引用本文
许行之, 高亚奎, 章卫国, 王峰, 许奇武. 二元机翼非线性气动弹性自适应控制[J]. 西北工业大学学报, 2015, 33(5): 775-780
Xu Xingzhi, Gao Yakui, Zhang Weiguo, Wang Feng, Xu Qiwu. Adaptive Control of Nonlinear Aeroelastic Response of a Two-Dimensional Airfoil[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2015, 33(5): 775-780.
二元机翼非线性气动弹性自适应控制
许行之1, 高亚奎1, 章卫国1, 王峰1, 许奇武2    
1. 西北工业大学 自动化学院, 陕西 西安 710072;
2. 北京万源工业有限公司, 北京 100176
收稿日期: 2015-04-12
基金项目: 陕西省自然科学基金(2013JQ8026)资助
作者简介: 许行之(1976—),西北工业大学博士研究生,主要从事非线性气动弹性力学与控制的研究。
摘要: 研究了带有前后缘控制面的二元机翼气动弹性颤振主动控制问题。采用多项式非线性模型建立气动弹性动态方程,然后考虑俯仰方向阻尼和刚度存在参数不确定性的情况下,利用Lyapunov稳定性理论设计了具有全局稳定的反馈线性化自适应和结构化模型参考自适应(SMRAC)控制律。仿真结果显示,在控制面偏转存在限制时,所设计的控制律可以有效地实现颤振的抑制,考虑阻尼不确定性对于颤振抑制具有减小收敛时间的作用,但对于系统响应特性占据主导作用的是刚度不确定性。
关键词: 自适应控制系统     非线性气动弹性     二元机翼     参数不确定性    

在一定的飞行条件下，含有结构非线性的气动弹性系统可能出现极限环振荡、甚至混沌等不稳定现象[1]。文献[2]对非线性气动弹性响应分析和控制做了很好总结。非线性颤振主动控制问题主要涉及连续的多项式非线性研究[3, 4, 5, 6, 7]。针对非线性颤振主动控制中所用到的控制策略主要包括处理气动弹性系统中参数完全确定的反馈线性化方法[8]，以及解决当系统中存在参数不确定性时的自适应控制方法[3, 4]、局部反馈线性化[5, 6]或全局反馈线性化[7]与自适应控制理论相结合等方法。

目前关于非线性气动弹性系统不确定性问题已有大量的研究。文献[7]主要针对俯仰方向刚度的参数不确定性。文献[8]不仅考虑了刚度不确定性，同时还讨论了阻尼不确定性对系统响应的影响，并得出阻尼不确定性能减小系统颤振控制的收敛时间的结论，然而文中并未讨论刚度不确定性对系统的作用，以及刚度、阻尼不确定性两者之间的关系。

本文针对多项式非线性多控制面二元机翼，并同时考虑刚度、阻尼参数的不确定性,利用反馈线性化自适应和模型参考自适应2种控制理论实现了非线性气动弹性颤振的主动控制，进而讨论了2种参数不确定性对系统响应的作用。

1 气动弹性模型

二元机翼如图 1所示，其状态空间形式的运动方程可表示为[8]

式中，x=[x1,x2,x3,x4]T=，矩阵A、B的元素分别为系统参数的函数，具体表达形式见文献[8]。

图 1   二元机翼模型
图选项

文中涉及的非线性模型参数未知,具有如下的形式

2 控制律设计 2.1 反馈线性化自适应控制

反馈线性化的核心思想是把一个非线性系统部分或者全部地转化为线性系统，以利用线性控制理论的结果。当气动弹性系统中存在不确定性时，这时就要用到自适应控制，对于多控制面反馈线性化而言，令其与自适应理论相结合，即可得到全局稳定的控制器。首先定义输出函数为

取新的微分变量为

求导后，方程组(4)的表达式，可以表示为

式中,R(φ)为状态向量φ的线性函数，和N1(αi)为与非线性阻尼和刚度有关的项。在非线性参数估计与已给出的情况下，控制律可以写为

式中，v是局部化的反馈控制律，可通过线性反馈理论进行设计。

将(6)式代入到(5)式可得

为了确定参数更新律，同时保证式整个控制系统是渐进稳定的，定义如下Lyapunov函数：

式中，和分别为非线性参数估计误差所组成的向量。对(8)式求导后，得

式中，矩阵D为(7)式的系统矩阵，在设计线性反馈控制律v时可保证矩阵D为负定的。

令

则有，可以保证系统(7)是稳定的。令(9)式后2项为零，得到如下形式的参数更新律

2.2 结构化模型参考自适应控制

结构化模型参考自适应控制(SMRAC)是针对一类特定的被控对象结构提出的[9]，文献[10]将该方法应用于气动弹性系统的颤振抑制中，推导了能够实现全局渐进稳定的自适应控制律。引入状态变量x=[x1 x2]T，这里x1=[h α]T,,(1)式可以划分为2个子系统

式中

此处，考虑到刚度和阻尼的参数不确定性，(12)式中的第2式可以写为

式中，fl是中包含已知参数的部分，R1和R2是和非线性阻尼和刚度相关的矩阵，C和K是不确定性参数的状态变量，表示如下

为了推导自适应控制律，误差动力学方程表示如下

式中，Ce和Ke是常数矩阵，误差e=x1-xd,xd为期望轨迹。

通过(14)式和(15)式，可以得到

由非线性参数估计与，控制律可以写为

将(17)式代入到(14)式，误差动态系统可写为

引入状态变量，(18)式可表示为

为了确定参数的更新律，定义如下Lyapunov函数

式中，Γ是一个正定矩阵，P是一个对称正定矩阵，由下面的Lyapunov方程得到

式中，Ae是稳定的，Q是一个对称的正定矩阵。

对(20)式求导，得到

式中

由于Q是一个对称的正定矩阵，则有。故

这样，更新律可表示为

3 算例分析

仿真过程中所用到的系统参数取值如下[7]：b=0.190 5 m,mT=15.57 kg,mw=5.23 kg,Ia=0.141 9 kg·m2,xa=0.572 1,s=0.594 5 m,kh=2 884 N·m-1,cla=6.757,clβ=3.774,cma=0,cmβ=-0.671 9,clγ=-0.156 6,cmγ=-0.100 5,a=-0.671 9。非线性部分以三阶多项式表示，其参数选取为{ki}=[12.77 53.47 1 003]T,{ci}=[0.036 0 0]T。对于以上参数，选取速度为15 m/s，初始条件为h(0)=0 m,α(0)=0.1 rad,。

图 2为来流速度为U=15 m/s，并限制控制面偏转角在-15°≤β，γ≤15°范围内，在t=10 s时加入控制，翼段在前后缘控制面作用下的控制效果。由图可见，对于来流速度不是很大时，在反馈线性化自适应控制律作用下，闭环系统受扰后在3 s内即可达到稳定状态，这表明所设计的控制器对极限环的抑制是有效的，并且从控制信号输入情况可以看出，在两控制面同时作用的情况下，前缘控制面比较容易出现输入饱和的情况。图 3为使用SMRCA方法系统响应的控制效果，从图中可以看出，在相同的条件下，使用SMRCA方法所设计的控制器也能有效地抑制颤振的发生，并且在双控制面的作用下，前缘控制面更易出现输入饱和，这和图 2中的结论是相同的。

图 2  反馈线性化自适应控制结果(U=15 m/s)
图选项

图 3 SMRCA控制结果(U=15 m/s)
图选项

图 4为来流速度为U=20 m/s时利用反馈线性化自适应控制闭环系统的控制效果。由图可见，当只考虑阻尼不确定性时，系统响应被抑制的收敛时间更短，说明阻尼不确定性具有减少收敛时间的作用，这和文献[8]的结论是一致的。进一步，可以发现，在只考虑刚度不确定性和同时考虑阻尼、刚度不确定性时，系统响应的曲线几乎是一致的，这表明了虽然阻尼不确定性具有减少收敛时间作用，但当系统中同时存在阻尼、刚度不确定性时，刚度不确定性的影响占了主导的作用，致使最终的系统响应和只考虑刚度不确定性时几乎一致。

图 4   反馈线性化自适应控制结果(U=20 m/s)
图选项

保持系统参数和初始条件不变，不断增大来流速度，图 5为来流速度为U=25 m/s时，利用反馈线性化自适应方法得到的系统响应曲线。由图中可以发现，当速度达到25 m/s时，所设计的控制律已经不能使非线性气动弹性系统达到稳定状态，闭环系统响应也变为等振幅颤振。这时，阻尼和刚度不确定性的作用已经没有主次之分了。需要指出的是，只有在t=10 s时，使得阻尼和刚度不确定性作用出现这种变化的闭环临界颤振速度才为25 m/s，若改变形成闭环的时间，这种变化所对应的临界颤振速度也会有所不同。文献[11]指出非线性系统的响应结果跟初始条件有关，开环颤振持续的时间决定了闭环响应的初始条件，因此，使得阻尼和刚度不确定性作用发生上述变化的闭环临界颤振速度与初始条件有关。

图 5  反馈线性化自适应控制结果(U=25 m/s)
图选项
图 5 反馈线性化自适应控制结果(U=25 m/s)

4 结 论

基于单控制面反馈线性化自适应控制方法必需在系统内动态稳定的前提下才能使用，由于系统是局部线性化的，也只能获得局部稳定的结果。通过添加一个附加的控制面，可以推导出能够完全反馈线性化的非线性系统，从而得到能令系统全局稳定的非线性控制器。然而，在系统维数较高时反馈线性化不易实现，而模型参考自适应控制方法则不存在类似的问题。

根据带有前后缘的双控制面布局非线性二元翼段，利用Lyapunov稳定性理论，设计了具有全局稳定的考虑机翼俯仰方向阻尼和刚度参数不确定性的自适应控制律。结果表明，所设计的颤振控制律具有很高的控制效率,系统在很快的时间内即可以达到稳定状态。在一定的来流速度下，控制面具有最大偏转限制时，考虑阻尼不确定性对于颤振抑制具有减小收敛时间的作用，但与刚度不确定性相比，刚度不确定性对于系统响应特性起主导作用。

参考文献
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Cited By in Cnki (4) | Click to display the text
Adaptive Control of Nonlinear Aeroelastic Response of a Two-Dimensional Airfoil
Xu Xingzhi1, Gao Yakui1, Zhang Weiguo1, Wang Feng1, Xu Qiwu2     
1. Department of Automatic Control, Northwestern Polytechnic University, Xi'an 710072, China;
2. Beijing Wanyuan Industrial Co., Ltd, Beijing 100176, China
Abstract: The question of active flutter control of an aeroelastic airfoil with leading- and trailing-edge control surfaces is investigated. The dynamical equations of a two-dimensional airfoil with polynomial nonlinearity in pitch are established. Then suppose that there are parametric uncertainties in both pitch stiffness and damping; Lyapunov function is used to design an adaptive control law of feedback linearization and a structured model reference adaptive control law. The simulation results and their analysis show preliminarily that: (1) the nonlinear controllers are effective for flutter suppression even if the control surface deflection is limited; (2) considering damping uncertainty has positive effect on reducing the convergence time but stiffness uncertainty plays the leading role for flutter control.
Key words: adaptive control system     flutter     nonlinear aeroelasticity     airfoil     parametric uncertainty    
西北工业大学主办。
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许行之, 高亚奎, 章卫国, 王峰, 许奇武
Xu Xingzhi, Gao Yakui, Zhang Weiguo, Wang Feng, Xu Qiwu
二元机翼非线性气动弹性自适应控制
Adaptive Control of Nonlinear Aeroelastic Response of a Two-Dimensional Airfoil
西北工业大学学报, 2015, 33(5): 775-780
Journal of Northwestern Polytechnical University, 2015, 33(5): 775-780.

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收稿日期: 2015-04-12

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