidis提出了基于卡尔曼滤波和无迹滤波的实时校正方法^[7]，Manon提出了极大似然估计校正方法^[8]，Jun提出用支持向量回归(support vector regression)方法进行误差校正^[9]，John提出了一种非线性最小二乘法参数估计^[10]，Wu提出了采用最优二次似然估计校正算法^[11]，邱立军提出了模型系数自动搜索方法^[12]，龙礼提出了自适应系数求解法^[13]，黄玉提出了线性神经网络的求解方法^[14-15]，归纳起来这些方法对模型参数估计都有一定的效果，但算法求解过程复杂、可操作性不强，不适用于工程实际应用。

本文对三轴磁通门传感器的零偏误差、灵敏度误差和三轴非正交误差所引起的测量误差进行了深入研究，建立了三轴磁通门传感器测量误差自较准模型；同时针对磁梯度仪中两磁通门传感器摆放方位不一致的问题，提出了磁通门传感器的互校正方法。仿真模拟和试验验证表明，采用最小二乘算法能够对磁梯度仪中的测量误差进行有效校正，整个校正过程求解简单、操作方便。

1 磁梯度仪中单个磁通门的自校正模型

为了建立单个三轴磁通门传感器的自校正模型，首先建立三轴磁传感器坐标系。磁传感器的3个轴坐标分别为X_o、Y_o和Z_o, 其输出信号分别为B_X0、B_Y0和B_Z0; 正交坐标系X、Y和Z, 外磁场在正交坐标投影分别为B_X、B_Y和B_Z。正交坐标系和三轴磁传感器坐标满足以下关系:(1)Z轴与Z_o轴重合; (2)坐标面YOZ与Y_OOZ_O共面, 并假设OY₀轴与OY轴夹角为β, X_O轴与X轴夹角为λ, 与Z的夹角为π/2+α, 与Y轴夹角为π/2+γ。如图 1所示。

只考虑三轴不正交影响, 三轴磁传感器每个轴的输出外磁场3个分量在传感器该轴上投影的和, 用B_X0、B_Y0和B_Z0表示, 三轴的输出表示为

(1)

实际三轴磁传感器很难保证三轴完全正交, 但是其误差可以控制在1°以内, 角度参数λ、α、γ和β为小量, 根据泰勒展开, 忽略高阶小量, 做近似处理, cosλ≈1, cosβ≈1, sinγ≈γ, sinα≈α, sinβ≈β, 三轴磁传感器输出简化为

(2)

考虑灵敏度不一致, 忽略线性度不一致性, 假设三轴的灵敏度分别为K_X、K_Y和K_Z; 考虑三轴磁传感器铁芯剩磁和电路的漂移, 假设剩磁和电路漂移为恒定值, 分别用b_x、b_y和b_z表示, 三轴磁传感器输出表示为

(3)

如果记

则(3)式简化为

忽略二阶小量有

(4)

利用向量二范数的定义, 忽略二阶小量有

(5)

由(4)式和(5)式可得

(6)

将(6)式右边中各元素展开后可得到

(7)

当单个磁通门传感器测量N个磁场数据, 会得到如(7)式所示的N个方程组, 当方程组个数大于未知系数个数, 采用最小二乘法可以求解方程组中的未知系数, 即磁传感器三轴灵敏度误差K_x、K_y和K_z、非正交性误差α、β和γ以零偏误差b_x、b_y和b_z。

2 磁梯度仪中多个磁通门的互校正模型

磁梯度仪原理上要求由2个完全一致的三轴磁通门传感器组成, 实际安装过程中两磁通会有角度偏差。一个磁通门的三维坐标系x₂y₂z₂连续旋转3次可以和另一个磁通门的坐标系x₁y₁z₁一致, 其旋转过程为:第1次绕x₂轴旋转α₁角, 第2次绕旋转后的y′₂旋转α₂角, 第3次绕第2次旋转后的z″₂轴旋转α₃角, 最后产生了另一个坐标系x₁y₁z₁, 如图 2所示。

机械安装后各轴的旋转角度α₁、α₂和α₃都非常小, 忽略二阶小量, 则磁梯度仪中两磁通门的磁场值B₁=[B_X1 B_Y1 B_Z1]^T和B₂=[B_X2 B_Y2 B_Z2]^T有如下关系

(8)

当磁梯度仪测量N个磁场数据, 会得到如(8)式所示的N个方程组, 当方程组个数大于未知系数个数, 也采用最小二乘法可以求解方程组中的未知系数, 即2个三轴磁通门传感器的旋转角α₁、α₂和α₃。

3 磁通门梯度仪误差校正模型仿真分析

为了验证磁通门梯度仪校正算法的可行性, 假设地磁总场为B_sum, 则在理想正交坐标系XYZ下, 三轴分量分别为

式中, -90°≤θ₁≤90°、0°≤θ₁≤360°, 假设地磁场为50 000 nT, 利用Matlab的随机函数rand产生50组θ₁和θ₂, 2个磁通门传感器的性能参数设置如表 1和表 2所示, 各分量上分别叠加相互独立幅值为0到20 nT的随机噪声, 两磁通门仿真磁场数据之间的旋转角度α₁、α₂和α₃都设置为1°。

采用最小二乘法求解(7)式得到两磁通门传感器性能误差参数, 并将预设的实际值与求解的估计值对比, 如表 1和表 2所示。

由表 1可以看出1号磁通门性能参数的估计值和实际值吻合较好, 由表 2可以看出2号磁通门性能参数的估计值和实际值吻合较好, 最小二乘法算法可以很好地实现磁梯度仪中单个磁通门传感器的自校正。

为了验证多个磁通门传感器互较准算法的可行性, 通过最小二乘法求解(8)式后, 对比角度误差参数的实际值和估计值如表 3所示。

由表 3数据可以看出2个磁通门传感器的角度误差参数的估计值和实际值吻合较好，最小二乘算法很好地实现磁梯度仪中多个磁通门传感器的互校正。

将磁梯度仪的修正参数带入(3)式和(8)式中，可计算出修正后的磁梯度仪三轴差分信号。图 3为磁梯度仪较正前后仿真数据的对比图，可以看出通过磁梯度仪的校准算法处理后，XYZ三轴的仿真数据差分信号波动范围显著减少，与较准前比较分别减少了大约100倍、60倍和70倍。有效降低了磁梯度测量数据的误差，具有理论可行性。

4 磁梯度传感器校正试验验证

为了验证磁通门梯度仪转向差校正算法在实际修正过程中的效果，在学校足球场选取一处地磁环境干扰少的地方作为试验场地。试验过程中将2个三轴磁通门传感器用塑料胶布固定在木杆上构成磁梯度仪，如图 4所示。磁梯度仪中两磁通门传感器的相对位置保持不变，在无磁转台上每10°旋转1次采集磁场数据，完成360°的平面旋转后，总共采集36个点的磁场数据。

完成磁场数据的采集工作后，利用最小二乘法分别对单个传感器的性能误差进行自校正，得到自校正前后的磁场总量如图 5所示。从图中可以看出：1号磁通门传感器的磁场总量经过单个磁通门自校正处理后波动量从1 539.6 nT下降到23.9 nT；2号磁通门传感器的磁场总量经过单个磁通门自校正处理后波动量从1 543.2 nT下降到22.1 nT。校正效果明显，验证了单个磁通门自校正算法的可行性。

单个磁通门传感器的自身性能误差完成自校正后，还需要对多个磁通门传感器的摆放方位误差进行互校正。利用最小二乘法将2个磁通门传感器的磁场数据转换到相同的坐标系下，保证3个轴的指向性一致。磁梯度仪自较正前和完成互较准后对应的三轴地磁场测量值的差分信号如图 6所示。从图中可以看到：X轴分量校正前后波动范围从170.5 nT减少到48.2 nT；Y轴分量校正前后波动范围从248.1 nT减少到155.7 nT，且中心点由1 500 nT左右校正到0 nT附近；Z轴分量校正前后波动范围从1 919.8 nT减少到74.0 nT。磁通门梯度仪通过校正算法处理后，转向误差明显减小。然而磁通度仪在无磁转台上的较准效果还远远没有达到仿真模拟的较准效果，可能原因是磁通门传感器的实际实验中的转向差校正模型还忽略了磁传感器性能随温度的变化、磁通门的剩磁、数据采集存在截断误差以及周围磁环境并不理想等原因。

5 结论

本文提出的基于最小二乘的磁通门梯度仪误差校正算法，在建立单个磁通门的自校正误差模型和多个磁通门的互校正误差模型的基础上，有效地降低了磁通门梯度仪测量磁场数据的转向差问题。整个校正求解过程不需要恒定磁场测量装置，只需在较为稳定的地磁场环境下采集多组三轴输出数据，具有很好的工程实用价值。