随着对高性能与高可靠性要求的增加，卫星姿态控制系统变得越来越精细与复杂。这样的复杂系统不可避免地存在各种各样的故障，尤其是陀螺、强磁计、太阳敏感器以及动量轮等传感器与执行器故障，这些故障将会降低系统的性能，甚至带来灾难性的后果。因此，近几年来卫星姿态控制系统的故障估计问题越来越受到研究者的重视，成为了重要的研究方向，取得了一些富有成效的研究成果^[1-4]。

在过去的二十年间，根据先进控制理论，研究了各种各样的故障估计方法。如基于滑模观测器方法、基于未知输入观测器方法、自适应观测器方法以及描述观测器方法等^[5-9]。文献[5]针对离散时间线性系统，提出了鲁棒故障估计观测器设计方法，能够实现对系统状态与执行器故障的同时估计；文献[6]采用观测器方法对航天器存在的执行机构失效故障和外部干扰问题进行故障检测与重构；在文献[7]中，将执行器故障作为增广状态向量构造一个增广系统，利用线性矩阵不等式方法设计了一个增广状态观测器，能够同时获得原系统的状态和执行器故障的渐近估计；文献[8]基于故障诊断滤波器设计方法实现对离散线性描述系统的执行器故障诊断；文献[9]针对线性系统，根据已有的自适应故障诊断观测器设计方法，提出了一种增广故障诊断观测器设计方法，拓展了自适应故障诊断观测器的适用范围。

我们注意到，上述研究成果大多是针对线性系统，而且只有文献[8]研究了描述系统的故障诊断问题。根据上述研究成果，本文针对满足Lipschitz条件的非线性系统，采用一种鲁棒自适应观测器设计方法，该方法能够同时估计执行器与传感器故障。通过把传感器故障作为增广状态，建立增广系统模型，应用鲁棒自适应观测器同时估计系统状态、传感器与执行器故障。最后将该方法应用于微小卫星姿态控制系统中执行器与传感器故障估计问题，通过数值仿真证明了该方法在卫星姿态控制系统传感器与执行器故障估计方面的有效性。

1 问题描述

根据文献[10-11]，卫星姿态动力学方程可以由下式描述：

(1)

式中, J=diag｛J₁, J₂, J₃｝为卫星的转动惯量, ω=[ω_x, ω_y, ω_z]^T为卫星本体相对惯性坐标系的角速度在星体坐标系中的表示, u=[u₁, u₂, u₃]^T为控制力矩, 非线性项为ζ=[-sinθ, sinφcosθ, cosφcosθ]^T, ω₀为轨道角速度, T_d=[T_d1, T_d2, T_d3]^T为外部干扰力矩, 欧拉角φ、θ、ψ分别为滚转、俯仰与偏航角, 斜对称矩阵由下式描述

(2)

当姿态角较小时, 动力学方程(1)可以写成

(3)

卫星的运动学方程经过线性化可以描述为

(4)

选取状态变量x=[φ, θ, ψ, ω_x, ω_y, ω_z]^T, 则含有系统不确定项Δψ(t)以及传感器故障f_s与执行器故障f_a的卫星姿态控制系统可描述为

(5)

式中: , C=I_6×6, 为系统系数矩阵。D为传感器故障分布矩阵, 并假设:D=, 系统不确定项Δψ(t)=[0, 0, 0, T_d1, T_d2, T_d3]^T。非线性项为

(6)

如果把传感器故障作为附加状态, 可以得到如下的增广描述系统形式^[11]

(7)

式中:为状态向量, ∈∈。n为系统矩阵A的维数, m为输入维数, p为输出维数, q为传感器故障维数。

注1  在上述增广过程中并未采用任何假设, 所以系统(5)和(7)是完全等价的。

注2   微小卫星的姿态控制系统不同于较大卫星, 较大卫星的柔性与模型的缓变衰减是建模时应该主要考虑的影响因素。而对于微小卫星, 由于不存在柔性特性, 可以把它作为刚体进行考虑。

在进行故障估计观测器设计之前, 首先给出如下合理假设。

假设1   假设系统(5)是能控能观系统, 非线性项f(x, t)满足Lipschitz条件, 即

(8)

式中:L_f是Lipschitz常数。

假设2   当传感器故障f_a与执行器故障f_s发生时, 它们是可辨识的, 并且_a与_s属于L₂(0, ∞)空间。

从形式上看, 系统(7)是一个描述系统, 所以本文将从描述系统出发, 进行故障估计观测器设计。

2 故障估计观测器设计

对于系统(7), 根据假设1和2, 一定能够找到矩阵L_D∈R^(n+q)×p使得矩阵S=E+L_DC为非奇异矩阵, 通常选S为单位阵。需要注意的是, 当E=I_n时, L_D可以选择0矩阵使得S为非奇异矩阵。

基于上述讨论, 对系统(7)采用如下观测器^[4]

(9)

式中:w∈R^n+q是中间变量, 是状态z=[x^T, f_s^T]^T的估计值, _a是执行器故障的估计值, e_y=y-是输出估计误差, L_P∈R^(n+q)×p和L_D∈R^(n+q)×p分别代表设计的比例增益和微分增益矩阵, 标量α>0为设计参数。

针对上述观测器, 采用如下的自适应故障估计率^{[4, 9]}

(10)

式中:Γ∈R^m×m是对称正定矩阵, 代表学习速率, F∈R^m×p, P∈R^(n+q)×(n+q) > 0为设计参数。

上述观测器(9)可以写成下列形式

(11)

在方程(7)两边同时加上L_D, 可得

(12)

定义状态估计误差e=z-, 则可得

(13)

式中:e_f=f_a-_a代表执行器故障估计误差, 具有如下的动态特性

(14)

上述(13)式和(14)式能够表达为更简洁的形式

(15)

式中:。

定义, 其中H是前置滤波器^[4]。。

在进行观测器增益矩阵设计时, 设计目标为:在零初始条件下, 对于所有的非零项满足Δ∈L₂[0, ∞), 系统的H_∞性能指标满足。其中, μ>0为标量。

定理1  考虑满足假设1~2的系统(7), 对于给定的正定标量μ, 如果存在矩阵P∈R^(n+q)×(n+q)>0, L_P∈R^(n+q)×p和F∈R^m×p满足下面的不等式^{[4, 11]}

(16)

式中:。则观测器误差方程(15)是渐进稳定的, 并且具有期望的H_∞性能指标。

证  定义Lyapunov函数

(17)

式中:。其对时间的导数为

(18)

由于不确定项满足Lipschitz条件, 因此

(19)

式中:θ₀是一个正定标量, θ₀=L_f/‖C‖。

对于任意给定的向量x、y与正定对称矩阵P, 不等式x^Ty+y^Tx≤x^TPx+2y^TP^-1y总是成立, 因此

(20)

如果α满足, 则

(21)

把(20)式和(21)式带入(18)式, 可以得到

(22)

当Δ=0时, (22)式可以写成下面的形式

(23)

如果不等式(16)存在可行解, 则一定成立。因此, 当Δ=0时, (15)式是渐进稳定的。

另外, 当Δ≠0时, 在零初始条件下, H_∞性能指标可以表示为

(24)

令, 则把代入(24)式, 其中

(25)

经过简单的代数运算, (24)式可以写成

(26)

式中:Λ为不等式(16)的左边。因此, 如果(16)式成立, 则J < 0一定成立。定理1得证。

注意到不等式(16)是一个非线性矩阵不等式, 不能够应用MATLAB的LMI工具箱进行求解。因此需要做进一步的变换。首先给出相关引理。

引理1  对于适维矩阵Q=Q^T、F、M、N、不等式(27)

(27)

对所有满足F^TF≤I的F均成立, 当且仅当存在ε>0, 不等式(28)成立^[12]。

(28)

定理2  考虑满足假设1~2的系统(7), 如果存在矩阵P∈R^(n+q)×(n+q)>0, P∈R^(n+q)×(n+q)>0, F∈R^m×p、和L_P∈R^(n+q)×p, 正定标量ε和ε, 使得下面的最优化问题具有可行解^{[4, 11]}

(29)

(30)

(31)

式中:+Γ^-1。则对于给定的正定标量α>0, 观测器误差动态方程(15)渐进稳定且具有期望的H_∞性能指标。并且观测器增益为L_p=SP^-1Y。

证  具体证明请参见文献[4, 11]。

由于(31)式为等式约束, 因此根据线性化算法把定理2转化为下面的非线性最小化问题^[4]。

(32)

注3  对于本文采用的故障估计方法, 同样适用于一般的状态空间模型系统。

3 仿真校验

考虑系统(5), 仿真参数设置如下^[12]:卫星转动惯量:J=diag｛18.40, 18.20, 6.80｝kg·m², 轨道角速度ω₀=0.001 1 rad/s, 干扰力矩:T_dx=A₀(3cos(ω₀t)+1), T_dy=A₀(1.5sin(ω₀t)+3cos(ω₀t)), T_dz=A₀(3sin(ω₀t)+1), A₀=1.5×10^-5Nm。应用上述算法, 选择α=600, 可以计算得到观测器的增益矩阵为

3.1 突变型执行机构加性故障仿真结果

假设执行器出现突变型加性故障, 故障形式为

(33)

(34)

利用故障估计方法(10)实现对故障(33)～(34)的估计, 估计结果如图 1所示。

从图中可以看出, 在发生故障的情况下, 基于鲁棒自适应观测器的故障估计方法能够在很短的时间内实现对突变故障的精确估计, 且由图中40～80 s可知, 该观测器也能实现执行机构无故障时的精确估计。同时也说明, 该观测器能够同时实现对多方向突变故障的精确估计。

3.2 时变型执行机构加性故障仿真结果

假设执行器出现时变型加性故障, 故障形式为

(35)

(36)

仿真参数、初始条件如上所述, 采用故障估计方法(10)实现对故障(35)～(36)的估计, 其仿真结果如图 2所示。从图中可知, 当执行器发生时变故障时, 本文采用的故障估计方法能够在很短的时间内实现对时变型加性故障的精确估计。

3.3 时变型传感器加性故障仿真结果

假设传感器出现时变型加性故障, 故障形式为

(37)

(38)

仿真参数、初始条件如上所述，采用故障估计方法(10)实现对故障(37)式~(38)式的估计。仿真结果如图 3所示。

从图中可以看出，在传感器发生缓变故障与指数型变化故障时，本文采用的故障估计方法能够在很短的时间内实现对时变型加性故障的精确估计。同时也说明，该观测器能够同时实现对多方向时变故障的精确估计，且当传感器与执行器同时发生故障时，该观测器也能实现对传感器故障与执行器故障的精确估计。

4 结论

本文针对具有非结构不确定项的非线性系统中存在的执行器与传感器故障，采用一种基于描述系统的故障估计观测器设计方法。该方法能够在系统存在不确定项干扰的情况下实现对突变故障与时变故障等故障类型的精确估计。仿真实例说明了该方法的有效性。