粗糙集理论^[1]在1982 年由波兰数学家Pawlak提出的一种处理不精确、不确定和模糊数据的数学工具，它能有效地从数据本身提供的信息中发现有效、潜在的知识。近年来该理论成功地在机器学习、数据挖掘、智能数据分析等领域得到了广泛应用，受到了众多学者的重视，取得了很大的发展。

泛逻辑理论^[2]是本世纪初由何华灿教授提出的，它是针对人工智能等领域中传统逻辑无法解决的问题而开展的。它是在二值逻辑、多值逻辑和模糊逻辑的基础上，研究人工智能领域中的不确定性、不完全性以及模糊性的一种柔性逻辑。其中对命题的真值域、命题连接词、量词等都进行了柔性化，可以全面反映命题真值的不确定性、真值误差的不确定性、命题之间相关关系的不确定性等，使之更适合于现实世界的推理规则。泛逻辑和粗糙集都适用于处理不精确、不确定的信息，而这也给二者的结合带来了可行性与便利性。

1 粗糙集理论基础及其扩充 1.1 完备信息系统下的粗糙集理论基础

给定信息表S=(U,A,V,F),其中U是非空论域,记U={x₁,x₂,…x_n};A为非空有限属性集(a₁,a₂,…a_m),其中A=C∪{d},其中C为条件属性集,d是决策属性; V_aj是属性a_j∈A的值域,;F是U×A到V的关系集,其中f为U×(C∪{d})→V的映射函数,它为每个对象的每个属性赋予一个信息值,即

若∀a_j∈C使得V中不含空值,即f(x_i,a_j)≠ϕ,则称S是完备信息系统,即所处理的信息表是完备的,每个样本对象的所有属性值都是已知的。粗糙集理论正是基于完备信息系统这样一个假设。

为便于数学推导,粗糙集中通常用等价关系代替分类。定义R代表论域U上的一种关系,它可以是一种属性的描述,也可以是一个属性集合的描述。在一般叙述中,R等价关系和R属性都是同一概念。在属性约简中,把任意非空属性子集看做是关系R。任取非空属性子集R⊆A,如果x_i,x_j∈U,∀a_k∈R,f(x_i,a_k)=f(x_j,a_k)均成立,则称x_i,x_j关于R不可分辨,R为不可分辨关系,记为IND(R)。IND(R)即可把论域U中的元素分为若干个等价类,全体等价类的集合记为U/IND(R)。

给定信息系统S=(U,A,V,F),∀X⊆U和等价关系R,则X关于R的下近似和上近似分别定义如下:

下近似:

上近似: 式中，[x]_R表示的是包含元素x∈U的R等价类。

根据上、下近似的定义给出边界域、正域和负域的概念如下：

BND_R(X)=R^-(X)-R_-(X)称为X的R边界域。

POS_R(X)=R_-(X) 称为X的R正域。

NEG_R(X)=U-R^-(X)称为X的R负域。

由上述定义可知下近似R_-(X)和正域POS_R(X)表示在知识R下论域U中确定属于集合X的对象集,上近似R^-(X)表示在知识R下论域U中可能属于集合X的对象集,所以边界域BND_R是在知识R不能确定是否属于集合X的对象集,负域NEG_R(X)则表示在知识R下论域U中与集合X无关的对象集。

1.2 不完备信息系统中扩充粗糙集模型的容差关系及量化容差关系

粗糙集理论是基于完备信息系统的,当信息系统不完备时,需要进行数据补齐或对粗糙集模型进行扩充。数据补齐主要采用某种方法(通常是概率统计)对所有未知属性值进行填补,将不完备信息系统转化为完备信息系统,然后用经典粗糙集理论来处理。比如现有的c4.5、删除法、最大频率法等^[3]。数据补齐法应用起来十分简便,但它是对原始信息系统中未知属性值的一种人为估计,对原始信息系统的信息有不同程度的扰动,不能反映原始系统的真实情况,获得的知识可用性差。模型扩展主要是将经典粗糙集理论中的不可分辨关系这一等价关系扩充为非等价关系,直接处理不完备信息系统。比如Kryszkiewicz提出容差关系^[4],Stefanowski等人提出的非对称相似关系^[5],Stefanowski等人提出的量化容差关系^[6],王国胤等人提出的限制容差关系^[7],Grzymala-Buss提出的特征关系^[8]等,都是对粗糙集运算模型的扩充。文献^[9]对不完备系统的粗糙集扩充方法进行了总结和研究。

1.2.1 容差关系

当不完备信息系统S中所有未知属性值是遗漏型时,对属非空属性子集B⊆A,M.Kryszkiewicz提出了如下容差关系:

对任意对象x∈U的容差类

对象子集X⊆U的下近似和上近似分别为

容差关系满足自反性和对称性,但不一定满足传递性。

1.2.2 量化容差关系

对于不完备信息系统中的个体,由于已知信息的不同,也可以根据已知信息的相同程度来刻画它们之间的相近似程度。据此,Stefanowski等人提出了基于量化容差关系的扩充Rough集模型。

在不完备信息系统S中,∀b∈A记

若U中对象对每个属性的取值独立且均匀分布,则任意对象∀x,y∈U关于属性子集的相似度可定义为

容差关系所描述的样本对象之间相似度的取值范围是{0,1},Ⅰ型量化容差关系虽然将样本对象相似度的取值范围扩充到了[0,1],但需要知道属性取值的概率分布等相关知识。

量化容差关系还有不同的改进模型,在文献^[10]中,定义了改进的量化容差关系。

式中,b_i,(i=1,2,…,m)为属性b目前已知的互不相同的属性值,k_bⁱ(i=1,2,…,m)为属性值为b_i的已知对象数量。这种改进的量化容差关系中对象间相似度的度量使用的是已知属性值的统计数据,某属性值出现的次数越多,未知属性是该属性值的可能性就越大,两者的相似程度就越大,这更符合实际。关于量化容差关系的改进还有许多,比如文献^[11] 提出了基于θ的限制容差关系等,这里不再赘述,有兴趣的可参看相关文献。 2 泛逻辑理论基础

本文第二作者为了探索逻辑的一般规律,提出建立能包容各种逻辑形态和推理模式的泛逻辑学理论。泛逻辑学针对现代逻辑中存在的缺陷,基于三角范数理论,利用广义相关性和广义自相关性将逻辑关系定义为一组连续可变的算子簇,并提出了和如何使用该算子簇中的算子,真正实现了模糊逻辑关系的柔性化。这里为简化计算,先不考虑广义自相关性,只考虑广义相关性,那么用到的零级泛逻辑理论。

1) 零级泛与及泛或

经过多年的发展,现在普遍认同的是以T范数表示逻辑与,以T余范数S表示逻辑或。T范数和S范数是是泛逻辑学研究泛与/或运算的数学基础。用h表示的是广义相关性,对零级不确定性问题,用2个仅受h控制的函数F₀(x,h)=x^m和G₀(x,h)=1-(1-x)^m作为零级T性生成元完整簇和零级S性生成元完整簇,把它们带入泛与何泛或运算的基模型分别生成的零级T范数完整簇T(x,y,h)和零级S范数完整簇S(x,y,h)如下:

式中

由于广义相关系数h是连续变化的,因此会有无限多个连续的T(x,y,h)算子和S(x,y,h)算子。

2) 零级泛蕴含与泛等价

由零级T性生成元完整簇F₀(x,h)=x^m代入蕴含运算的基模型生成零级Ⅰ范数完整簇

记作由零级T性生成元完整簇F₀(x,h)=x^m代入等价运算的基模型生成零级Ⅰ范数完整簇

记作↔_h。

其中h＞0.75为+,否则为-,m=(3-4h)/(4h(1-h)),h=(1+m)-((1+m)²-3m)^1/2)/(2m)。

它有的4个特殊算子是:

最小等价,又称Zadeh等价

中极等价,又称概率等价

(Ⅰ等价)

中心等价,又称有界等价

最大等价又称突变等价

3 泛容差关系与相似度计算

在完备系统不可分辨关系定义中要求x_i,x_j∈U,∀a_k∈R,f(x_i,a_k)=f(x_j,a_k)均成立,这个定义适合离散型属性,对于连续型的属性,一般的做法是先将其离散化,然后再使用不可分辨关系进行等价类的划分。然而,离散化的算法、精度都会影响分类的效率和准确性,进而影响属性约简的效率。如果能直接对连续属性进行不可分辨关系的分类,就可以避免人为离散化引起的取值误差,而且可以省略离散化过程,提高效率和精度。

完备信息系统中可以用泛逻辑的泛等价关系

来作为不可分辨关系,则当Q_b(x,y,h)>1-α时认为等价,其中α为阀值,否则不等价。其中

这里h为广义相关系数,可以在使用时根据实际需要进行调整。在多数情况下系统中用到的是相容相关,即h∈[0.5,1],文中案例也是相容相关情况的实例。x_i,k,x_j,k代表x_i,x_j的属性a_k的值。利用该泛等价关系处理离散属性时和原等价关系一致,连续属性可以直接处理而不需要进行离散化,有关该泛等价的性质及证明在另外的文章中有详细论述。

3.1 泛容差关系

当信息系统不完备时,所有未知属性值是遗漏型时,对属非空属性子集B⊆A,定义泛容差关系

对任意对象x∈U的容差类

对象子集X⊆U的下近似和上近似分别为:

泛容差关系满足自反性和对称性,但不一定满足传递性。

对于泛容差关系,可以对其进行量化,参考1.2.2中量化容差关系的定义,定义泛容差关系的量化方法

式中，N(b_j±b_a)代表的是属性b取值在b_j±b_a范围内的对象个数,如为离散属性,则为属性b取值等于b_j的对象个数,b_α为满足Q_b(x,y,h)>(1-α)的该属性的阀值。N表示所有在属性b上有值的对象的个数,N_bi表示对属性b分类后每类的对象个数,b为离散属性时即为属性b取值等于b_i,i=1,…,m的对象个数,b为连续属性时即为属性b取值分类每类的对象个数。

性质1  当属性全部为离散值时,泛容差关系T_QB相当于容差关系；

性质2  当属性全部为离散值时,量化泛容差关系R_b^Q相当于Ⅱ型量化容差关系R_b^Ⅱ。

性质1证明 当属性全部为离散值时,泛容差关系T_QB相当于容差关系。

即当属性全部为离散值时,泛容差关系T_QB中Q_b(x,y,h)＞1-α等价于b(x)=b(y)。

显然,当b(x)=b(y)时,Q_b(x,y,h)=1＞1-α成立。

当Q_b(x,y,h)>1-α即

以h=0.5为例,此时m=1

性质2证明 当属性全部为离散值时,量化泛容差关系R_b^Q相当于Ⅱ型量化容差关系R_b^Ⅱ。

当属性为离散时,由性质1知Q_b(x,y,h)>1-α等价于b(x)=b(y),则R_b^Ⅱ(x,y)和R_b^Q(x,y)前两行定义等价。当(b(x)=b_j∧b(y)=*)∨(b(y)=b_j∧b(x)=*))时,取b_α＜|b(x)-b(y)|,则N(b_j±b_α)即为k_bⁱ,N即为,第三行两定义等价。当b(x)=*∧b(y)=*时,由第三行等价知第四行定义也是等价的。 3.2 实例分析

现以某医院有关流感诊断的原始数据信息表S₀=(U,A,V,F)为例,进行对比分析。论域U={x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉},属性集合A={a₁,a₂,a₃,a₄,d}分别代表肌肉酸痛、咳嗽、头痛、体温和决策属性是否为流感,a₁,a₂,a₃取值集合为{0,1,2,3},分别代表{无症状,轻微,较严重,严重),a₄取值集合为连续型数据,取值范围[35,40],d为决策属性,取值集合为{0,1,2}分别代表{不是,疑似,是}。“*”表示遗漏值。

对体温属性进行离散化,[35,36.25)离散化为0,[36.25,37.5)离散化为1,[37.5,38.75)离散化为2,[38.75,40]离散化为3,离散化后取值{0,1,2,3},分别代表{偏低,正常,偏高,高}。

①R_b^Ⅱ量化容差关系得到的量化容差矩阵

由于T_Ⅱ中对象间相似度都不同,所以取相似度大的进行补齐,得到了完备信息系统S_Ⅱ。

②R_b^Q量化容差关系得到的量化容差矩阵

其中对于连续型属性a₄的相似度计算是按照进行的,比如

x₄,x_g 2个对象的相似度

由实验结果可见,补齐后的信息表也是一个完备信息系统。由当前实例的补齐结果来看,用R_b^Q量化容差关系补齐同R_b^Ⅱ量化容差关系的补齐结果相同。这说明应用量化泛容差关系后算法基本性能保持不变,但可以省略掉离散化过程,扩展了粗糙集的应用范围,使得扩展后粗糙集理论可以直接应用于连续型属性。

4 结 论

应用粗糙集理论指导数据挖掘已经应用非常广泛,但粗糙集有自身的局限性。比如必须要使用离散型数据,必须是完备系统等。本文从对理论扩展的角度,针对不完备系统应用泛容差对容差关系进行了重新定义,使之可以针对连续型数据进行划分,是对不完备系统下粗糙集运算模型的扩展。