裂纹尖端应力场可以表述为Williams特征级数展开式,包括奇异项、常数项以及若干非奇异项^[1]。传统思路认为裂纹尖端的应力场由应力强度因子(stress intensity factor,SIF)为代表的奇异项控制。然而Williams、Ewing^[2]和Ueda等^[3]关于Ⅰ-Ⅱ复合型断裂的试验研究表明,应用传统断裂理论预测的裂纹扩展角和断裂时刻应力强度因子和试验结果出现较大偏差。进一步分析发现是因为裂纹尖端附近应力场仅考虑了奇异项,即应力强度因子对裂尖附近应力的作用,而忽略了高阶项的影响。高阶项主要指Williams级数展开式的第2项——平行于裂纹方向的常数项,即T应力。Cotterell、Rice^[4]和Leevers等^[5]通过理论分析和试验研究后指出T应力是影响Ⅰ型裂纹扩展路径是否稳定的一个主因。对于小屈服条件下的Ⅰ型断裂,Larsson等^[6]的研究表明,T应力的正负影响裂纹尖端塑性区的大小和形状。Ayatollahi等^[7]深入研究了T应力对Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹尖端塑性区的影响并得出结论:负T应力将导致约束效应下降和裂尖塑性区变大并向前旋转,正T应力则相反。因此,T应力被认为是裂纹前端“约束”的一种度量,并和J积分一起作为弹塑性裂纹尖端区的2个特征^[8]。

对于线弹性材料的脆性断裂，不同几何构型的试验件通过断裂试验得的材料断裂韧度(Ⅰ型断裂韧度K_Ⅰc和Ⅱ型断裂韧度K_Ⅱc)出现很大差别^{[9, 10, 11]}。传统断裂理论对这一现象无法做出合理的解释。

一些学者的研究已经证实考虑T应力的断裂理论能提供更可靠地预测。Smith等^[12]在考虑T应力的基础上提出了修正的最大周向应力(generalized maximum tangential stress,GMTS)准则并应用该理论研究了Ⅰ-Ⅱ复合型脆性断裂,理论预测结果和文献^{[1, 2]}中的试验结果一致性良好。赵艳华等^[13]同样应用修正的最大周向应力准则分析了T应力对Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹扩展的影响,并给出了不同T应力条件下通用的Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹扩展条件。Ayatollahi及其合作者^{[7, 10, 14, 15]}对Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ复合型断裂问题进行了一系列的试验研究并应用GMTS理论对试验结果进行分析,理论预测结果和试验结果一致性良好。在线弹性范围内,根据GMTS理论,T应力对材料的Ⅱ型断裂韧度K_Ⅱc有显著影响,而对于Ⅰ型断裂只有当T应力和临界应力σ_c之比T/σ_c大于0.375时才会产生影响^[12]。然而,最近的试验研究表明这一推论并不成立,在不同的T应力(包括负T应力)作用下脆性材料试验件测得的Ⅰ型断裂韧度K_Ⅰc差异明显。最典型的例子是Kumar等^[16]测得的PMMA材料的Ⅰ型断裂韧度K_Ⅰc,不同几何构型试验件测得的K_Ⅰc值小至14.86 MPa·$\sqrt {mm} $,大至46.80MPa·$\sqrt {mm} $。Chao等^{[17, 18]}在分析了一系列试验结果的基础上认为Ⅰ型受载下脆性材料的断裂韧度依赖于试验件的几何构型和受载形式。对于Ⅱ型断裂问题,当T应力取值在一定范围内时,修正最大周向应力理论可以给出较好的预测,但当T为负且绝对值较大时,预测的裂纹扩展角度、断裂韧度和试验结果偏差逐渐变大。综上所述,修正的最大周向应力准则在预测脆性材料的Ⅰ-Ⅱ复合型断裂上取得了一定的成功,但对于受T应力影响的Ⅰ型和Ⅱ型脆性断裂仍存在较多限制。

Sih^[19]于20世纪70年代提出了最小应变能密度因子准则(minimum strain energy density criterion,SED),该准则在预测含裂结构的疲劳和断裂方面得到广泛应用。本文的研究在考虑T应力的基础上应用SED准则对Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ复合型脆性断裂进行系统的研究,分析T应力对开裂时临界应力强度因子和裂纹扩展角的影响,并将理论预测结果和已有的断裂试验结果进行比较。

1 断裂理论 1.1 裂纹尖端应力场

对于线弹性材料,Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹尖端应力场可以表示特征级数展开式^[1]:

式中,K_Ⅰ、K_Ⅱ分别表示Ⅰ型和Ⅱ型应力强度因子,r、θ为以裂尖为原点的极坐标,T为T应力,(1)式中的更高阶项O(r^1/2)对应力的计算影响很小,可以省略。

1.2 修正的最小应变能量密度因子准则

最小应变能密度因子准则(SED)认为^[19],当以裂尖为圆心r_c为半径的小圆周上的应变能密度因子达到临界值S_c时裂纹开始扩展,扩展方向为应变能密度因子最小的方向,记为θ_m。r_c和S_c均为材料常数。SED准则数学表达式是:

式中,S是应变能密度因子,定义式为： 式中，dW/dV为单位体积的应变能。对于多数脆性材料,r_c可以用断裂过程区(fracture process zone)的半径来近似代替,Schmidt^[20]提出了一种用Ⅰ型断裂韧度K_Ⅰc和拉伸强度σ_t求r_c的方法,其表达式为: 将包含T应力项的裂纹尖端应力场表达(1)式代入(3)式,得到修正的SED准则表达式: 式中

上式中的G为剪切模量。平面应变问题:κ=3-4ν;平面应力问题:κ=(3-ν)/(1+ν)。

对S求导化简后可得:

求解(6)式即可得到Ⅰ-Ⅱ复合型断裂裂纹扩展角θ_m,代入(5)式可得：

对于纯Ⅰ型断裂问题,K_Ⅱ=0,且当T=0时,θ_m=0,上式退化为:

(8)式K_Ⅰc为Ⅰ型断裂韧度,结合(7)式整理化简后可得:

为方便讨论,将(9)式进行无量纲处理。记:

将(10)式代入(9)式,可得:

式中α=，B=,其中a为裂纹长度。综合(10)式即可得到Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹(K_Ⅰ/K_Ⅰc,K_Ⅱ/K_Ⅰc)空间中裂纹扩展条件。

2 裂纹扩展分析

裂纹扩展主要包括两部分内容:断裂时刻临界应力强度因子和裂纹扩展方向。本节将对Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ复合型脆性断裂问题分别进行研究,分析T应力对临界应力强度因子和裂纹扩展角的影响。

2.1 Ⅰ型断裂

对于Ⅰ型受载下的脆性断裂,K_Ⅱ=0,(6)式可写为:

式中，B_Ⅰ=求解(12)式可得Ⅰ型受载下的裂纹扩展角θ_m。图 1为不同泊松比下的Ⅰ型裂纹扩展角度随B_Ⅰα变化曲线图。由传统SED准则得出θ_m=0,即裂纹沿直线扩展。从图 1可以看出,考虑T应力后,以材料泊松比ν=0.3为例,只有B_Ⅰα<0.19时,θ_m=0;而当B_Ⅰα>0.19时,θ_m不再为0,即裂纹不再沿直线扩展而是和裂纹面成一定夹角。

将θ_m和K_Ⅱ=0代入(7)式,可得:

式中,K_Ⅰf为Ⅰ型受载下断裂时刻应力强度因子，S_c和泊松比ν为材料常数,由此可以看出材料断裂时刻应力强度因子K_Ⅰf不是一个常数而是依赖于B_Ⅰα(T应力),结合(8)式K_Ⅰf无量纲化后可得:

图 2为不同泊松比下的K_Ⅰf/K_Ⅰc随B_Ⅰα的变化曲线图。由图中可以看出,T应力对Ⅰ型断裂时刻应力强度因子K_Ⅰf有很大影响。当T应力为负值时,K_Ⅰf随着T应力(B_Ⅰα)的增大而逐渐增大直到达到最大值,其后T应力(B_Ⅰα)继续增加,K_Ⅰf迅速下降。T应力为正,K_Ⅰf随着T应力(B_Ⅰα)的增加而减小,即正T应力导致K_Ⅰf减小。

2.2 Ⅱ型断裂

对于Ⅱ型断裂,K_Ⅰ=0,(6)式可写为:

上式中B_Ⅱ=求解(15)式可得Ⅱ型受载下裂纹扩展角θ_m。图 3为不同泊松比下的Ⅱ型裂纹扩展角θ_m随B_Ⅱα(T应力)变化曲线图。从图中可以看出,随着T应力变大,-θ_m逐渐变大,当B_Ⅱα<-1.25时,ν=0.3时的-θ_m小于ν=0.2时的-θ_m;B_Ⅱα>-1.25时,结论相反。ν=0.3时的-θ_m上升趋势明显大于ν=0.2时的上升趋势。由此可以看出T应力对Ⅱ型裂纹扩展角有明显影响,泊松比对裂纹扩展角也有影响。

将K_Ⅰ=0和θ_m代入(7)式中,可得:

式中,K_Ⅱf为Ⅱ型受载断裂时刻应力强度因子,由(16)式可以看出,Ⅱ型受载下的断裂时刻应力强度因子K_Ⅱf依赖于B_Ⅱα(T应力),结合(8)式K_Ⅱf无量纲化后可得:

图 4为不同泊松比下的K_Ⅱf/K_Ⅰc随B_Ⅱα的变化曲线图。由图中可以看出,T<0时,随着T应力(B_Ⅱα)的增大,K_Ⅱf逐渐增大直到最大值,随着T应力(B_Ⅱα)继续增加,K_Ⅱf迅速下降;T>0时,随着T应力(B_Ⅰα)的增加K_Ⅱf减小。

根据线弹性断裂力学的经典假设,裂纹尖端附近应力场由应力强度因子为代表的奇异项控制而高阶项的影响可以忽略。然而,由前面对Ⅰ型和Ⅱ型脆性断裂的分析可以看出,在断裂过程区的边界(以裂尖为圆心r_c为半径的圆)上,奇异项影响下降的同时T应力的影响不再可以忽略，裂纹尖端应力场是由应力强度因子和T应力共同确定的，对于有较大r_c的材料T应力的影响更加显著。

2.3 Ⅰ-Ⅱ复合型断裂

在K_Ⅰ、K_Ⅱ和T应力已知的情况下,求解(6)式可得Ⅰ-Ⅱ复合型断裂裂纹扩展角θ_m,将θ_m、K_Ⅰ、K_Ⅱ和T代入(11)式并结合(10)式得到Ⅰ-Ⅱ复合型(K_Ⅰ/K_Ⅰc,K_Ⅱ/K_Ⅰc)曲线。图 5和图 6分别为Bα(T应力)取不同值时Ⅰ-Ⅱ复合型断裂开裂角度变化曲线和(K_Ⅰ/K_Ⅰc,K_Ⅱ/K_Ⅰc)曲线,Bα=0对应的曲线为不考虑T应力的SED准则计算结果,上述计算泊松比均取ν=0.3。记M^e为复合系数,表征Ⅰ-Ⅱ复合型断裂中Ⅰ型和Ⅱ型所占比重,M^e定义式为:

图 5中M^e=1对应Ⅰ型断裂,M^e=0对应Ⅱ型断裂,0 < M^e<1,对应Ⅰ-Ⅱ复合型断裂。从图 5、图 6可知,对于Bα> 0(即T> 0),考虑T应力的SED准则预测的-θ_m大于传统SED准则计算结果,断裂时刻的K_Ⅰ、K_Ⅱ小于传统SED计算结果。而对于Bα < 0(即T<0)，结果相反。可以得出结论,负T应力可以提高裂纹扩展阻力,正T应力则降低材料的裂纹扩展阻力。

3 试验结果对比

图 7为修正SED准则预测的Ⅰ型断裂K_Ⅰf/K_Ⅰc值和试验结果的对比。试验数据取自文献^[21],材料为石灰岩,泊松比ν=0.2,r_c=2.3 mm。从图中可以看出预测结果和试验结果吻合很好,修正SED等准则很好地解释了断裂试验中测得的岩石、PMMA脆性材料的断裂韧度K_Ⅰc不是一个常数的现象,弥补了GMTS理论的不足。当B_Ⅰα<-1.44 (ν=0.2时),K_Ⅰf/K_Ⅰc < 1,而当-1.44<B_Ⅰα<0时,K_Ⅰf/K_Ⅰc>1,即绝对值较大的负T应力会降低材料的Ⅰ型断裂韧度,而绝对值较小的负T应力会增加材料的断裂韧度。

图 8为修正SED准则预测的Ⅰ-Ⅱ复合型断裂(K_Ⅰ/K_Ⅰc,K_Ⅱ/K_Ⅰc)曲线和试验数据对比。试验数据取自文献^[15]。可以看出,在Ⅰ型为主即K_Ⅰ>K_Ⅱ时,传统SED准则和修正SED准则预测的结果相差不大。随着K_Ⅱ值的增加,K_Ⅰ值逐渐减小,传统SED准则的预测结果和试验结果相差越来越大,修正SED预测的结果和试验结果吻合很好。

表 1为Ⅱ型受载下修正SED准则预测结果和试验结果对比。Lim等^[9]应用一种名为Johnstone材料的半圆三点弯曲试样在Ⅱ型受载下测得的K_Ⅱc/K_Ⅰc平均值为0.425,应用传统SED准则预测的K_Ⅱc/K_Ⅰc值为1.074,而应用修正SED准则预测的K_Ⅱc/K_Ⅰc值为0.385。对于PMMA材料的半圆三点弯曲试样^[15],修正SED准则预测的K_Ⅱc/K_Ⅰc值是0.538,试验结果平均值是0.526。文献^[21]中测得的大理石K_Ⅰc和K_Ⅱc分别为35.42 MPa·$\sqrt {mm} $和71.15MPa·$\sqrt {mm} $,即K_Ⅱc/K_Ⅰc=2.01,修正SED准则预测结果为1.94。Khan和Al-Shayea在文献^[11]中给出的石灰岩K_Ⅰc和K_Ⅱc分别为13.28MPa·$\sqrt {mm} $和29.25MPa·$\sqrt {mm} $,即K_Ⅱc/K_Ⅰc=2.165,传统SED准则和修正SED准则计算的K_Ⅱc/K_Ⅰc分别为1.074和2.238。可以看出,传统SED淮则预测的结果和上述断裂试验测得的结果有很大偏差,考虑T应力后的SED准则预测的结果与试验结果吻合很好。

4 结 论

本文在考虑T应力的基础上对传统的SED准则进行修正,采用修正SED理论对线弹性材料的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ复合型脆性断裂分别进行系统的研究,分析T应力对裂纹裂纹扩展角和断裂时刻应力强度因子的影响,给出了不同T应力下通用的Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹扩展条件,并将理论预测结果和试验数据进行比较,预测结果和试验数据吻合很好。可以看出,裂纹尖端附近的应力场不仅受应力强度因子为代表的奇异项控制,以T应力为代表的非奇异项也不能忽略,T应力对Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅰ-Ⅱ复合型断裂的裂纹扩展角以及断裂时刻应力强度因子均有显著影响。

对于Ⅰ-Ⅱ复合型断裂,随着T应力增大,裂纹扩展角-θ_m逐渐变大。当T应力为正(Bα>0),修正SED准则预测的裂纹扩展角度-θ_m大于传统的不考虑T应力的SED计算结果,断裂时刻的应力强度因子小于不考虑T应力的预测结果,当T应力为负(Bα<0)时,结论相反。对于Ⅰ型受载下的断裂,当B_Ⅰα大于某一正数时(ν=0.3、B_Ⅰα>0.19或ν=0.2、B_Ⅰα>0.12)时,裂纹不再沿直线扩展而是和裂纹面成一定夹角。对于Ⅱ型断裂,随着T应力的增大,裂纹扩展角-θ_m逐渐变大。在T应力作用下Ⅰ型和Ⅱ型断裂时刻应力强度因子K_Ⅰf和K_Ⅱf不再是常数而是依赖于T应力的数值，正T应力和绝对值较大的负T应力均会降低材料的断裂时刻应力强度因子，而绝对值较小的负T应力则会增加材料的断裂时刻应力强度因子。

材料的断裂韧度K_Ⅰc和K_Ⅱc通常通过Ⅰ型和Ⅱ型受载下的断裂试验测得，断裂时的临界应力强度因子即认为是材料的断裂韧度。试验件由于几何构型、加载方式、裂纹尺寸等的不同，产生不同的T应力，这将导致断裂试验测得的K_Ⅰc和K_Ⅱc出现很大变化。因此，仅考虑应力奇异项来描述材料的断裂可能会导致显著错误，低估或高估(取决于T应力)实际构件中材料的断裂韧度。这种由于试验件中T应力不同而导致测得的断裂韧度产生显著差异的现象，在实际工程应用中必须注意。

本文的研究工作主要针对线弹性材料的脆性断裂，相关结论和方法对于准脆性材料断裂同样适用。