产品配置的目的是在合理的时间内取得符合需求的产品方案或方案集合，随着产品复杂度的不断提高，产品配置过程也越来越复杂。研究人员使用不同的理论模型和算法对产品配置进行了一定的优化，但仍存在配置结果单一，且较少考虑配置模型的可扩展性等问题。
俄罗斯Pavlov教授于1995年提出多色集合(polychromatic sets)的概念，并于2002年[1]提出了多色集合的体系结构。多色集合中，集合的元素和整体都被涂上不同的颜色，用来表示研究对象和它的元素性质。多色集合理论作为一种信息处理数学工具，其目的在于使用形式相同的数学模型仿真不同的对象[2]。通过使用多色集合理论建立的数学模型，可以推理得到所有满足约束条件的结构组合[3]。李宗斌等[4]将多色集合引入产品概念设计领域，验证多色集合求解的多样性，但仅停留在产品选型阶段，且未涉及多色集合的可扩展性问题。
综上所述，针对产品配置结果多样化，配置模型可扩展等需求，结合前人研究成果，引入多色集合建立产品配置模型，对模块化产品配置进行求解。基于需求与产品系列的关系、需求与模块的关系以及性能与模块的关系，建立多层多色集合围道矩阵。考虑产品配置特点，提出统一颜色的体的推理算法，并建立产品配置求解流程。讨论客户需求及模块变化对求解模型的影响，表明该模型满足可扩展需求。最后以实例验证该方法的有效性和合理性。
1 配置模型的影响因素及处理影响配置模型的主要因素包括单次求解规模和求解所用的模块资源组织。
1.1 单次求解规模控制根据客户需求与产品模块的对应关系，以一个或多个需求为基础，对需求相关的模块进行组织，并将与需求相关模块具有强关联关系[5]的模块纳入组织进行统一管理，形成内部高耦合、外部低耦合的模块集合，定义为功能块。
功能块不仅反映需求与模块的对应关系，也能够对模块间的结构约束进行描述。功能块的使用将传统配置过程划分为功能配置和模块实例化2个过程，其中模块实例化以功能块为单位进行，配置过程可以多进程并行求解。功能块具有一次构建、重复使用的特点。在构建完成后，使得配置问题可以划分为若干以功能块为单位的子问题，由于子问题规模小，单次求解子问题效率高，且可并行求解，因此有利于提高产品配置的效率。
功能块形成后，由于模块间约束的存在，可能出现某模块的配置基于相关模块配置结果的现象，导致模块的配置需顺序进行。当这样的模块存在于2个功能块内，则功能块的配置过程也需要顺序执行(见图 1)，否则功能块可并行配置。
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| 图 1 某型罐式半挂车产品组织模型示意图 |
企业产品可以划分为若干产品系列，不同的产品系列可能包含有相同的功能模块。因此，将产品模块按照功能划分建立模块库，将所有模块按照功能的一致性进行管理。同一产品系列中的产品在模块组成上一般具有较大的相似性，利用产品模块的这一特性，将模块库按照适用的产品系列划分，形成专用模块系列，定义为模块子库。
模块库由若干子库构成，子库中的模块具有相同的功能，但是由于接口、结构等因素，只能应用于某一个或几个系列的产品。在模块库的基础上，子库按照模块适用的产品系列进行划分，如图 2所示“产品系列A：模块系列01”表示此子库位于“模块库01”中，子库中的模块具有功能01，且适用于产品系列A。
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| 图 2 模块库与模块子库 |
罐式运输车是典型的定制型模块化产品，具有产品按照客户需求定制，批次产品数量少的特点。本文以某型罐式运输车为例，建立基于多色集合的产品配置模型。
2.1 配置模型围道矩阵的建立多色集合中，集合的元素和整体都被涂上不同的颜色，用来表示研究对象和它的元素性质。围道矩阵反映了多色集合中的元素构成和元素与颜色间的关系[6]。多色集合求解过程可分为2个过程：目标产品系列归属和功能块配置。由于求解条件和目标不同，各个过程的统一颜色和元素也不同。
1)目标产品系列归属相关围道矩阵的建立：
目标产品系列归属根据部分客户需求确定目标产品所属产品系列，则客户需求为多色集合中的统一颜色F(S)，产品系列的分类标准作为元素集合S，产品系列围道矩阵[S×F(S)]如图 3所示。
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| 图 3 产品系列围道矩阵 |
该矩阵为布尔矩阵，如果矩阵中节点为●，则表示元素S2,a∈S具有颜色F1,b∈F(S)。该矩阵的第i个行矢量中，为●的节点确定了元素S2,i所有的统一颜色，实现了对S2,i的统一着色。例如，元素S2,5耐压封头能够实现统一颜色F1,2高压装运，因此对S2,5的着色可以表示为F(S2,5)={F1,2}。
产品系列围道矩阵[S×F(S)]描述了产品系列与客户需求的着色关系，是建立统一颜色布尔矩阵[S×F(S)]的基础。
2)功能块配置相关围道矩阵的建立
目标产品所属产品系列确定后，目标产品包含的功能块随之确定，适用于该产品系列的模块子库也随之确定，产品配置过程细化为以该产品系列模块子库为资源的多个功能块配置过程。针对客户需求与模块功能和性能的对应关系，功能块配置过程可以进一步分解为：模块子库精简、模块性能评估。
a)模块子库精简相关围道矩阵的建立：
模块子库精简即根据客户功能需求，以功能块为单位对适用于该产品系列的模块子库进一步筛选的过程。模块子库精简过程以功能块为单位，将模块功能相关需求细化为统一颜色F(M)，功能块对应的各个模块子库为元素集合M。可以建立主体结构功能块的模块子库围道矩阵[M×F(M)]。
模块子库围道矩阵[M×F(M)]描述了模块功能与客户功能需求的着色关系，是建立统一颜色布尔矩阵[M×M(F)]的基础。
b)模块性能评估相关围道矩阵的建立：
模块性能评估即根据客户对产品的性能需求，对模块子库中的模块进行筛选，获取可行模块的过程。设定客户对产品的性能要求为多色集合的统一颜色F(A)，模块的性能为元素集合A，建立模块围道矩阵[A×F(A)]。
模块围道矩阵[A×F(A)]描述了模块与客户性能需求的着色关系，是建立统一颜色布尔矩阵[A×A(F)]的基础。
模块子库围道矩阵与模块围道矩阵中各节点的含义与产品系列围道中节点含义类似，在此不再赘述。
2.2 配置模型统一颜色布尔矩阵的建立定义 当元素S2,a∈S存在时如果F1,b∈F(S)也存在，元素S2,a∈S的组成Sk(F)=(S2,a1,S2,a2,…,S2,an)就被称为该统一颜色的体。根据上述定义，多色集合中的一个体对应多色图中的一个节点序列
着色F(μ)对应该路径，是节点的着色函数
在目标产品系列归属阶段，为了确定产品所属系列，需同时实现一对统一颜色：装运类型和容量。因此，第i种产品系列方案的着色函数
根据(1)式和(2)式，求解着色函数的过程为体的推理过程。
产品配置过程的各层围道矩阵中，元素可以划分为不同类型，每种类型元素间具有互斥性。例如产品系列围道矩阵的元素包括：车体类型、罐体类型和封头类型等3类，每类元素在一个体中只能使用一种。
设围道矩阵包含的元素共m类，第p类元素的数量为qp，实现一对统一颜色的体Sk(Fx,Fy)，且x∈X，y∈Y。基于产品配置围道矩阵分析，提出体的推理算法。
算法1：统一颜色的体的推理算法
Input：[S×F(S)]，F(μi)
Output：[S×F(S)]
1) 令j=1，p=1，且j∈qp，p∈m。
2) 若第j行与第x列相交的节点为●，且与第y列相交的节点同为●，则元素Sj∈Sk(Fx,Fy)，删除第j行节点。否则j=j+1，至j=qp。
3) p=p+1，至p=m。
4) Sk+1=Sk，重复步骤1~3，若存在元素Sj∈Sk+1，删除Sk+1中的同类元素，continue。若存在元素Sj∈Sk+1为假，进入步骤5。
5) 若x∈X，x=x+1，循环。
6) 若y∈Y，y=y+1，循环。
7) 以Sk(Fx,Fy)为列向量，构建布尔矩阵[S×F(S)]。
使用算法1，根据产品系列围道矩阵推理得到所有体的布尔矩阵[S×F(S)]如图 4所示。
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| 图 4 布尔矩阵[S×F(S)] |
在这个多色集合中，每一个体同时实现一对统一颜色：装运类型和容量。如果需求为普通装运且容量为10~20 m3，则F(μ)=(F1,1,F1,3)=S1(F1,1,F1,3)∨S2(F1,1,F1,3)。
使用算法1，根据模块子库围道矩阵和模块围道矩阵，可以推理得到布尔矩阵[M×M(F)]和[A×A(F)]。
2.3 产品配置求解流程基于多色集合的产品配置求解是一个逐层求解的过程。各层的求解矩阵不同，所需的求解资源也不同。产品配置求解过程中的求解资源变化如图 5所示。在目标产品系列归属阶段，某系列产品适用的模块子库为目标，模块库为资源。模块子库精简阶段，符合客户功能需求的模块子库为目标，某系列产品适用的模块子库为资源。模块性能评估阶段，符合客户性能需求的模块子库为目标，符合客户功能需求的模块子库为资源。资源的变化过程符合模块库的组织结构：模块库→模块子库→部分模块子库→模块集合。各级资源紧密联系，资源划分明确，资源规模逐级减少，有助于求解效率的提高，为多色集合产品配置求解提供支持。
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| 图 5 产品配置过程中求解资源变化详情 |
根据求解资源的变化，建立产品配置的三阶段求解结构。
阶段1 目标产品系列归属
步骤1 输入总体需求，根据布尔矩阵[S×F(S)]，确定所需产品结构所属的产品系列。
步骤2 根据产品结构所属产品系列，确定产品结构包含的功能块，提取适用于该产品系列的模块子库(见图 5)。
阶段2 模块子库精简
步骤3 以功能块为单位进行配置，根据布尔矩阵[M×M(F)]，得到所需模块子库。
步骤4 如果功能块配置需顺序执行，则顺序执行功能块配置，直到所有功能块配置完成。
步骤5 获取精简后的模块子库作为模块性能评估阶段的资源(见图 5)。
阶段3 模块性能评估
步骤6 以精简后的模块子库为资源，客户性能需求为目标，对每一个功能块配置结果，根据布尔矩阵[A×A(F)]，得到符合性能要求的模块集合。
步骤7 将求解所得模块集合组合得到多项符合客户需求的产品结构。
3 配置模型可扩展性分析 3.1 需求变化对多色集合的影响在描述模块化产品配置的多色图中，需求的变化表现为着色函数F(μi)中统一颜色Fj的添加、缺失或替换，不会引起多色图的变化。变化后的着色函数F(μ′)在[A×A(F)]矩阵中仍存在对应的列向量，即满足新的需求组合的体：A(Fμ)。
若多色图不能满足客户需求，即[A×A(F)]矩阵包含的体不能满足新的着色函数F(μ′)，则需要研发新的模块以形成新的体并添加至多色图中。
3.2 模块变化对多色集合的影响在多色集合中，所有统一颜色Fj∈F(A)的体的组成为[6]
定义1 集合A中存在互斥约束的元素形成的子集为单选子集，记为A®。
推论1 若集合A®存在，则A®中至少包含2个元素。
推论2 所有统一颜色Fj∈F(A)的任一体中最多包含A®的一个元素。
在产品配置中，A®的一个典型例子是功能相同、性能不同的模块集合。在描述模块化产品配置的多色集合中，将符合单选子集定义的模块集合记为M®。由推论1可得，M®包含的模块数量ci≥2。根据多色集合所有统一颜色的体的组成公式，结合推论2，可以得到模块集合M®变化后，所有统一颜色的体的组成为
集合A®中的元素变化在[A×A(F)]矩阵中表现为行向量的增加或减少，即模块的增加或减少。由此引发体的变化表现为[A×A(F)]矩阵列向量的增加或减少，即配置方案的增加或减少。
3.3 配置模型可扩展性分析根据需求变化和模块变化对多色图的影响分析，可以得到如下结论：
1) 多色图对于客户需求变化表现出较高的稳定性。随着新的体的不断增加，多色图的稳定性也不断提高。
2) 模块变化对布尔矩阵[A×A(F)]的影响仅限于行列增减，与变化模块无关的体保持不变。因此，单次、少量的模块变化对多色图的影响有限。
3)功能块或模块子库的变化对布尔矩阵[S×F(S)]或[M×F(M)]的影响类似于模块变化对布尔矩阵[A×A(F)]的影响。
4)多色图对于需求变化的稳定性和模块变化的不变性，能够快速应对需求和模块变化并进行积累，表明基于多色集合的产品配置模型具有良好的可扩展性。
4 实 例此处以罐式运输车为例对上述方法的有效性和合理性进行验证。
阶段1 目标产品系列归属
步骤1 假定需要容量30~45 m3，普通装运的罐式运输车，那么着色F(μ1) = (F1,1,F1,5)。
由图 4，着色F(μ1)的体可以形式化表示为：S(F1,1,F1,5)=S2,2∧S2,3∧S2,6∨S2,2∧S2,4∧S2,6
根据统一颜色的体的表示，可以得到符合要求的产品系列。考虑同体积条件下，方圆截面罐体较圆截面罐体车辆长度较短，选择方案2。
步骤2 产品系列确定后，提取该系列的功能块和模块子库。如图 1所示，罐式半挂车由4个功能块组成：主体结构、罐体附件1、罐体附件2、车架附件。其中，主体结构中的部分模块决定了其他功能块中的模块。因此，罐式半挂车功能块的配置过程需顺序执行。
阶段2 模块子库精简
步骤3 罐式半挂车的功能块配置需顺序执行，配置从主体结构功能块开始。
设定客户需求为双舱、等截面、载质量＞25 t的罐式半挂车，多色集合的着色函数F(μ2) = ( F3,2,F3,6,F3,8)。
着色F(μ2)的体可以形式化表示为M(F3,2,F3,6,F3,8)= M4,1∧M4,5∧M4,11∧M4,13∧M4,14∧M4,15 ∨M4,1∧M4,6∧M4,11∧M4,13∧M4,14∧M4,15 ∨M4,1∧M4,5∧M4,12∧M4,13∧M4,14∧M4,15 ∨M4,1∧M4,6∧M4,12∧M4,13∧M4,14∧M4,15
综合考虑产品耐用性和牢固性，选择方案4。
步骤4 由于功能块之间存在顺序配置关系，根据主体结构功能块的配置结果，进行其他3个功能块并行配置求解。
步骤5 获取步骤3和步骤4所得模块子库作为模块性能评估阶段的资源
阶段3 模块性能评估
步骤6 步骤5获取的模块子库为符合客户功能需求的产品模块子库。以主体结构功能块为例，设定客户对产品的性能要求为酸性装运，且载质量为40 t，则多色集合的着色F(μ3) = (F5,2,F5,6)。
着色F(μ3)的体可以形式化表示为A(F5,2,F5,6)= A6,2∧A6,5∧A6,8∧A6,10∧A6,12 ∨A6,2∧A6,5∧A6,8∧A6,9∧A6,12
综合考虑成本因素，选择方案1。
步骤7 主体结构功能块求解所得的模块集合如表 1所示。
| 产品系列 | 模块子库 | 模块集合 | 可选数量 |
| 普通封头方圆截面罐体半挂车 | 单隔仓板 | 耐酸隔仓板 | 1 |
| 三阻浪板 | 耐酸阻浪板 | 2 | |
| 等截面车架2 | 等截面车架2 | 1 | |
| 车轴 | 三轴 | 2 | |
| 升降支腿 | 重型支腿 | 2 |
由表 1得，主体结构可能的组合方案有n=1×2×1×2×2=8，共8种。将各个组合方案按照价格优先、性能优先或耐久度优先进行排序。客户按照排序结果选择适合的罐式运输车主体结构。其他各功能块的求解与主体结构功能块类似，此处不再详细求解。
5 结 论本文研究了多色集合配置产品过程的合理性和可扩展性及扩展影响。
1) 基于功能块将模块化产品配置的各个要素映射为多色集合的元素、统一颜色等，建立产品配置的多层多色集合求解模型。该模型从功能和性能两方面实现产品配置过程的形式化描述和推理。
2) 所建立的多色集合求解模型能够快速配置得到所有满足客户需求的产品方案，配置结果具有多样性。
3) 多色集合配置模型使用布尔矩阵进行信息与逻辑关系表示。添加或删除功能块、模块子库或模块形成新体时，只需调整对应的布尔矩阵。对功能块、模块子库或模块的变化有较强的适应能力，具有可扩展性。
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