近年来，我国先后爆发了由谣言传播引发的群体性突发事件，严重扰乱了人们的生活秩序，影响了社会的稳定。大多数谣言尤其是恶意的谣言会造成社会恐慌，引起突发事件，甚至演化为恶性的群体事件，造成的损失超出了社会资源所能承受的能力。因此，揭示谣言传播的规律和特性，提出科学的应对策略，具有明显的意义。

国内外建立谣言传播模型方面的研究已取得了一些进展，此项研究大致经历了3个阶段：经典的谣言传播理论、考虑拓扑结构的谣言传播理论和考虑心理特征的谣言传播理论。尤其是考虑心理特征的谣言传播理论近年来得到研究者的重视。人们在研究谣言传播的规律时，一般使用了复杂网络理论和传染病动力学，如SIS(易感状态-感染状态-易感状态)^[1]，SIR(易感状态-感染状态-移除状态)^[2]，SEIR(易感状态-潜伏状态-感染状态-移除状态)^[3]等模型。谣言在网络中的传播和网络的拓扑结构有密切的关系，例如在微博、移动社交网络中的传播有较大差别^{[4, 5, 6]}。近年来，人们研究谣言传播时，较多考虑了心理因素，如记忆、怀疑、遗忘等因素对谣言传播的影响。Kawachi^[7]研究了免疫者的记忆机制对谣言传播的影响，当免疫者想起相关的谣言时，会先判断该谣言的真假。Nekovee等^[8]发现遗忘对谣言的传播产生很大的影响。Gu等^[9]将遗忘机制同谣言传播理论相结合，结合SIS模型研究了谣言传播的过程。Zhao等^[10]研究了遗忘和怀疑机制对谣言传播的影响。张芳等在文献^[11]中总结了谣言传播模型的研究成果，并提出了将来的研究方向，尤其是心理特征对谣言传播的影响。Zan等在文献^[12]中提出了谣言传播的反驳机制，并提出了带有反驳机制的谣言传播模型和其修正模型。文献^{[13, 14, 15]}提出了带有可变遗忘率的谣言传播模型，并分析了遗忘率对谣言传播的影响。

以上传播模型在描述谣言的传播规律时存在局限性，原因在于：①谣言的传播和疾病的传播有很大的区别。传播动力学理论中疾病或病毒的传播是无意识的，感染者无法终止疾病或病毒的传播。而在谣言的传播过程中，人的心理因素，如遗忘机制、遏制机制^[13]等，对谣言的传播有很大的影响。②在谣言传播的机理研究中，有的研究虽然考虑了遗忘机制对谣言传播的影响，但通常将遗忘率设置为常数。德国心理学家Ebbinghaus^[16]研究发现，遗忘的进程并不是均匀的，记忆和遗忘是时间的函数，经过的时间越长，遗忘的概率越大，记忆的概率越小。

本文探索基于Ebbinghaus记忆遗忘规律的谣言传播机理，建立了谣言传播模型，计算模型的基本再生数，从理论上分析了模型的传播规律，并通过仿真验证该模型。

当前处于信息大爆炸时代，大量的信息使人们遗忘的概率大大增加。当谣言在人群中传播时，遗忘是基本的特征。Ebbinghaus研究发现，遗忘在学习之后即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，记忆量和遗忘是时间的函数。他用无意义音节作记忆材料，计算记忆和遗忘的数量，得到了记忆遗忘实验数据^[16]，如表 1所示。

Ebbinghaus记忆遗忘实验表明，随着时间的推移，保持的记忆量减小，遗忘的概率增大。根据实验数据来描述记忆和遗忘的规律，即Ebbinghaus记忆遗忘曲线。将该数据用曲线拟合函数进行拟合，发现遗忘率基本上呈指数规律变化^[13]，如图 1所示。

图 1 Ebbinghaus遗忘率曲线

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对于不同的人群，记忆遗忘特征可能有所差别，但基本规律是相同的。设遗忘概率函数为γ(τ)，是一个人听到谣言后开始记录的时间，因此构建了遗忘概率函数如下：

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遗忘函数的2个参数a和b反映了遗忘率的2个特征：①一个人听到谣言后变为传播者时,τ=0,因此初始遗忘概率为a-1。a-1的值越大，谣言传播者的初始遗忘概率也越大，这反映了谣言不太重要，传播者容易忘记谣言。也就是说，a反映了谣言的重要性。②参数b反映了传播者的遗忘速度，b的值越大，遗忘速度也越大。

假设每个人处于以下4种状态中的1种：未知者(Susceptible,S)、传播者(Infected,I)、知道谣言但不传播者(Know,K)和免疫者(Removed,R)。未知者表示还没有接触到谣言的节点，对谣言处于未知状态。传播者表示正在散布谣言的人。知道谣言但不传播者表示知道了谣言，但对谣言暂时没有传播的人。免疫者是指曾经听过或者知道这个谣言，对谣言传播失去兴趣，而永远不再传播谣言的人。由于接收过谣言的用户渐渐遗忘，传播节点发生遗忘后将成为免疫节点^{[17, 19]}。如图 2所示，谣言在网络中的传播规则如下：

图 2 考虑遗忘机制的谣言传播模型

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1)分别定义S(t),I(t),K(t),R(t)为未知者、传播者、知道谣言但不传播者和免疫者的比重，显然有

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2)在谣言传播过程中，人数的迁入迁出及出生和死亡对谣言的传播影响甚微，因此假设总人数 不随时间的改变而改变。

3)当未知者S与传播者I接触时，未知者S以概率β变为传播者I，以概率ε变为知道谣言但不传播者K，以概率α成为免疫者R。

4)知道谣言但不传播者K与传播者I接触时，K会以概率θ转化为传播者I，以概率μ转化为免疫者R。

5)传播者I传播谣言后逐渐失去兴趣，以遗忘率γ转化为免疫者R。

根据上述谣言传播规则，建立模型如下：

对于未知者S，有：

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对于传播者I，有：

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对于知道谣言但不传播者K，有：

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对于免疫者R，有：

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将(3)~(6)式联立，并将(1)式代入得到方程组：

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分别用状态1、2、3、4表示S、I、K、R 4种状态。4类节点的密度用x_i表示，其中i=1,2,3,4，并设x=(x₁,x₂,x₃,x₄)^T。构造F_i⁺(x)函数为i状态增加感染节点的速率，V_i⁺(x)函数为节点从其他状态转变为i状态的速率，V_i^-(x)函数为节点从i状态转变为其他状态的速率^[18]。

当i=2时，i状态增加感染节点的速率为βSI+θKI。当i=1,3,4时，i状态不再出现感染节点，所以有：

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设V_i(x)=V_i^-(x)-V_i⁺(x),V₂(x)是I状态节点转换为其他状态的速率，V₁(x)、V₂(x)、V₃(x)、V₄(x)分别是S、K、R状态节点变化的速率。因此有：

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为了求模型的基本再生数R₀，定义f和v如下^[18]：

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因此得到：

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将fv^-1的谱半径表示为ρ(fv^-1)，也就是基本再生数R₀为：

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基本再生数R₀=1是谣言传播的临界值。当R₀>1时，网络中传播谣言的人数越来越多，造成谣言的大爆发。当R₀<1时，传播者在网络中越来越少，最终将会消失。

由于遗忘率γ是时间的函数，随着时间的增加，遗忘的概率增大，因此基本再生数R₀随着时间增加而减小。取β=0.2,a=1.1,b=0.2,得到基本再生数随时间的变化曲线，如图 3所示。

图 3 基本再生数随时间的变化

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由图 3可知，起初基本再生数R₀明显大于1。如果网络中有谣言传播者，此时谣言在网络中迅速传播。随着时间的增加，遗忘率增大，基本再生数R₀会逐渐降低并小于1，并且趋于稳定。此时谣言传播者在网络中越来越少，谣言传播渐趋平息。

本文根据Ebbinghaus实验数据，构建了指数函数形式的遗忘函数，在此基础上提出了谣言传播模型，并从理论上分析了传播规律。在后面的仿真实验中将验证该模型，分析遗忘机制对谣言传播的影响。

为了验证上述模型，我们使用matlab语言在社交网络上进行了实验验证。实验采用了www.epinions.com的who-trust-whom社交网络数据集，该数据集中的节点总数为131 828，边的数量为841 372，平均度为6.382 3，平均聚类系数为0.242 7，最长的最短路径为14。

初始时随机设置网络中只有0.5%的谣言传播节点，其余都是未知节点。在本次实验和接下来的几个实验中，均取相同的概率α=0.2,β=0.2,ε=0.2,θ=0.2,μ=0.2,以增加可比性。

取a=1.2,b=0.3,时间步为50，得到谣言传播如图 4所示。由图 4可以看到，最初人群中免疫者和知道谣言但不传播者的数量为零，只有少量的传播者，其他都是未知者。随着传播者开始散布谣言，未知者的数量快速减少，传播者的数量急剧增加。随着谣言的扩散，免疫者的数量也快速增加，而传播者和知道谣言但不传播者的数量分别达到一个峰值以后开始下降，最后网络里绝大部分为免疫者。

图 4 考虑遗忘机制的谣言传播

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传播者数量的大小代表网络中谣言传播的活跃程度，是网络传播能力的体现，因此我们研究遗忘率对传播者数量的影响。取遗忘函数的参数b=0.2为固定值，参数a分别取不同的值1.2，1.4和1.6，得到不同的遗忘率对传播者数量的影响如图 5所示。

图 5 初始遗忘概率对传播者密度的影响

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由图 5可以看到，随着网络中谣言的传播，传播者的密度首先快速增加，达到一个峰值，此时谣言传播者的密度最高。然后快速下降，最后逐渐趋近于零，意味着谣言传播的结束。参数a代表谣言的初始遗忘概率，也就是谣言的重要性，对传播者的密度影响显著，当a=1.2时，传播者峰值密度约为0.35。当a=1.6时，传播者的峰值密度约为0.08。因此a的值越小，谣言的传播力越强。

取遗忘函数的参数a=1.2为固定值，参数b分别取不同的值0.3、1.0和2.0，得到不同的遗忘率对传播者数量的影响如图 6所示。

图 6 遗忘速度对传播者密度的影响

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由图 6可以看到，参数b反映了谣言的遗忘速度，对传播者的密度影响显著。当b=0.3时，传播者峰值密度约为0.39。当b=2.0时，传播者的峰值密度约为0.12。因此参数b越小，谣言的传播力越强。

Ebbinghaus记忆和遗忘规律表明，遗忘的进程并不是均匀的，而是呈指数规律变化。免疫者数量的变化代表谣言消失的速度，我们研究遗忘率分别为常数和指数函数对免疫者密度的影响。遗忘率指数函数仍取a=1,2,b=0.2,因此遗忘率在[0.2,1.0]之间变化。遗忘率为常数的情形取值为平均值0.6，如图 7所示。

图 7 遗忘率分别为常数和指数函数的免疫者密度

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从图 7可以看出，免疫者的密度先快速增加，经过一段时间以后，免疫者密度逐渐趋近于稳态值。遗忘率为指数函数时，在谣言传播的初始阶段，传播者的遗忘率较小，免疫者的密度也相对较小；在谣言传播的后期，传播者的遗忘率较大，免疫者的密度也相对较大。因此指数函数形式的遗忘率比常数形式更符合谣言传播的实际情况。

本文提出了一种在社交网络中考虑遗忘机制的谣言传播模型，以此研究遗忘机制对谣言传播的影响。本文的主要贡献在于：①根据Ebbinghaus遗忘 规律，建立了遗忘率为指数函数的谣言传播模型。②建立了描述未知者、传播者、知道但不传播者和免疫者的平均场方程。③计算出基本再生数，并分析该模型的传播规律。④通过在社交网络中实验，分析了遗忘函数的各参数对谣言传播的影响。⑤对遗忘率分别为指数函数和常数2种情形的谣言传播做了对比。

通过实验分析，遗忘率对传播者和免疫者的密度影响显著，若初始遗忘概率越大，或者遗忘速度越大，则谣言的传播力越弱；相对于遗忘率为常数的情形，遗忘率为指数函数时传播者和免疫者的演化规律更符合谣言传播的实际情况。仿真实验验证了理论分析的正确性，因此第1节中给出的具有可变遗忘率的谣言传播模型具有合理性，能部分阐明谣言传播的内在规律。

根据谣言的传播规律，制定相应的谣言控制策略有显著的意义。为了减少谣言的影响，应尽量减少传播者的密度，增大免疫者的密度。传播者的初始遗忘概率反映了人们对谣言的重视程度，当谣言与人们的生活和利益相关性很大时，人们对谣言的重视程度很高，即认为谣言很重要，此时初始遗忘概率较小。当谣言的初始遗忘概率越大时，意味着该谣言不太重要，传播者更容易忘记谣言，传播者的峰值密度越小。传播者的遗忘速度也对传播者的密度影响显著，遗忘速度越大，传播者的峰值密度越小，谣言的传播力越弱。根据以上分析，控制谣言传播可采取以下策略：①第一时间公开谣言真相。当人们及时获得真相时，对谣言的重视程度降低，初始遗忘概率增大，从而减少了谣言的传播。②持续报道谣言的相关信息，让人们对信息的需求得到充分满足，传播意愿明显减小，遗忘速度增大，从而使得谣言的传播力变弱，人群中绝大部分成为免疫者。

本文的研究有助于深入理解谣言的传播行为，可为网络舆论的传播过程及预测提供参考。