2. 西北工业大学 深圳研究院, 陕西 西安 710072
近年来,由于尺寸和成本上的优势,以及广阔的应用前景,轻型载人飞行器正受到越来越多的关注。考虑到轻型飞行器对飞行速度和机动性的要求较低,一般可以选用活塞式汽油发动机或电动马达为其提供动力。随着人们对清洁能源的愈发重视以及航空领域对废气等污染物愈发严格的控制,未来电力推进将会更受青睐。与此同时,研究人员对轻型载人飞行器按尺寸进行初步定型设计的技术已经基本掌握[1]。在此框架下,航程和续航时间准确有效的预测对飞行器的性能分析有着至关重要的作用。
工程中,用于估算活塞式螺旋桨或喷气式飞行器航程和续航时间的方法已经非常成熟(Breguet方程)[2]。然而,电动飞行器航程和续航能力的估算方程还没有系统建立[3],而且少有文献资料涉及此方面的研究。如果仅考虑推进系统,可以通过螺旋桨、电机、电机控制器和克服飞行阻力所需消耗的功率占电池传递总功率的比重来对飞行器的航程和航时进行近似估算[4],但这种方法是在理想的情况下建立的。而电池放电的Peukert效应[5]指出,不同的电流消耗所产生的效果是不完全相同的。具体来说,相同的电池容量,不同的工作电流会使该方法所估算出的航程航时结果具有很大的偏差。因此,在进行电动飞行器的航程与航时估算时,应当考虑电池的性能和有效容量,以获得较为准确的估算结果,减小估算误差。
本文结合Peukert效应及其对电池放电行为的影响,推导能用来估算轻型电动载人飞行器航程与续航时间的公式。
1 航程与航时公式推导 1.1 忽略Peukert效应影响时的航程与航时公式估算燃油式螺旋桨飞行器航程与航时的公式——Breguet方程,其原理是通过对消耗单位燃油所需的时间进行积分,从而得到飞行时间[6]。因电动飞行器不需消耗燃油,且电池等供电系统在工作环境下其重量基本保持不变,故此方法不适合本文所讨论的电力推进飞行器。现假设整个电动飞行器在飞行过程中重量保持不变,引入电池容量C的概念,即:
式中:C为电池容量/Ah;E为航时/h;I为电池工作电流/A。(1)式表明,飞行器的飞行时间与电池的容量有关。而飞行速度的改变,会使电池工作电压、功率以及所能提供飞行器飞行的时间(航时E)发生相应的变化。考虑到上述因素的影响,用功率来重新表示方程(1):
式中:V为电池工作电压/V,P为电池消耗功率/w。
(2)的两边同时对t求导:
上式中含有E′(t)一项,因此很难通过直接计算来得到飞行的时间t,只能由复杂的数值计算进行求解。出于简化问题的需要,现只考虑飞行器定直平飞的情况,即可以近似地认为飞行的速度U(t)和消耗的功率P(t)是恒值。则巡航飞行的时间可表示为:
式中,消耗的功率P又可表示为:
式中,T为推力/N;U为飞行速度/(m·s-1);ηtot为推进系统的总效率。
当飞行器定直平飞时,由飞行力学知识可知:
式中,D为飞行阻力/N;L为升力/N;W为飞行器的重力/N。升力和阻力的无量纲化公式为:
式中,CL为升力系数;CD为阻力系数;ρ为空气密度;S为机翼参考面积。其中,阻力系数CD由零升阻力系数DC0和诱导阻力系数CDy组成[7],具体表达形式如下:
式中,A为机翼展弦比;e为奥斯瓦尔德系数(一般取0.7~0.85)。机翼展弦比公式如下:
式中,b为机翼翼展。联立方程(4)~(11),可得飞行器的巡航时间E/h:
式中,由运动学知识可得,飞行器的航程公式为(假设巡航段飞行速度U是恒值,单位:km):
最大航程和最久航时是飞行器重要的性能参数,因此有必要对电动飞行器的最大航程和最久航时进行估算。
由于推进系统的输出是以功率为基准的,故最小功率和推力的经典关系[8]仍可用于估算电动飞行器的最大航程和航时。
最大续航能力情况下,零升阻力为:
最大航程情况下,零升阻力为:
将(14)式和(15)式与L=W=12ρU2SCL相结合,分别给出最大航程UR和最大续航时间UE状态下所需的飞行速度:
联立方程(12)、(13)与(16)、(17),可得航程与航时的最大值:
1.2 考虑Peukert效应影响时的航程与航时公式定直平飞的飞行器,在飞行速度U给定的情况下,其克服自身阻力的需用功率Preq为:
对于一架适度弧形翼型的飞行器,其阻力可表示为:
定直平飞时,飞行器所需要的升力L和重力W是相等的。将代入(20)式与(21)式,可得:
本文讨论的电动飞行器,其克服摩擦阻力的需用功率是由电池组提供的。在众多表明电池放电容量与放电电流关系的经验方程中,Peukert所提出的C=Int是应用比较广泛的[9]。其中,t表示放电时间/h,I表示放电电流/A,C表示电池容量/Ah,n是依赖于电池类型和温度的放电参数。Peukert当时提出的铅酸蓄电池的n值为1.3,此时运用Peukert方程计算电池容量是颇为精确的[10]。当n=1时,放电电流I与放电时间t的乘积是定值,即二者成反比关系。此时,该电池称为理想电池,其容量是定值,且放电的电流强度不会影响其有效容量。实际上,当 放电电流越大,其有效容量就越小,这就是Peukert参数n的影响,且该影响随着n值的增大而增大[11]。随着蓄电池技术的进步,n值已由最早的1.3下降到如今的1.2左右,甚至可能更小。
Peukert经验方程C=Int一般只在电池的放电倍率为1的条件下才是有效的,但这种情况是极少的。而且,由于参数n位于电流I的指数上,使得n值的变化对电池有效容量的影响很大。参考文献[12]后,本文提出了以下对电池容量C的局部修正方法:
式中,Int是原Peukert方程包含的顶,它反映了电池的放电电流与容量的变化关系。增加的项It是对原式的修正,体现了大电流放电所引起的额外的容量损失。由方程(23)可以看出,n值是不能为零的,否则该式子将失去物理意义。故方程(23)是一个局部修正公式,不能用于研究电池容量C随参数n的连续变化规律。
电池的输出功率可表示为:
式中,V表示电压。由(23)式和(24)式可得:
引入推进系统总效率ηtot,即ηtotPE=Preq,代入(25)式,整理可得:
将(22)式代入(26)式中,可得航时E的表达式:
式中,,E表示以小时为单位的飞行时间。(27)式可以用来估算电池供电飞行器的续航时间,且考虑了任何可用飞行速度下电池的放电率。
飞行器定直平飞时(U为定值),航程公式为:
式中,
在计算飞行器的最大续航时间时,可先用(16)式计算所需的飞行速度,然后代入(27)式中即可得到最大的续航时间。同样的,在计算飞行器的最大航程时,先用(27)式获得所需的飞行速度,再代入(28)式中,即可得到最大航程。
如果要用更简洁的方式来估算轻型电动飞行器的最大航程和续航时间,仍可采用经典的的研究结果((14)式与(15)式))。该经典方法是基于飞行器在最小功率和推力的情况下建立的。为了获得最大的续航时间,飞行器需要在最小功率条件下工作[13],此时满足关系式CD0=1/3kC2L。将此关系式代入下式:
并且考虑飞行器定直平飞,即有CL=和L,则电动飞行器的需用功率为:
将(30)式代入(27)式中(注意(27)式右端项分母中括号内的项即是所需功率的具体展开形式),由此可得最大的续航时间Emax/h:
式中,
运用类似的方法可获得最大航程Rmax。在最小需用推力条件下,满足关系式CD0=kCL2及CL=,可得:
将(32)式和(17)式代入(28)式,即得到最大航程:
式中,
(31)式和(33)可用于估算定直平飞情况下电池驱动飞行器的最大航程与续航时间。考察(31)式和(33)式可以发现,电池/电机的电压值V的提高(减少了电流消耗)或者是电池容量C的增加都会使表达式中E与R的峰值增大。
2 电池容量对航程与航时的影响分析一般认为,电池驱动飞行器的航程与航时会随着电池容量增加而相应的增加。但在现有的电池技术条件下,若要大幅度提高电池的容量,势必要增加电池组的重量与体积,而这将影响到飞行器的支撑强度、结构布置与起飞总重等,继而对飞行器的性能产生一定的影响。因此,有必要分析电池容量对飞行器航程航时的影响。
一般情况下,要增加电池的容量,就需要增加电池子单元的数量[16],而这往往会导致飞行器的总重增加(机体支撑等系统的重量会相应增加)。因此,为了评估电池容量对飞行器性能的周期性影响,现假定电池组的重量为飞机总重的一部分(按一定的重量比例)。在此假设下,如果增加飞行器电池组的容量,最终会导致飞行器除电池系统以外部分的重量也按一定的比例相应增加。虽然这种比例关系目前还不能很好确定,但是它适用于初步的估算分析。
考虑电池内部的子单元,电池组的总容量Ctot可表示为:
式中,Ccell是每个电池组子单元的容量。飞行器的总重量Wtot可表示为:
式中,BL是电池组重量占飞机总重的重量分数(通常为0.2~0.3),Wcell是电池组每个单独子单元的重量,i是电池子单元数目的计数参数。现将(34)式和(35)式代入(31)式和(33)式中,分别取代其中的C和W。在引用参考文献[14]的数据时,电池的重量取自众多厂商所提供的与本文所讨论飞行器电源类似且同等级的锂聚合物电池的平均重量,而不是直接引用某种具体的电池参数。因此,如果把电池组看成是一个“黑箱”,那么当所需电池组的额定电压为380 V,所需电池子单元的容量Ccell为1.5 Ah,并且设定电池组子单元的重量为Wcell=42 N时,就可以大致计算出所装载的电池组的能量密度值,大约为133 w·h/kg。
图 1a)给出了当BL的值从0.2变化至0.3时,电池容量的改变对机体重量的影响。从中可以看出,对于一个确定的BL值,随着电池容量的增加,电动飞行器的重量也相应的增加。然而,在此过程中,飞行器的几何尺寸(如机翼几何尺寸)应当是保持不变的。再由图 1b)、图 1c)可知,对于一个固定的BL值,增加电池容量反而会减少最佳的飞行航程和续航时间。
上述分析除了可以由图 1的曲线直观得到以外,还可运用物理原理加以解释:飞行器总重的增加,往往伴随着需用电池容量的增加,而这将直接导致较高的需用飞行速度、需用功率和需用电流消耗。更为严重的是,电池容量的线性增加往往会导致所需电流的非线性增加。因此,对于已经确定装载电池容量的飞行器,增加电池重量所占飞行器总重的比值BL将是十分有利的,因为这将使飞行器的总重减轻(图 1a)),从而避免了上述不良影响。
3 实例验证为了研究放电率对电池有效容量的影响,现模拟以下两种情况:n=1(理想电池无Peukert效应)及n=1.2(普通锂聚合物电池)。此外,对额定容量分别为20 Ah、30 Ah和40 Ah的电池进行研究。本节算例采用的是中国制造的世界首架商用纯电动飞行器——E430的数据[14]:ηtot=0.85,ρ=1.2kg/m3,W=4 214 N,S=12.3 m2,V=380 V,CD0=0.015,k=0.022。上述气动学方面的数据主要通过参考文献[15]所提供的方法计算。根据以上数据,可以对轻型电动载人飞行器的航程与航时进行初步估算和验证。
图 2给出了对于给定起飞总重的E430电动飞行器,其电池容量与Peukert参数n(未来可能随电池技术的改进而变化)对航程和续航时间的影响规律。
由图 2和表 1可得:Peukert效应对于电动飞行器航程与航时的影响是十分显著的,主要有:
1) 在低速区时,电池的额定电流大于飞行器所需消耗的电流,Peukert效应对飞行器航程与航时的影响是有利的。与理想电池相比,n值为1.2、容量为30 Ah的电池组,将会使飞行器的最大续航时间增加30%,最大航程增加26%。换言之,如果不考虑Peukert效应的影响,装载有容量为30Ah理想电池的E430电动飞行器,在最优空速下的航时只有1.65 h左右,达不到参考文献[14]所给出的航时为2 h的性能指标。假若考虑Peukert效应的影响,其飞行时间将会延长到2.2 h左右,基本符合了文献[14]所给出的参考数据,因而从侧面证明了电动飞行器在航程与航时估算过程中考虑Peukert效应影响的正确性和必要性。
2) 即使对于高容量的电池而言,当电流消耗十分显著时(很高飞行速度的情况),Peukert效应仍可能会降低电池的性能(图 2中交叉点之后的部分),使飞行的航程与航时都比装载有理想电池的情况下有所减小。另外对于航程的峰值而言,装载两种电池的情形也有所差异。由图 2可以看出,装载电池n值为1.2的飞行器,其空速的函数——飞行航程的最大值与装有理想电池的飞行器的航程峰值相比(同一图中的虚线),其峰值将在飞行速度更小的地方取得,即在考虑了Peukert效应影响后,电动飞行器的航程峰值会向速度较小的方向移动。
4 结 论本文研究了电池放电规律对于电池有效容量的影响,并且在考虑了Peukert效应影响的基础上建立了估算轻型电动载人飞行器的航程和续航时间的计算公式。研究表明:
1)若电池的额定放电电流大于飞行器所需消耗的电流,在Peukert效应的影响下,飞行器的航程与续航时间将会增加。相反,如果电流消耗接近或超过电池的额定放电电流,电池的有效容量将会减少,从而对飞行性能产生不利影响。
2)在电池重量占飞行器总重的比重(BL值)一定的情况下,简单的提高飞行器所载电池组的容量,同时会使飞行器的总重成比例增加,因而并不能有效的增加其续航时间与航程,反而会导致飞行器整体飞行性能的下降。
3)对于电池容量确定的电动飞行器,设计人员可以通过减轻飞行器其他部分的重量来增加电池重量占飞行器总重的百分比的措施,来增加飞行器的航程与续航时间。
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