特征正交分解(POD)方法是一种高效的降阶方法，其主要思路是寻找一组最佳的标准正交基，使得样本数据在该标准正交基上的投影依次迅速递减，截取投影较大(包含能量较高)的前几阶模态，从而可以用较少的基展开获得较高阶数据的近似描述。而POD-Galerkin方法，利用这些正交基，进一步将高阶的偏微分方程组转化为低阶的常微分方程组进行求解和分析。Lumley[1]首先将POD方法引入了湍流领域，接着Sirovich[2]引入了snapshot方法来研究波动流的动力学问题。Deane等[3]和Cao等[4]通过POD-Galerkin方法，对圆柱绕流问题进行了数值模拟，发现使用较少的POD基就能准确捕捉到流场的演化特性。之后的一些研究大都采用了Deane和Cao的方法[5]。
值得注意的是，上述研究中由于选取周期性流动的数据作为样本，构建的低阶流体动力学模型只能反演流动的周期性特性，不能反演流动振荡发散的过程，也不能反演流场失稳初期的线性动力学特性。然而，流动失稳初期的动力学特性对流固耦合分析、流动稳定性控制研究非常重要[6]。文献[7, 8]采用全局稳定性分析方法来获得流动失稳初期的动力学特性，研究表明[7, 8]，分别基于定常解和时均解展开，分析获得的动力学稳定性特性并不相同。如何采用POD-Galerkin方法建立流动失稳初期的动力学特性的研究国内外鲜有报道。
本论文采用POD-Galerkin方法建立低雷诺数下(Re=100)圆柱绕流非定常流动的降阶模型。通过选取流场进入周期性振荡前后不同阶段的样本数据以及2种典型的展开平衡量，研究了POD-Galerkin模型反演圆柱绕流失稳初期动力学特性的可行性和精度。
1 POD-Galerkin方法POD方法是一种高效降阶方法，可以用较少正交基展开获得较高阶数据的近似描述。而POD-Galerkin方法，利用这些正交基，进一步将高阶的偏微分方程组转化为低阶的常微分方程组。首先，通过CFD直接数值模拟得到圆柱绕流的速度场和压力场。以CFD数值结果作为样本数据，采用POD 方法得到描述流场的一组最佳正交模态，并对低能量模态进行截断。然后，使用Galerkin方法，将不可压N-S方程投影到主要模态上，得到关于模态系数的一组常微分方程组，从而将高阶问题转化为低阶非线性动力学问题。最后，采用龙格-库塔方法推进求解常微分方程组得到模态系数的解。同样，基于压力泊松方程可以得到压力模态系数的解。具体建模过程如下所述。
1.1 POD降阶选取样本库中N个时刻的数据作为样本｛U1,…UN｝,构成样本矩阵:
式中,m为空间格点数,记其平均为: 用每个时刻的Ui(xk)(i=1,…,N)减去 U(xk),得到波动值构成的新样本,仍记为:
下一步求矩阵T=(UUT)m×m的特征值和特征向量。因为一般有m>>N,因此直接求矩阵T的特征值和特征向量的代价将非常大。因此,使用时空转换技巧,转而求矩阵T=(UTU)N×N的特征值和特征向量。求下列特征值问题:
可以证明矩阵T是对称半正定的,因此得到一组降序排列的特征值λ1≥λ2≥…≥λN≥0及相应的标准正交特征向量Vj=(v1j,v2j,…,vNj)(j=1,…,N)组成矩阵VN×N。由于时空转换,记矩阵F=(U×V)m×N,此时矩阵F并非标准正交的,但是如果矩阵F的每一列均除以
,则矩阵F成为标准正交阵。从而,获得了1组表示流动的标准正交基,定义如下:
式中，Fki 为矩阵F的第k行i列元素。流场变量便可以用这1组最佳正交基进行展开描述,如下所示:
其中参数M为所截取的模态数。
1.2 Galerkin投影
将不可压N-S方程在截取的前M阶特征模态上作Galerkin投影。投影通过N-S方程与POD模态做内积实现,如(7)式所示:
式中,
代表a与b的内积,且k=1,2,…,M。整理得到一个由M个常微分方程组成的降阶动力学模型。
式中
模型中的压力项在POD模态上的投影,如下:
由格林定理和无散度的性质可知,在出口边界p=0的情况下,压力项可以从(6)式中消去[9]。本文的出口边界控制在距圆柱40D处,以最小化压力项的影响。因此,在出口边界处的压力项可以被忽略。这样,压力项就可以从降阶模型中消去[10]。即:
2 算 例
选择Re=100的二维圆柱绕流作为研究算例,采用中心格式有限体积法数值求解N-S方程,获得样本数据。为减小边界条件对流场计算结果的影响,应选取足够大的计算域。本文的计算域如图1所示,入口边界距离圆心20D,出口边界距离圆心40D。将计算的升力系数幅值和阻力系数的均值与已有计算结果[11, 12, 13]进行了对比,如表1所示。表明本文采用的数值方法有很高的精度,是可靠的。
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| 图 1 计算网格 |
论文研究了不同样本数据和不同的平衡展开量构建的降阶模型反演非定常流场特性的影响,算例展开如表2所示。
| 算例 | 样本 | 平衡量 | 非定常流场特性 |
| 1 | 周期性样本 | 周期性时均解 | 周期性流动 |
| 2 | 周期性时均解／定常解 | ||
| 3 | 流动失稳初期的小幅振荡流场样本 | 阶段性时均解／周期性时均解 | 绕流失稳初期流动 |
| 4 | 定常解 |
算例1 基于周期性样本数据和周期性振荡的时均解构建降阶模型。图2给出了POD和CFD的模态系数对比相图,POD模态系数是求解降阶模型得到,CFD模态系数是将样本数据直接投影到主要模态上得到。结果表明,基于周期性样本数据和周期性振荡的时均解构建降阶模型,能够复现周期性流动响应。
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| 图 2 模态系数对比相图 |
算例2 基于周期性样本数据,周期性振荡的时均解和不稳定定常解分别作为平衡量,构建降阶模型,试图复现绕流失稳初期的发展过程。图3、图4分别给出了周期性振荡的时均解和非稳定定常解为平衡量的模态系数对比图。结果表明,基于周期性样本数据,无论是时均解还是定常解,都不能很好复现绕流失稳初期的发展过程。
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| 图 3 基于周期性振荡时均解的模态系数对比图 |
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| 图 4 基于非稳定定常解的模态系数对比图 |
从前面的结果看出,基于周期性样本数据建立的低阶模型不能复现周期性运动之前的流场。基于周期性样本构建的降阶模型并没有包含周期性运动之前的流场信息。如果想要复现周期性运动之前的流场,则样本中应包含相应阶段的流场信息,来构造相应的特征模态。因此,论文尝试采用流动失稳初期的小幅振荡流场信息来构造相应的特征模态。选取流场进入周期性运动之前的某一段时间内的450个时刻的数据(Cl幅值0.08~0.26)作为样本。并研究以阶段性时间平均解、周期性振荡的时均解和不稳定定常解这3种平衡展开方式复现流动振荡发散过程的可行性和精度。
算例3 基于流动失稳初期的小幅振荡流场样本数据,周期性振荡的时均解和所取样本的时间平均解分别作为平衡量,构建降阶模型。
图5、图7分别给出了周期性振荡的时均解和所取样本的时间平均解为平衡量的模态系数对比图,图6、图8分别给出了周期性振荡的时均解和所取样本的时间平均解为平衡量的瞬态流场对比图。瞬态流场对比图的云图为压力场云图,POD结果为降阶模型反演结果,CFD结果为直接数值模拟结果。结果表明,基于流动失稳初期的小幅振荡流场样本数据,周期性振荡的时均解或所取样本的时间平均解为平衡量,构建降阶模型,均可以较好地复现绕流失稳初期的发生过程。
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| 图 5 基于周期性振荡时均解的模态系数对比图 |
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| 图 6 基于周期性振荡时均解的瞬态流场对比图 |
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| 图 7 基于阶段性时均解的模态系数对比图 |
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| 图 8 基于阶段性时均解的瞬态流场对比图 |
算例4 基于流动失稳初期的小幅振荡流场样本数据和不稳定定常解,构建降阶模型。图9给出了模态系数对比图。
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| 图 9 基于不稳定定常解的模态系数对比图 |
为了说明基于不同平衡量复现流动振荡发散过程的精度,定义均方根误差,以表征POD模态系数和CFD模态系数之间的偏差,见表3。均方根误差是观测值与真值偏差的平方和与观察次数n比值的平方根,计算公式为
| 模态系数 | 阶段性时均解 | 周期性时均解 | 定常解 |
| q1 | 0.115 887 | 0.078 295 | 0.171 275 |
| q2 | 0.125 979 | 0.177 428 | 0.189 959 |
| q3 | 0.176 743 | 0.179 872 | 0.186 211 |
| q4 | 0.110 945 | 0.077 090 | 0.231 126 |
| 平均 | 0.132 388 | 0.128 171 | 0.194 643 |
以上4个算例选取流场进入周期性振荡前后的不同样本数据以及不同的展开平衡量,研究了POD-Galerkin模型反演圆柱绕流非定常流场特性的可行性和精度,结果见表4。
| 算例 | 样本 | 平衡量 | 非定常流场特性 | 结果 |
| 1 | 周期性样本 | 周期性时均解 | 可行、精确度高 | 周期性流动 |
| 2 | 周期性时均解/定常解 | 不可行 | ||
| 3 | 失稳初期的小幅振荡样本 | 阶段性时均解／周期性时均解 | 失稳初期流动 | 可行、精确度高 |
| 4 | 定常解 | 可行、精确度低 |
算例1基于周期性样本数据和周期性振荡的时均解构建降阶模型,可以复现流场的周期性运动特性。然而,由于周期性样本数据没有包含周期性运动之前的流场信息,因此,算例2基于该样本数据,无论周期性振荡的时均解还是非稳定定常解,都未能很好复现绕流失稳初期的发生过程。
基于流动失稳初期的小幅振荡流场样本数据构建降阶模型,包含了流动失稳初期的流场信息,能复现绕流失稳初期的发生趋势。但选取不同的平衡量,复现流场流动的精度不同。算例3以阶段性时间平均解或周期性振荡的时均解为平衡量,能够较精确的复现绕流失稳初期的发生过程;算例4以非稳定定常解为平衡量,复现绕流失稳初期的发生过程的精确度较低。
3 结 论论文研究了基于不同发展阶段的样本数据和不同的平衡展开量构建的降阶模型反演非定常流场特性的可行性和精度。结果表明:
1) 基于周期性样本数据和周期性振荡的时均解构建降阶模型,能够复现流场的周期性运动特性。但是基于该样本,无论选取周期性振荡的时均解还是非稳定定常解作为平衡量,都不能很好复现绕流失稳初期的发生过程。
2) 基于流动失稳初期的小幅振荡流场样本,能够复现绕流失稳初期的发生趋势。但平衡量的选取不同,复现的精度不同。以阶段性时均解或周期性振荡的时均解为平衡量,复现精度较高;以非稳定定常解为平衡量,复现精度较低。
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