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卫星系统的发展,给科学研究、人民生活和国防建设带来了巨大的革命性影响,然而它存在以下缺陷:由于卫星定位的精确性和可靠性严重依赖可见星的数量和几何分布状况,因此,在机场、峡谷、室内和地下等观测环境较差的地域,可见星的数量和几何布局通常无法满足应用的需要[1, 2];卫星定位系统自身存在着信号易被遮挡、干扰等弊端[3, 4];随着科学技术水平的提高,各种反卫星技术不断涌现,对卫星导航技术构成了严重威胁。而采用伪卫星辅助卫星定位,可以改善卫星系统的定位精度、可用性和可靠性,满足用户需求。
以浮空器为空中基站的临近空间伪卫星,不但有更大的覆盖区域、更长的滞留时间和不容易被攻击等优点,而且在耗资、响应性、灵活性、分辨率及生存性等方面都具有显著优势。因此,以浮空器为平台的伪卫星是当前区域定位系统发展的趋势[6, 7]。但浮空器在临近空间并非绝对静止,当临近空间伪卫星对用户定位时,其自身存在的位置误差和由其他误差源所引起的误差会影响到用户最终的定位精度。因此,需要对临近空间伪卫星空中基站的位置精度做进一步研究[5, 7]。
本文研究临近空间伪卫星空中基站自身位置的精确确定及高性能算法设计与仿真。首先,设计捷联惯导系统(SINS)/天文导航系统(CNS)/合成孔径雷达(SAR)自主组合导航系统,建立适用于临近空间伪卫星的自主导航非线性数学模型;然后,提出一种新的抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波算法;最后进行仿真计算和算法性能分析与比较。
1 伪卫星空中基站定位组合导航数学模型设计SINS是一种自主式导航系统,仅依靠系统本身就能在全球范围内实现全天候、自主、隐蔽、连续的三维定位和定向,但其缺点是导航误差随时间积累。SAR具有全天候和全天时工作、自主性强等优点[8]。SAR提供的水平位置和航向角信息可用来修正SINS随时间积累的导航误差。但这种修正不仅受地标数目的限制,而且数据更新率慢(一般在100 s左右),在海洋、沙漠等地面特征不明显的区域,SAR还会失去对SINS的修正能力,这使单纯的SINS/SAR组合导航系统的应用受到限制[8, 9];CNS以已知准确的空间位置和不可毁灭的恒星作为导航信息源,自主性强、定位精度高,但其缺点是易受气候影响[10]。将CNS、SINS与SAR三者组合,构成SINS/CNS/SAR自主组合导航系统,能够兼备SINS、CNS和SAR三者的优点,相互取长补短,不但抗干扰能力强、而且自主性能好,定位精度高,非常适合临近空间飞行器对导航系统性能的要求[11]。
SINS/CNS/SAR自主组合导航原理如图 1所示。
以SINS为主导航系统,SAR、CNS和高度表为辅助导航系统,设计SINS/SAR、SINS/CNS组合导航局部子滤波器。设通过SINS/SAR和SINS/CNS子滤波器计算,获得组合导航系统状态量的2组局部滤波估计值i(i=1,2)和局部最优误差协方差阵估计值P,i(i=1,2),然后将2组局部滤波估计送入主滤波器中进行信息融合,得到系统公共状态的捷联误差状态估计值g和估计均方差P,g。最后,利用获得的估计值g实时对SINS进行误差校正。该分布式最优估计信息融合算法为
SINS/CNS/SAR组合导航系统在获得SINS误差状态的估计值g后,对SINS实时进行误差校正,对于速度误差和位置误差,可直接将SINS的位置、速度输出减去对应的误差估计值。对于捷联姿态矩阵,则需要利用校正矩阵来校正,应用校正后的姿态转换矩阵进行导航解算。最后将经过校正后的SINS输出作为组合导航系统的输出,包括载体的姿态、速度以及位置等导航信息。
1) 系统状态方程
选取东北天地理坐标系为导航坐标系,通过对组合系统的性能进行分析,建立非线性系统的状态方程为
式中,g(X(t),t)为非线性函数,G(t)为噪声系数阵,X(t)系统状态变量,w(t)为系统噪声。在自主组合系统中,引入高度表提供高度信息,状态变量选为
式中,(δvE,δvN,δvU)为速度误差,(δφ,δλ,δh)为位置误差,(ФE,ФN,ФU)为姿态角误差,(εx,εy,εz)为陀螺常值漂移,(∇X,∇Y,∇Z)为加速度计零偏,δhb为高度表偏置。
系统噪声阵表示为
式中,(wεx,wεy,wεz)为陀螺仪常值漂移,(εmx,εmy,εmz)为陀螺一阶马尔科夫漂移,(w∇x,w∇y,w∇z)为加速度计常值漂移,whb为高度表常值漂移。
2) 系统量测方程
在SINS/SAR导航子系统中,将SINS输出的航向角信息和位置信息与SAR输出的航向角信息、水平位置信息以及高度表输出的载体高度信息的差作为量测量,则量测量可以表示为
式中,ψI、LI、λI和hI分别为SINS输出的航向角、纬度、经度和高度信息,ψS、LS和λS分别为SAR输出的航向角、纬度和经度信息,he为高度表输出的高度信息,δ·表示各项对应的误差。
可得SINS/SAR组合导航系统的量测方程为
式中,e1(t)为SAR的量测噪声,h1(X(t),t)为量测矩阵,这里为非线性函数。
在SINS/CNS导航子系统中,选取SINS输出的载体姿态四元数和位置信息与CNS输出的载体姿态四元数和水平位置信息,以及高度表输出的载体高度信息之差作为量测量,则量测量可以表示为
式中,qI0、qI1、qI2、qI3为惯导系统输出的姿态四元数,LI、λI、hI分别为惯导系统输出的纬度、经度和高度信息;qC0、qC1、qC2、qC3为天文导航系统输出的姿态四元数,LC、λC分别为天文导航输出的纬度和经度信息;he为气压高度表输出的高度信息;δ·表示各项对应的误差。
可得SINS/CNS导航子系统的量测方程为
式中,e2(t)为CNS的量测噪声,h2(X(t),t)为量测矩阵。
2 抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波算法对状态向量的估计值进行Sigma点展开,并通过抗差等价权和自适应因子调节状态均值和方差来抑制噪声干扰,在时间更新和量测更新步骤中,利用高斯混合密度形式获得接近真实分布的重要性密度函数。该算法是综合了高斯混合滤波与重要性采样技术的一种改进粒子滤波方法,其中高斯混合滤波过程中高斯近似分布的计算是以抗差自适应Sigma点卡尔曼滤波方法为基础的。考虑非线性动态系统
式中,xk,yk∈Rn分别为k时刻系统的状态向量和量测向量,vk,nk∈Rn分别为系统噪声和量测噪声,f(·)和h(·)为非线性函数。抗差自适应Sigma点卡尔曼滤波算法的主要步骤可描述如下。
1) 初始化,在k=0时刻,x0i ~p(xo),i=1,2,…,N。
2) 在k=1,2,…,N时刻,计算Sigma点,由SPKF算法更新粒子{xk-1i ,pk-1i }得到{xki,pki },xki为新样本,且xki满足q(xki |xk-1i ,yk)=N(xki,pki ),选取2N+1个Sigma采样点为
式中,λ=α2(n+ν)表示尺度因子,ν为二阶尺度因子,N为采样粒子个数,α决定采样点对预测均值的分散程度,β一般根据先验知识来取值(对于高斯分布最佳取值为2),wj表示第j个Sigma点的权值,满足∑wj=1,j=0,1,…2N。利用UKF算法对粒子进行预测和更新。
3) 对状态估计进行更新,根据最新量测值yk,计算后验概率密度函数的高斯近似表达式,p(xk|y1:k)≈N(xk:xki,Pki )。
选用IGG方案构造等价权函数,设等价权矩阵为P=diag(P1,P2,…,Pk)
式中,k0∈(1,1.5),k1∈(3,8),Vk为观测值Lk的残差向量,Vk=Akxk-Lk,xk为当前时刻状态参数估计值。自适应因子选取如下
式中,c0∈(1,1.5),c1∈(3,8),Δk=,其中,tr(·)表示矩阵的迹,k为预报值,k为估计值,其表达式为)。可以看出权函数和自适应因子构造形式基本相同,二者都是重要的调节因子。前者通过对残差的判断来选取,而后者根据状态估计值与预报值之差Δk来选取。
然后依据卡尔曼滤波框架进行回归递推得到
4) 返回步骤2)。
抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波算法在时间更新和量测更新步骤中,利用高斯混合密度形式,获得更好的预测概率密度函数和近似后验概率密度函数。通过抗差等价权和自适应因子对状态噪声和量测噪声的调节,预测概率密度函数和近似后验概率密度函数可以在量测更新过程中达到对状态的最小方差准则下的最优估计,由此得到的均值和方差能表述真实密度函数的性质。提出的抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波的主要步骤如下。
1) 初始化,在k=0时刻,x0=E[x0],P0=E[(x0-0)(x0-0)]T。
初始预测概率密度函数的N个高斯混合形式表示为
式中,αk-1j>0,j=1,2,…,N,表示第j个高斯权值,且。
2) 在k=1,2,…,N时刻,由抗差自适应Sigma点卡尔曼滤波方法计算获得状态均值和方差(xkj,Pkj )。
3) 计算近似后验概率密度函数,作为粒子重要性密度函数。
式中,Nf=N×Nn表示高斯混和数目,Nn表示量测噪声的高斯混合数目,第j个后验概率密度函数N(xk:xkj,Pkj )由(14)~(16)式得到,高斯混合的相关权值表示为
式中,(19)式作为采样粒子的重要性密度函数,来完成重要性采样。该重要性密度函数在一定程度上合理的近似最优重要性密度函数,而且容易进行重要性采样。从(15)式可以看出,当量测模型存在异常时,量测方差矩阵Pykyk减小,参数估值时利用量测信息率减小,减弱了异常信息对估值的影响。反之,参数估值增加有用量测信息的利用率。同理,当状态模型存在异常时,自适应因子αk减小,参数估值时利用状态预测信息率减小,减弱模型异常的干扰,反之亦成立。若Pykyk=Pykyk且α=0时,xki和Pki 即为SPKF算法得到的样本均值和方差。
再进行粒子重要性采样,则新样本xki ~pG(xk|y1:k),i=1,2,…,N。
4) 计算粒子权值
并归一化为
5) 该算法是以高斯形式逼近所求的密度函数,即对获得的状态估计均值和协方差随时间递归更新,可以利用EM或WEM(weighted expectation maximization)方法使估值收敛到最优值上,代替重采样步骤。将采样粒子拟合为平滑的参数分布,然后从该分布中进行采样得到新的样本。
WEM方法可表示为
WEM和EM步骤避免了从大量的粒子中进行重采样处理,减轻了粒子退化现象和适当降低了计算复杂度。
6) 与计算近似后验概率密度步骤相似,预测概率密度函数表示为
式中,Np=Nf×Nv,表示高斯混和数,Nv表示状态噪声的高斯混合数目,第j个预测密度函数N(xk+1|ki,Pk+1|kj )由抗差自适应SPKF方法得到,高斯混合的相关权值表示为
式中,γk+1m=N(yk+1:yk+1|km,Pk+1|km )。
7) 返回步骤2)。
由上述步骤可以看出抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波算法利用抗差自适应因子调节得到粒子状态均值和方差,并利用有限的高斯混合模型来得到近似后验概率密度的重要性密度函数,考虑了最新量测的影响,并减小非高斯噪声、系统模型等带来的误差干扰,可以更好的表述真实密度分布的性质,提高了粒子滤波算法的性能。
3 实验与分析将提出的抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波算法(RAGMSPPF)应用于伪卫星空中基站SINS/CNS/SAR自主导航系统中进行性能验证,并与传统的Unscented卡尔曼滤波(UKF)和粒子滤波(PF)进行比较。
实验数据来源于某型号无人机的测试飞行。该无人机经过8 min的初始化后起飞,整个测试飞行过程持续约96 min。由地面观测站和GPS联合记录无人机各种飞行数据作为参考值,包括位置、速度和姿态等导航信息;由无人机自身存储相关飞行参数信息以及量测信息,数据更新率100 Hz。截取无人机某段飞行过程的飞行数据作为实验数据来源。初始位置经度E108.997°,纬度N34.246°,高度2 000 m,飞行持续时间1 000 s,平均速度150 m/s,飞行轨迹如图 2所示。SINS、CNS和SAR的仿真参数设置如表 1所示。滤波初始位置误差1 m,速度误差0.1 m/s,姿态误差100″。
参数名称 | 取值 |
陀螺常值漂移/((°)·h-1) | 0.01 |
随机漂移/((°)·h-1) | 0.002 |
加速度计常值偏置/g | 10-4 |
随机偏置/(g·s-1) | 10-5 |
SAR倾斜角/(°) | 60 |
SAR水平向定位精度/m | 5 |
SAR距离向定位精度/m | 5 |
航向角误差/(″) | 100 |
CNS姿态测量误差/(″) | 20 |
将SINS/CNS/SAR自主导航系统获得的导航信息与参考飞行数据之差作为仿真结果,验证该自主导航系统模型及非线性滤波算法的性能。仿真结果如图 3~图 5所示。
由图 3~图 5可以看出,Unscented卡尔曼滤波算法的位置误差在10 m以内,粒子滤波算法的位置误差在5 m以内,而本文提出的抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波算法的位置误差可以控制在2.5 m以内,其性能明显优于其他2种滤波算法,提高了自主组合导航系统的精度。表 2的误差统计结果也证明了该算法的优越性。
滤波算法 | 经度 | 纬度 | 高度 | |||||
均值/m | RMSE/m | 均值/m | RMSE/m | 均值/m | RMSE/m | |||
UKF | 3.432 1 | 2.509 8 | 3.171 1 | 2.443 0 | 3.672 4 | 2.606 0 | ||
PF | 1.767 9 | 1.473 4 | 1.677 6 | 1.219 9 | 1.863 1 | 1.514 2 | ||
抗差自适应 | 0.705 9 | 0.481 3 | 0.715 7 | 0.466 1 | 0.823 9 | 0.486 8 |
临近空间伪卫星具有机动灵活、成本低等优点,一旦受到敌方破坏,能在战场上空迅速部署、快速发射,立即补充,满足高科技战争空间应急导航定位的需要。因此,以浮空器为平台的伪卫星是当前区域定位系统发展的趋势。SINS/CNS/SAR自主组合导航系统兼备了SINS、CNS和SAR的优点,抗干扰能力强,自主性好,导航精度高。本文设计了临近空间伪卫星空中基站SINS/CNS/SAR自主组合导航系统,建立了自主导航非线性数学模型;在吸收抗差自适应滤波、高斯滤波和粒子滤波优点的基础上,提出了一种新的抗差自适应高斯混合Sigma点粒子滤波算法。研究结果表明,提出的算法能满足临近空间伪卫星对自主组合导航滤波解算精度的要求,解算精度明显高于Unscented卡尔曼滤波和粒子滤波算法。
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