当今乃至未来的海战是一个水下武器对抗的时代,为了提高自身的安全性,针对外来的攻击,各国海军竞相发展出了攻击或拦截外来武器的动能武器[1]。水下动能武器具有体积小、速度高、攻击距离短、制导系统反应时间短等特点,要求制导武器系统要有快速的系统收敛及直接命中目标的特性。
当制导武器攻击目标时,不仅希望系统能够快速收敛到平衡状态,以便有足够的时间应对目标机动;同时希望获得较小的脱靶量,以直接命中目标,达到毁伤的效果。因此,本文在设计制导律的过程中主要考虑两方面的因素:有限时间收敛和脱靶量为零。有限时间收敛能够保证系统快速响应目标机动;脱靶量为零能够保证直接命中目标,获得最大的毁伤效果。
有限时间收敛即制导系统在有限时间内达到平衡状态作为制导武器实现攻击目标的一个重要研究方面。以往学者对有限时间收敛做了不少的研究工作。其中,文献[2]提出了一种时间收敛的滑模变结构制导律,该制导律能够保证系统在攻击目标末端命中时刻收敛到平衡状态。文献[3]对二阶非线性不确定系统设计滑模面,保证了输出跟踪误差有限时间收敛到零。文献[4]针对不确定非线性系统提出了动态滑模控制,保证了系统在一定时间内收敛。以上文献[3, 4]都需要跟踪误差模型具有二阶甚至高阶连续可导,且有限时间“较长”。另外,根据滑模面的收敛特性,有学者们提出了在滑模面中引入非线性项以提高系统的收敛特性,缩短收敛时间[5]。文献[6]从碰撞时间入手,提出基于非线性理论设计的满足碰撞时间的制导律,该制导律不同于以递归和数值解的方法求解碰撞时间,而是通过反馈闭环系统求出精确的碰撞时间,对于具有延迟的制导与控制系统达到了较好的估计、补偿效果。文献[7]综合考虑自动驾驶仪动态特性及系统的不确定性,提出一种时间收敛的制导律。该制导律通过在有限的时间内估计目标机动信息,然后根据估计获得的目标机动信息设计满足时间收敛的滑模变结构制导律。一定程度上补偿了由自动驾驶仪的动态特性和系统不确定性带来的误差。文献[8]通过改变Terminal滑模面的非线性项,避免了奇异点的出现。
在本文中,从系统快速收敛这一角度提出了一种基于非线性收敛因子的Terminal 滑模控制制导律,通过引入非线性因子,改变滑模面参数,保证制导系统能够在期望的有限时间内以任意初始状态收敛到平衡状态,并且收敛时间能够通过滑模参数离线计算出来。结合本文的滑模面推导出了动能武器末端制导律,通过仿真分析该制导律能够以期望的有限时间使制导系统达到平衡状态,从而直接命中目标,而且对外界干扰具有很强鲁棒性。
1 问题描述水下动能武器在攻击或拦截目标时,由于主要是靠动能毁伤,要求动能武器能直接命中目标。而在攻击目标的过程中,目标可能存在机动,要求动能武器具有应对目标机动的快速收敛方法。即主要从脱靶量和收敛时间对本文制导律进行分析设计。
考虑到弹目相对运动关系。弹目相对运动方程可以解耦为俯仰平面和偏航平面的2个分量运动,本文只考虑俯仰平面内的运动,如图 1所示。
假设动能武器速度和目标速度均为常量,分别为vm、vt,且动能武器速度大于目标速度。其中θm、θt分别为动能武器与目标的航向角;σ为视线角,即二维平面内拦截器与视线角之间的连线与水平方向上的夹角,其变化率为零表明动能武器能够击中目标。
根据弹目相对几何关系可知
为了更好地设计制导律,取状态变量:x1=σ,x2=σ。
根据动能武器与目标的相对几何关系可知,在终端时刻≈const<0,那么可以得到≈0,建立以下状态方程
通过以上分析,在攻击拦截过程中,为了实现零脱靶量,在末端时刻视线角变化率应保持为零(意味着x2=0时动能武器能够击中目标),同时动能武器与目标之间的距离变化率<0(此项保证了动能武器能够航接近目标)。即通过设计制导律达到满足系统在有限时间内收敛到平衡状态的要求。
2 有限时间收敛 2.1 有限时间收敛概念对于非线性系统:
传统滑模面收敛特性主要取决于趋近律的选取,且没有时间约束,并存在很大抖动,不能满足系统快速性收敛的要求,同时抖动给系统的稳定性带来一定影响。为此,基于传统滑模面原理,有学者在滑模面种引入非线性项,以改变系统的收敛特性[10]:
对于滑模面s=f(,x,t),文献[10]分析了以往学者提出的Terminal滑模面收敛时间、收敛特性及李雅普诺夫稳定性。
若定义滑模面s1
其收敛时间
滑模面s2
其收敛时间
滑模面s1和s2在离平衡点较远时,收敛速度由快速Terminal吸引子,即式=-βxpq决定;而当系统状态x接近平衡点x=0时,收敛时间主要有=-αx决定,并且呈指数快速衰减。可见Terminal滑模面在接近平衡点时,收敛速度主要有αx项决定。显然,滑模面s2中αx项的引入较滑模面s1加快了其收敛速度,即总的收敛时间滑模面s2优于滑模面s1。
2.3 改进的滑模面为了证明改进的滑模面的收敛速度优于传统Terminal滑模面,首先介绍以下定理:
定理1[10] 对于非线性系统
稳定性证明 令
命题1假设Φ(x)在c(-∞,∞)有定义,并满足Φ(x)≥0。当|x|≥1时,如果Φ(x)≥α|x|(q-p)(1+ε)/q(其中q>p>0,且都为奇整数; α,β,ε>0)。对于任意初始状态x(t0)≠0,系统(11)有限时间稳定,且对于任意初始状态x(t0)收敛时间是有界的。
证明 从定理1可以明显得出系统(7)是稳定的,下面主要考虑收敛时间。
由Φ(x)≥α|x|(q-p)(1+ε)/q可知
证毕,即系统有限时间收敛。
通过以上分析,对于非线性系统(7),其中Φ(x)在C(-∞,∞)有定义且连续,并满足Φ(x)>-β,且q>p,都为奇整数。如果选择函数Φ(x)≥α|x|(q-p)(1+ε)/q,尤其是当|x|≥1时,改进的Terminal滑模面=-Φ(x)xpq-βxpq的收敛时间更快。
3 制导律设计根据前文分析,选取滑模面
取趋近律:
对(15)式进行微分得:
结合(4)式、(16)式及(17)式可得制导律表达式
取函数,经微分可得
本节将比较本文所设计的快速Terminal滑模变结构制导律与传统滑模变结构制导律。从目标静止和目标机动2种情况进行分析。
4.1 目标静止假设动能武器以50 m/s的速度航行攻击目标,初始位置M(x0,y0)=M(0,0),初始航向角为0°;目标初始位置 T(x0,y0)=T(300,400)。仿真中选择合适的参数:m=5,n=3,q=3,p=1,α=2,β=0.03,γ=0.1,k1=k2=0.01,仿真步长取0.01 s。仿真结果如图 2~图 4所示(其中实线表示基于Terminal滑模变结构制导律仿真结果,虚线表示基于传统滑模面变结构制导律仿真结果)。
从图 2动能武器运动轨迹可以看出在本文制导律(18)作用下,系统的收敛时间明显快于传统滑模制导律;从图 3可以看出视线角变化率在同一初始状态(0)=0.08情况下,本文制导律比传统制导律具有更快的收敛速度,基本在1.82 s收敛到平衡状态(1.82)=0附近;图 4可以看出,本文制导律较传统滑模制导律,动能武器过载快速收敛到零附近,由于本文提出的制导律能在有限时间内收敛到零即u=0附近,快速性的代价就是在开始阶段过载较传统滑模制导律大。通过对比可知,对于静止目标,本文设计的制导律较传统滑模制导律能够在期望的有限时间内快速收敛到平衡状态,体现了快速收敛特性,且抖动较传统滑模制导律小,具有更强的鲁棒性。
4.2 目标机动假设动能武器以50 m/s的速度航行,初始位置M(x0,y0)=M(0,0),初始航向角为0°;目标航行速度30 m/s,初始位置T(x0,y0)=T(300,400),初始航向角为180°,目标做10*rand(1)随机机动。仿真中各参数同目标静止时选取同样的数值,仿真步长取0.01 s。仿真结果如图 5~图 7所示。
图 5为过载随时间变化曲线,虽然目标处于随机机动状态,动能武器在制导律(18)的作用下相应进行调整轨迹,以保证命中目标,但是动能武器过载基本稳定在某一范围内;图 7对应的是视线角变化率随时间变化曲线,从图 5和图 7中可以看出,拦截器在2 s左右达到了收敛状态,较传统滑模控制具有更快的收敛速度,且抖动更小。从图 6运动轨迹可以看出,本文制导律能随目标机动做出快速的响应,为动能武器在后期拦截目标的过程中提供充足的应变时间。能够有效拦截目标。
5 结 论本文通过理论分析,引入非线性因子γxmn,改进了Terminal滑模变结构的收敛特性,使其收敛时间更短。结合改进的Terminal滑模面和指数趋近律设计的制导律,满足系统快速性收敛要求。通过仿真分析表明:无论是对静止目标还是机动目标,本文制导律都能够在有限的时间内使系统快速收敛到平衡状态,且降低了系统抖动,具有更强的鲁棒性。对于攻击短距离目标而言具有更好的拦截效果。
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