舰船在海洋环境中航行时，由于存在不同金属结构件的电化学反应，海水中会产生腐蚀电流，同时，为了防止船体的腐蚀，各种人为外加的保护系统也会向海水中输出电流^[1-4]。腐蚀电流和防腐电流的主体部分都会由于海水的良导电性，经海水与船壳、螺旋桨及螺旋桨转轴构成闭合回路，由于螺旋桨转动引起轴系接触电阻发生周期性变化，使得海水中腐蚀、防腐蚀电流也随之发生周期性脉动，从而在海水中激发出极低频的交变电磁场，称为轴频电磁场^[5-6]。轴频电磁场具有明显的线谱和谐波特征，易于接收和处理，是水下目标探测系统和自导系统较为理想的目标信号源^[7-8]。

在对舰船腐蚀电磁场的测量及防护方法、腐蚀相关电磁场的产生机理和推导电磁波的传播表达式的研究中，都离不开对其数学模型的研究^[9-10]。目前可见到的建模方法主要有有限元法、边界元法、偶极子源法^[11-13]。其中发展起来并且逐步实用的方法是边界元法和偶极子法。但是，边界元建模需要编制大型边界元软件，且只能计算结构参数、工作状态已知的合作目标，且在计算全空间的电场和磁场分布时还存在较大困难。偶极子建模则由于它可对任意目标进行电磁特征的分析和预测，且模型相对简洁，因此在实际应用中更加具有吸引力。近些年，国内外在该方向的研究主要采用电偶极子源法。Wimmer等^[14]采用按一定规则排列的离散电偶极子进行等效，再利用实测场数据，通过反演来获得未知模型参数，该思路的实现需要依靠矛盾方程组的求解，在一定程度上增加了难度；陈聪等^[15]在电偶极子模型的基础上提出了电流线模型，模型中的电流线等效为保护系统的中心点到螺旋桨的距离。该建模方法忽略了海水为导电媒质的特性。

腐蚀相关的电流由于海水这一良导体的存在，与螺旋桨、转动轴、船壳等形成闭合回路。借鉴极低频发信台的原理，本文提出以电流环与磁偶极子等效性为线索，对舰船轴频电磁场场源进行磁偶极子建模，这种新的建模方法考虑了海水的良导电性，因此，更加符合实际中的轴频电磁场场源。同时，在提高模型精度的前提下减少了计算量和实测数据量，因此更适合用于舰船腐蚀相关极低频电磁场的研究。

1 建立磁偶极子模型

借鉴国内外如今正在服役的对潜通信的极低频电磁波发信台原理，对于海水中的轴频电磁场场源进行建模，防腐系统中心和螺旋桨可以等效为发信台的2个接地电极，海水同样具有导电性，螺旋桨转动轴及船壳可以等效为发信台2个接地电极间的电缆，从而形成闭合回路。因此，本文借鉴极低频发信台原理，通过电流环的等效性建立磁偶极子模型。建立该模型，首先要分析电流在海水中的分布情况。

1.1 海水中电流分布

海水的电导率与海水中的离子种类、各种离子的浓度、温度和压力等因素有关，而压力对电导率的影响又较小，因此，本文将海水看作均匀的导电媒质。众所周知，均匀导电媒质中的电流是按指数规律随距离而衰减的^[16]，即

(1)

式中:i₀是海面的电流密度; k为海水中电磁波的波数, 即

(2)

式中, ω为信号的角频率, σ为海水的电导率, 一般海水电导率为4 s/m, μ₀为磁导率, 磁导率与媒质没有关系, 一般取值4π×10^-7。对(1)式从0到∞进行积分, 得

(3)

式中

(4)

称为海水的趋肤深度, 趋肤深度是用来表征趋肤效应的重要参量, 定义为当电磁波从表面进入导电媒质一段距离而使得其幅度衰减到原来(表面)幅度的1/e时的这段距离。如果将通有交变电流信号的2个电极置于刚刚淹没入水面处, 那么, 均匀导电媒质中分布的电流等效于集中在δ/2距离处回流, 从(4)式可以看出, 当趋肤深度是频率的函数, 当频率确定时, 该频率的趋肤深度也就确定, 也就是说当电磁波频率确定时, 其等效回流深度也是定值。

1.2 基于电流环建立磁偶极子模型

前面给出了海水中电流环回流深度的表达式, 通过计算回流深度, 可以得到腐蚀相关电流构成的电流环, 接下来通过电流环与磁偶极子的等效性, 将该电流环等效为磁偶极子, 进而对轴频电磁场场源进行磁偶极子建模, 下面推导电流环与磁偶极子的等效。

设电流环半径为a, 带有均匀电流I_φ, 位于r, θ, φ球坐标系的θ=90°的坐标平面上, 其中心与坐标原点重合。直角坐标系x, y, z的原点与球坐标系的重合, x轴与φ=0°、θ=90°的坐标轴r重合。环上每一点的电流I_φ分解为直角坐标系的x和y分量

(5)

如图 1所示, z轴垂直于图面向外。从图上看出, 相对于xz平面的2个半环上x方向的电流数值相等、方向相反, 而且对应的方向相反的电流元至该平面上任意点的距离相等, 因此x方向电流在这个平面上产生的矢量磁位相互抵消。而y方向电流在该坐标平面上产生的矢量磁位不能完全抵消。也就是说xz平面上只有y分量电流产生的矢量磁位。矢量磁位的直角分量可通过非齐次标量亥姆霍兹方程求解, 即

(6)

式中:电流密度可以表示为J_y=I_φcosφ/dS, S为电流的截面积, 体积单元dV=dSdl, dl=ad_φ为电流元的长度, 电流元的位置坐标为(a, θ=90°, φ)。观察点选在xz坐标平面内, 其坐标为(r, θ, φ=0°)。R为源点至场点的距离, 其表达式及当r»a时的近似式为

(7)

把球面波函数e^-jkR/R按泰勒级数展开, 得

(8)

把(8)式和电流密度表达式代入(6)式, 得:

(9)

若将xz平面绕z轴旋转, 则旋转时每个xz平面内都能得到(9)式的y方向的矢量磁位A_y, 其在球坐标系中变为A_φ, 根据麦克斯韦方程组, 可得电流环在球坐标系中的电磁场表达式为

(10)

下面求磁偶极子产生的电磁场。设磁偶极子垂直于小电流环平面, 并穿过其中心; 这表明偶极子是沿z轴指向的。位于坐标原点的垂直磁偶极子产生的垂直矢量电位为

(11)

式中:J_m为磁流密度。设磁偶极子的磁流为I_m, 长度为Δl, 半径为ρ₀, 那么磁流密度为

(12)

在柱坐标系中体积单元为dV=ρdρdφdz。(11)式的积分是在场源区域进行的。在ρ₀→0和dl→0的情况下, 其积分后为

(13)

根据麦克斯韦方程组, 得到磁偶极子在球坐标系中的电磁场表达式为

(14)

通过(10)式和(14)式比较可知, 磁偶极矩

(15)

电流环与磁偶极子产生的空间分布是相同的, 它们的数值也相同。因此, 电流环等效于垂直其平面的磁偶极子。

在深入分析了发信台接地天线可等效为电流环的原理以及导电媒质中电流环的回流深度表达式的基础上, 通过上述电流环与磁偶极子的等效性, 得到了轴频电磁场的磁偶极子模型。

以上分析可知, 决定磁偶极子模型磁偶极矩的2个参数为电流I和等效电流环的面积S。电流I为在螺旋桨汇聚流入转动轴的电流, 环面积S为保护系统中心到螺旋桨的距离作弦和与回流深度有关的曲线组成的闭合曲面的面积, 下面介绍该闭合曲面的3种近似形状, 并分别给出相应的面积S计算方法。

2 环面积S的计算

由环天线理论可以知道, 当环天线的面积一定时, 环天线的辐射功率与其形状关系不大。但是, 当频率和导电媒质确定时, 等效回流深度已经确定, 这时, 电流环的形状如何, 将影响环面积的确定, 进而决定等效电流距的大小。因此, 这里根据等效回流深度与电极对间距的关系给出了3种电流环的近似形状。

第一种形状:图 2中的极低频发信台的导电媒质为大地, 大地电导率一般约为10^-3 S/m, 当频率为76 Hz时(俄罗斯军方建设的发信台所使用的频率), 其等效回流深度大约为

2个电极间距离一般约为数十千米, 远大于回流深度, 因此在计算等效电流环的面积时将其近似看成一个矩形, 实际应用中也是将该电流环等效为矩形, 面积为S=Lδ/2。该种形状的条件是电极对间距远大于回流深度, 这时, 电极对间距的线性变化会引起环面积的线性变化。

第二种形状:图 3中的轴频电磁场场源的导电媒质为海水, 海水电导率一般约为4 S/m, 当频率为3 Hz时, 其等效回流深度大约为

舰船的转动轴长度大约十几米, 与等效回流深度相比小很多, 海水为均匀导电媒质, 电流方向不会发生突变, 而且, 面积一定时, 环天线的辐射功率与其形状关系不大。因此, 这里我们将等效电流环近似看成一个圆形曲线, 圆的直径为等效回流深度, 其面积为S=πδ/(2)²。该种形状的条件是电极对间距远小于回流深度, 这时, 电极对间距的小范围内线性变化几乎不会影响环面积的变化。

第3种形状:图 4中所示的导媒质为海水, 电导率为4 S/m, 当频率为20 kHz, 其等效回流深度大约为

图中2个电极对的间距为0.5 m, 与等效回流深度相差不大, 假设海水是均匀导电媒质, 这里我们将等效电流环近似看成一个圆与电极对间距为弦组合而成的闭合曲线, 过2个电极的中点做垂线, 该垂线通过圆心且与圆相交, 中点到交点的距离为等效回流深度其面积为S=S₂-S₁(如图 4所示)。该种形状的条件是介于第一和第二种情况之间, 即电极对间距和回流深度可比拟。这时, 电极对间距的线性变化会影响环面积的变化, 但是不是线性变化。

众所周知, 采用电偶极子模型分析其在介质中辐射电磁场时, 电场E_D和磁场H_D的表达式都可变换成如下形式^[16]

(16)

式中，IL为电偶极矩。采用磁偶极子模型分析其在介质中辐射电磁场时, 电场E_M和磁场H_M的表达式同样可变换成与上面相同的形式^[17]

(17)

式中，I_mΔl为磁偶极矩, 其可由(15)式计算得到。(16)式、(17)式中, f_n(t)为慢变函数, 当λ很大时, g_n(t, λ)振荡非常快。

从上面公式可以分析出, 当其他条件不变, 只有电流值I线性变化时, 电偶极子模型和磁偶极子模型在某一固定场点辐射的电场和磁场场强都应该随之线性变化; 而当其他条件不变, 只将2个电极间的间距线性变化时, 电偶极子模型同样在固定场点辐射的电场和磁场场强将呈线性变化, 而磁偶极子模型的场强变化与其面积成正比, 与电极间距没有直接关系。上面公式表明, 频率的变化对试验定性分析2个模型的结果不会产生影响, 因此, 试验过程中, 由于试验器材的限制, 将轴频电磁场的频率进行了缩比等效。

3 试验验证

为了验证通有交变电流信号的电极对在海水中辐射电磁场的辐射模型, 及磁偶极子模型中环面积的等效方法。在山西运城盐湖进行了验证试验。

3.1 试验环境

盐湖的湖面很宽阔, 湖深为2 m, 电导率为σ=1.0 S/m。根据水深条件, 为了验证环面积的等效计算方法, 本次试验中采用的是10～20 kHz的正弦信号, 为了保证接收点场强变化只由电极对间距变化引起, 接收磁传感器位于电极对连线的垂直平分线上, 其相距电极对中点为8 m。接收传感器一直固定在该点。

试验过程中信号频率为10～20 kHz, 通过公式(4)可以得到等效回流深度约为3.56～2.52 m, 由于回流深度大于水池深度, 等效电流由于湖深的限制, 将改变其路径, 电流从电极对的某一极流出后沿着等效电流环到达湖底, 之后贴着湖底, 经等效电流环流回另一电极, 从而形成闭合回路, 如图 5所示。在计算实际电流环的面积时, 由于电极对间距变化范围为0.4～6 m, 与等效回流深度相差不大, 可以按照上面提到的第三种方法进行计算。

3.2 试验结果分析

本次试验的目的是定性分析将石墨电极对置于导电媒质中时，电偶极子和磁偶极子哪个模型更符合实际情况，且验证上面提出的磁偶极子环面积的计算方法。前面分析了2种模型与电流和电极对间距变化规律的关系(这里只需要各点之间的相对关系)，因此在对试验数据和模型分析时，采用了归一化处理，处理后的数据能够更直观反映出变化规律，便于2个模型与试验数据的对比。

图 6是信号频率为20 kHz时，试验结果和2个模型对比分析图。图 6a)电流变化时2个模型与测得的磁场强度的对比关系图，以实测最大电流值(287.9 mA)时做归一化处理。从图中可以看出，2个模型的磁场场强随电流的变化呈线性变化(2条曲线重合)，且与试验测得数据的变化规律基本吻合；图 6b)图是电极对间距变化时2个模型与测得的磁场强度的对比关系图，整个试验的过程中都在监测电极对的输入电流，当电极对间距从0.4~6 m变化时，电流的变化范围为225~242.6 mA，其变化很小，为了避免因电流变化引起模型的不准确，在仿真时，将电流变化也计算其中，使结果更加精确。从图中不难发现，试验测得的结果与磁偶极子模型有较好的一致性。

图 7是信号频率为10 kHz时，试验结果和2个模型对比图。其大体趋势与图 6中相似，电流变化时，2个模型的变化规律与实验数据都基本吻合，电极对间距变化时，磁偶极子模型与试验结果吻合程度更好。

图 8是电极对间距变化时，试验中实测的不同频率结果之间的对比分析。从图中可以看出，电极对间距较小时，磁场强度几乎不怎么变化，随着间距的增大，磁场强度也呈现变大趋势；当电极对间距在回流深度附近时(20 kHz时回流深度为2.52 m，10 kHz时回流深度为3.56 m)，磁场强度有很明显的变大。表明电磁波的辐射场与回流深度有关系，即计算辐射偶极矩时应该考虑海水导电性，从面积角度比2个电极间的距离更加符合实际情况。

4 结论

从舰艇腐蚀相关轴频电磁场的产生机理出发，借鉴国内外正在服役的对潜通信的极低频电磁波发信台的建设原理，通过电流环与磁偶极子的等效性，提出了一种新的建模方法——磁偶极子模型，为了验证电偶极子和磁偶极子哪一种建模方法更加准确，更加接近实际的辐射规律，在山西运城盐湖进行了验证试验，试验结果表明：

1) 当电极对间距不变，电流变化时，接收到的磁场场强随着电流线性变化，2个模型都与试验结果有较好一致性；

2) 当电流不变，电极对间距变化时，电极对间距较小时，磁场强度几乎不怎么变化，随着间距的增大，磁场强度也呈现变大趋势，磁偶极子模型比电偶极子模型与试验结果吻合更好；

3) 当电极对间距在回流深度附近时，磁场强度明显变大，表明电磁波的辐射场与回流深度有关系，从另一方面说明采用磁偶极子模型建模由于考虑海水的良导电性，因而比电偶极子模型更加准确；

4) 对磁偶极子模型中等效电流环面积的计算，采用文中提到的第三种计算方法得到磁偶极子模型与试验结果吻合较好，表明该方法是可行的。

研究表明：由于海水导电性的原因，对轴频电磁场建模时，采用与电流环等效的磁偶极子模型比电偶极子模型更符合实际情况，同时，通过试验结果表明所提出的第三种面积计算方法是可行的，满足该条件时，可以通过该方法计算磁偶极子模型的等效环面积。因此可以将该模型应用在研究舰船极低频电磁场产生机理及推导其表达式的过程中，为轴频电磁场建模及传播规律研究提供了一个新的思路和方法。