侧窗探测是指将导引头安装在弹体侧面探测目标的方式。在大气层高速作战的防空导弹因气动加热会严重影响其红外导引头的探测范围，为解决这种问题，导引头通常配置在弹体侧面以避开导弹头部的热流密集区。 侧窗探测成为近年来的研究热点，周艳萍等^[1]采用变结构控制设计了侧窗探测条件下姿态角跟踪控制器和参数自适应选择方法，但并未涉及制导问题。宋明军等^[2]以THAAD拦截导弹为模型，研究了侧窗探测中制导段的姿态控制问题，解决了中末制导交班时满足目标处在导引头视场的导弹姿态控制问题。葛连正等^[3]基于THAAD拦截弹配置体制重点研究了3D条件下自适应滑模变结构制导律设计问题，采用对视线角的角度约束来实现姿态要求，没有直接考虑导弹的姿态控制问题，气动力也完全视为干扰对待。Zhu等^[3]基于动能拦截器研究了侧窗探测下末制导过程的期望姿态角，建立了单目标非线性优化模型和目标函数，通过将侧窗的视线约束转化成姿态角和气流角的约束，解上述优化问题得到了期望的姿态角。张洪波等^{[4, 5]}研究了动能拦截器侧窗定向方法，基于相平面开关曲线设计了姿态控制律，降低了姿态稳定回路的复杂性，但未涉及制导与控制的协调等问题。徐龙^[6]针对侧窗探测下制导控制一体化问题，提出一种半BTT控制方式SBTT(semi-bank-to-turn)来解决纵向平面的侧窗约束问题，并设计了受视线终端约束的变结构制导律，但该方法对中制导提出了严格要求，且制导计算需要目标加速度估计信息。 比例导引方法是制导中应用最广泛的方法，具有弹道较为平直、弹道所需法向过载较小、易于实现全向攻击的优点，因此，配置侧窗导引头的导弹采用比例导引依然是工程应用的首选^[7]。

1 问题描述

导引头安装在导弹头部的导弹仅需满足制导精度要求，而配置侧窗导引头的导弹由于其寻的导引头配置在了弹体侧面，故需要同时满足目标探测要求和制导精度要求。

1.1 制导系统模型

在目标机动的情况下，典型制导系统关系可用图 1所示的结构图描述。

1.1.1 导弹和目标动力学环节

将包括姿态控制系统在内的动力学模型简化成一个稳定的二阶环节。因为导弹和目标动力学模型结构相似，用i(i=m,t)表示导弹M和目标T,其传递函数可表示为

式中,a_i表示导弹和目标法向加速度;a_ic表示导弹和目标法向加速度指令;T_i、ξ_i分别表示稳定回路时间常数和阻尼比。

1.1.2 导弹和目标运动学环节

假设导弹和目标始终在同一固定平面内运动,其质心运动方程如(2)式所示。

式中,用i(i=m,t)表示导弹M和目标T,x_i和y_i表示导弹和目标在平面中的位置、v_i为导弹和目标速度矢量、θ_i为导弹和目标速度矢量v_i与O_gx_g轴的夹角、a_ir和a_in分别为导弹和目标的加速度在导弹和目标速度方向和垂直导弹和目标速度方向上的分量。 1.1.3 弹-目相对运动模型

导弹和目标在二维平面的几何运动关系如图 2所示。

相对运动方程如(3)式所示。

式中,r为导弹与目标的相对距离;q为弹目视线角;θ_m、θ_t分别为导弹和目标速度倾角;η_m、η_t分别为导弹和目标速度前置角;v_m、v_t分别为导弹和目标的速度。 1.1.4 导引头动态环节

导引头并不是理想的,属于典型的角跟踪系统,其输入输出关系用带延迟环节的一阶惯性环节来描述,其传递函数可以表示为

式中,τ表示纯延迟环节的延迟时间,T_s表示导引头动态时间常数,$\dot{q}$_m是导引头测量的视线角速率,是弹目视线角速率。

1.1.5 制导律

采用加速度关系描述的比例导引,导弹的法向加速度指令a_mc可表示为

式中:N为比例导引的有效导航比是影响比例导引性能的关键因素之一,为导弹和目标沿视线方向的接近速率。 1.1.6 指令限幅环节

导弹法向加速度受弹体可承受最大可用过载和发动机能给出的最大推力约束,为保证加速度指令不超过弹体可承受的最大过载和发动机能给出的最大加速度,应对弹体指令限幅,设导弹法向允许的最大加速度为a_m-max,则限幅后的导弹加速度指令为

1.2 侧窗探测条件下制导几何关系及指标要求

研究中可暂不考虑制导控制耦合的动力学特性,仅考虑导弹侧窗的几何约束特性,平面侧窗探测条件下的制导几何关系如图 3所示。

单一侧窗条件下侧窗纵轴(主光轴)与弹体纵轴的夹角值处于20°～70°时,导引头可以探测到目标信息。由此可见,视线只有位于图中2条虚线中间,导弹才能通过侧窗的导引头探测到目标。由于不考虑制导与控制的耦合,则认为导弹速度方向即为导弹的弹体方向,这样侧窗探测制导角度约束条件为:导弹速度前置角要满足20°<|η_m|<70°。

导弹在拦截目标的过程中,不仅要求位于侧窗的导引头能一直探测到目标,而且需要导弹精确打击上目标。本文最大允许脱靶量设定为3 m,因而,侧窗探测条件下指标要求如下。

1) 脱靶量小于3 m;

2) 导弹速度前置角20°<|η_m|<70°。

1.3 表征制导律适用范围的物理量

为消除视线角的影响,导弹初始速度倾角和目标初始速度倾角均用弹-目视线作基准线来描述。为使初始时刻导弹即可探测到目标,导弹速度倾角θ_m0=q₀+Δ_m,固定取Δ_m=25°,规定视线方向逆时针转到导弹速度方向为正;目标速度倾角θ_t0=q₀+Δ_t,目标全方位运动时Δ_t∈[-180°,180°],规定视线方向逆时针转到目标速度方向为正。由于导弹初始发射偏角Δ_m值固定,故侧窗探测条件下制导律的适用范围可用满足侧窗探测要求的目标初始发射偏角Δ_t的范围来表示。

2 制导律设计 2.1 自适应比例导引

根据速度前置角η_m的定义有

根据比例导引的导引关系有

将(8)式带入(7)式对时间t微分，得到

(9)式两边同时对时间t积分有

而比例导引如(5)式所示。

所以有 从而有 式中,$\frac{\left| {\dot{r}} \right|}{{{v}_{m}}}$>0,所以q-q₀的正负决定了η_m关于N的单调性。

下面对η_m0的正负和q-q₀的正负分情况讨论,且η_m与N的变化关系如图 4所示。

1) 当η_m0<0且q-q₀>0时,(13)式是关于N的减函数,根据侧窗探测指标的要求,η_m应该满足-70°<η_m<-20°,要使η_m<-20°,N应该适当增大。

2) 当η_m0<0,q-q₀<0时,(13)式是关于N的增函数,根据侧窗探测指标的要求,η_m应该满足-70°<η_m<-20°,要使η_m<-20°,N应该适当减小。

3) 当η_m0>0,q-q₀>0时,(13)式是关于N的减函数,根据侧窗探测的要求,η_m应该满足20°<η_m<70°,要使η_m>20°,N应该适当减小。

4) 当η_m0>0,q-q₀<0时,(13)式是关于N的增函数,根据侧窗探测的要求,η_m应该满足20°<η_m<70°,要使η_m>20°,N应该适当增大。

根据上述分析知,导航比可影响导弹速度前置角η_m的范围,故增加一项随η_m自适应变化的修正因子来改变导航比,并根据上述规律调整N,达到控制η_m范围的目的。由于|η_m-min|=20°,为留余量,设定|η_m0|=25°,并在|η_m|>20°提前应用修正的比例导引。综合上述因素,自适应比例导引如(14)式所示。

式中,$\frac{\left| {{\eta }_{m}} \right|-a}{b}$可随η_m自适应变化,k₁可变化以同时满足η_m和脱靶量的要求。

2.2 自适应增广比例导引

为提高比例导引跟踪机动目标的性能,可在比例导引的基础上引入目标加速度项。

对(3)式平面弹-目相对运动方程中的第一个和第二个方程分别微分一次,整理得到

式中,a_mn=v_m${\dot{\theta }}$_m为导弹的法向加速度,a_mr=_m为导弹的切向加速度,a_tn=v_t${\dot{\theta }}$_t为目标的法向加速度,a_tr=${\dot{v}}$_t为目标的切向加速度。为便于分析,令垂直于视线方向(用符号⊥表示)和平行于视线方向(用符号//表示)的导弹和目标加速度分别如(16)式所示。 从而可得(15)式的简化形式,简化的二阶非线性微分方程如(17)式所示。 为保证良好的制导性能,设计的制导律必须保证弹道收敛,即由(17)式描述的弹-目间的动力学关系对任意初始条件都是渐近收敛的。考虑到一般弹-目视线角q可测,设垂直于视线方向的导弹加速度满足 这里的f(t)是待定的函数,将(18)式带入(17)式第一式可得到 整理得到 如果选择待定函数f(t),使得2${\dot{r}}$+f(t)>0(因为在拦截点之前r>0),则有 此时,视线角速度满足渐近收敛的条件,即$\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dot{q}$→0。

现在来确定待定函数f(t),由于要满足2${\dot{r}}$+f(t)>0,显然f(t)应该满足关系:f(t)>-2${\dot{r}}$,由于一般情况下(-${\dot{r}}$)>0,所以可以设f(t)=-N${\dot{r}}$=N|${\dot{r}}$|,其中N>2。

将f(t)带入(19)式可以得到

把(22)式带入(15)式的第一式,得到 假定导弹和目标纵向速度恒定不变,则有a_mr=0,a_tr=0,所以(23)式可以化简为 由(24)式可知制导律由比例导引项(起主要作用)N|${\dot{r}}$|${\dot{q}}$和目标法向加速度补偿项a_tncosη_t组成。根据仿真可以发现|η_m|大都在30°左右,而cos30°=0.866与1很接近,因而可以忽略cosη_m的作用,而实时的测量目标的速度前置角η_t很难实现,所以将cosη_t用常系数k₂来代替,其中0≤k₂≤1。所以制导律变成(25)式所示形式。 结合(14)式给出的自适应比例导引,可得到自适应增广比例导引如(26)式所示。

3 仿真结果及分析 3.1 仿真条件设定

基于2.1小节的制导回路,系统参数设定如表 1所示。

θ_m0=q₀-25°,Δ_t∈[-180°,0°]与θ_m0=q₀+25°,Δ_t∈[0°,180°]时仿真结果对称,故可以θ_m0=q₀+25°,Δ_t∈[0°,180°]为例研究侧窗探测条件下制导律的适用范围。

3.2 自适应比例导引适用范围

为全面考察制导律性能,除自适应比例导引,还选取了传统比例导引律和平行接近法进行仿真。方便比较,导航比均取N=3,自适应参数为a=30°,b=30°,k₁=1。在Δ_t∈[0°,180°]时,每隔10°仿真一次,其他初始条件同4.1节,结果如图 5所示。

根据仿真结果知:(1)侧窗探测条件下自适应比例导引同时满足2项指标要求的只有Δ_t∈[0°,150°);(2)比例导引同时满足2项指标要求的只有Δ_t∈［20°,150°);(3)平行接近法同时满足2项指标要求的只有Δ_t∈［30°,150°];(4)对加速度而言,3种制导律绝大部分初始条件产生的加速度小于最大加速度。

基本结论:目标匀速直线运动时,自适应比例导引基本适用于侧窗探测条件下的制导且其在侧窗探测条件下的适用范围较比例导引和平行接近法的适用范围均广。

3.3 自适应增广比例导引适用范围

3.3.1 目标常值机动仿真结果

目标常值机动幅值为6g,随机起始机动模式,机动起始点为t_M=arg[r(t_M)=0.5r₀],即弹-目相对距离变为初始相对距离一半时,目标开始机动。

同样地,除自适应增广比例导引,还选取了传统比例导引和平行接近法进行仿真。导航比均取N=3,自适应增广比例导引参数为a=30°,b=30°,k₁=1.5,k₂=0.4。 目标初始发射偏角Δ_t∈[0°,180°],每隔10°仿真1次,其他初始条件同4.1节,结果如图 6所示。

基本结论:(1)不论从脱靶量还是从导引头侧窗探测范围的角度看,目标机动导致侧窗探测性能变差,使得侧窗探测条件下比例导引的适用范围变窄;(2)目标常值机动时,自适应增广比例导引基本能适用于侧窗探测条件下的制导且其在侧窗探测条件下的适用范围较比例导引和平行接近法的适用范围均广。

3.3.2 目标方波机动仿真结果

目标方波机动幅值为6g,角频率为0.5πrad/s,即a_tc=(6g)·square(0.5πt),目标机动同样采用随机起始机动模式。

同样地导航比均取N=3,自适应增广比例导引的参数不变,仍为a=30°,b=30°,k₁=1.5,k₂=0.4。 目标初始发射偏角Δ_t∈[0°,180°]时,每隔10°仿真1次,其他初始条件同4.1节,结果如图 7所示。

根据仿真结果可知:(1)对于目标机动a_tc=(6g)square(0.5πt),侧窗探测条件下自适应增广比例导引同时满足两者要求的只有Δ_t∈[0°,150°];(2)比例导引同时满足两者要求的只有10组,适用范围受限;(3)平行接近法同时满足两者要求的只有Δ_t∈[40°,150°];(4)对加速度而言,自适应增广比例导引较其他2种制导律要大,且与目标常值机动的情况相比,自适应增广比例导引的需用加速度值较小。

基本结论:(1)目标方波机动时,自适应增广比例导引基本适用于侧窗探测条件下的制导且其在侧窗探测条件下的适用范围较比例导引和平行接近法的适用范围均广;(2)对比a_tc=6g与a_tc=(6g)square(0.5πt)的结果可知,目标常值机动比方波机动对导弹速度前置角范围的影响更大,故侧窗探测条件下自适应增广比例导引在目标方波机动时的适用范围较目标常值机动时适用范围更广;(3)自适应增广比例导引的同一组参数同时适用于相同幅值的常值机动和方波机动这两种不同的机动方式,且适用范围均较广,由此可见,自适应增广比例导引的适应性和参数鲁棒性较好。

4 结 论

满足侧窗探测的要求对增强导弹探测跟踪能力具有实际工程意义。通过给比例导引律引入随导弹速度前置角自适应变化的因子将侧窗的约束考虑在内,本文提出了一种适用于目标匀速直线运动的自适应比例导引和一种适用于目标机动的自适应增广比例导引。结果表明:侧窗探测条件下自适应比例导引和自适应增广比例导引有效且适用范围比传统比例导引和平行接近法的适用范围更广。