飞行器处于高速飞行条件下，弹性结构可能发生颤振，从而导致故障甚至是毁坏。在多数情况下，颤振主要受到控制面的结构特性、气动特性以及操纵系统的重要部分助力器动态特性的影响。

文献[1]研究了一个翼面的颤振特性，讨论了后掠角的影响，提出了一种在频域颤振分析中考虑动刚度影响的迭代方法。文献[2]进行了风洞颤振试验，预测了颤振边界。多数实际的执行机构都包含结构的非线性，例如间隙。因此，结构非线性应当被考虑在某些结构的计算中。文献[3]研究了一个带有根部俯仰间隙的控制面的颤振特性。文献[4]研究了CF-18飞机折叠翼铰链间隙对颤振边界的影响。文献[9, 10]进行了一个带有铰链间隙非线性折叠翼的研究，讨论了间隙角和折叠角对瞬态响应的影响。文献[5]进行了结构非线性和舵机动刚度的控制面颤振分析，发现考虑动刚度特性颤振边界提高了，但舵机控制命令对颤振的影响没有被讨论。文献[6]分析了初始干扰角以及舵机控制命令幅度对颤振特性的影响，然而控制命令相位的影响却被忽略了。

本文的目的是研究具有结构非线性和液压助力器动刚度的舵系统的颤振特性。利用分支模态法建立时域和频域的结构非线性控制方程。采用描述函数和一种改进的迭代方法进行颤振分析，并将频域和时域结果进行对比。分析控制命令的幅值和相位对颤振特性的影响。

1 理论分析 1.1 频域控制方程

舵系统由液压助力器、摇臂、铰链和舵面组成，如图 1所示。这里α是舵面的俯仰角。

液压助力器模型如图 2所示。其动力学方程由阀的运动方程((1)式)，位置系统的力平衡方程((3)式、(4)式)、流量方程((5)式)和连续方程((2)式)组成：

式中，e为滑阀相对壳体的位移，n_f为助力器反馈比，n_i为助力器输入比，n_A为助力器支撑结构位移反馈比，x₀为助力器输出位移，x_i为助力器输入位移，x_A为助力器固定处支撑位移，Q为助力器流量，A为活塞有效面积，V为作动筒和油路的有效容积，N为油液弹性模量，Δp为助力器两腔压差，K_A为助力器固定处支撑刚度，m为助力器至操纵面的转动惯量折算至助力器输出端的质量，F为活塞的输出力，c_e为滑阀流量-开度增益，c_Δp为滑阀流量-压力增益。

在稳定飞行条件下，舵面的位置是固定的。令x_i为0，联立方程(1)~(5)，转换到拉氏域后，联立求解得到助力器的动刚度表达式：

(6)式用F(s)表示，将iω代入F(s)中，就可以得到频域法中的F(ω)。

图 3所示为传动装置，由摇臂和铰链构成。动力学方程组为

式中,n_x摇臂位移传动比,n摇臂力传动比,F′摇臂的输出力,F_m为舵面转轴力矩折算至摇臂输出端的力, x′₀摇臂输出位移,Km摇臂输出端和铰链间的刚度,m′摇臂至操纵面的转动惯量折算至助力器输出端的质量μ为摇臂输出端至舵面偏转角的传动系数,θ为铰链的偏转角。

由(7)式可得:

为了将助力器和舵面联系起来,利用分支模态法,其中,q是根部固支的弹性模态坐标,α是刚化舵面的旋转模态坐标,舵面的结构运动方程为

式中,m_ee是对应弹性模态的模态质量,m_aa是对应于刚化旋转模态的模态质量,m_ea和m_ae是耦合模态质量,k_ee是对应于弹性模态的模态刚度,k_α是对应于刚化旋转模态的模态刚度。ρ是飞行高度的大气密度,V是飞行速度,Q′是广义气动力影响系数矩阵,可由偶极子网格法^[8]得到。

将方程(9)写为

式中,-F_m为舵面转轴力矩折算至摇臂输出端的力,F_m=μk_αα。μ为摇臂输出端至舵面偏转角的传动系数。

联立方程(8) 、(10),整个舵系统的振动方程为

式中,M、K分别是舵面的质量阵和刚度阵。方程(11)可表达为

考虑到传动装置的误差,故有

式中,δ是传动误差。于是可得 式中,T为第2个广义坐标转换矩阵,P是第2个广义坐标。

联立(11)式、(14)式,可得

式中,F′-F_m为0,因为F′和-F_m是相互作用力。在线性条件下,f(δ)=kδ。在非线性条件下,刚度k_δ(δ)是δ的函数。

预载间隙特性其表达式为: 式中,E_p为预载角,E_s为间隙角,H为振幅,k为线性部分的刚度。 1.2 时域控制方程

考虑助力器动态特性的舵系统颤振时域分析就是对舵面、助力器系统构成的组合系统进行分析。假设摇臂的输出力F′和助力器输入位移x_i为输入,铰链的偏转角θ为输出,液压助力器和摇臂构成的助力器系统状态空间方程为:

舵面系统状态空间方程中气动力计算采用对频域气动力计算结果进行气动力有理函数拟合的方法^[9]。

此处,气动力系数矩阵Q″的拉氏域表达式为

式中,Q₀,Q₁,Q₂可通过气动力有理函数拟合得到。

舵面系统运动方程可写为

式中, 联立方程(18)、 (19),从而构成组合系统,进行非线性分析。

1.3 频域分析方法 1.3.1 描述函数法 根据描述函数的方法,预载间隙的等效线性刚度可由(20)式得到: 式中,k_eq是预载间隙的等效线性刚度,H是传动误差δ的振幅, 因此,等效的线性方程可以写成 1.3.2 迭代法

由(6)式可以得到液压助力器的幅相曲线,如图 4所示。频域中的颤振求解使用迭代方法^[10]。

2 结果和讨论

本文以一个飞机方向舵简化模型为研究对象，固有模态如图 5所示。一阶弯曲、扭转模态为一分支，刚化舵面旋转为另一分支。线性颤振速度VL为22.5 m/s。

2.1 控制命令为0

当机动命令为0°。间隙角为0.2°，预载角分别为0.1°、0.2°、0.3°。频域和时域的结果如图 6所示。

在频域结果中，显然颤振边界的改变是由间隙造成的。在线性颤振边界内的某一飞行速度时，产生了极限环，其幅度随着飞行速度的增加而变大，并且飞行速度越接近线性颤振速度，振动的幅度就越大，直至达到线性颤振速度时，颤振变得发散。在某个速度范围内，预载角越大，对应的极限环的振幅越小，因此，预载角对极限环有抑制的作用。当速度增加到某一个值时，不同的预载角所对应的极限环的振幅是相同的，这时，预载角的作用是相同的。

2.2 控制命令不为0

上面的分析中，飞行条件是没有变化的，控制命令被假设为0，但当需要改变飞行条件时，这时控制面会根据控制命令而变化，控制面的响应和控制命令是有关系的。控制面响应的幅值和控制命令幅值的关系如图 7所示。

由于有间隙的存在，控制面响应的幅值会受到控制命令幅值的影响。图 7中当间隙角为0.2°，控制命令幅值从最初一个很小的值逐渐增加到A₁时，所对应的响应幅值为一个固定值，在这段区域内，振动是收敛的。随着控制命令幅值的增大，响应的幅值也逐渐增加，在A₁-B₁区域内，振动是以极限环的形式出现的。当控制命令幅值大于B₁时，这时振动发散了。

如果间隙角改变，极限环的边界也随之改变。由图 7可看出，当间隙角0.2°变到0.4°，在各自的收敛区域所对应的响应幅值是相同的。并且间隙角为0.2°时产生极限环的控制命令幅值比间隙角为0.4°时要小。在A₂-B₁区域内，相同的控制命令，间隙角为0.2°时产生极限环的幅值比间隙角为0.4°时要大。在大于B₂的区域内，两者的振动都发散了。

图 8显示了控制命令相位改变后，响应幅值的变化情况，从图 8b)可看出，在前周期内，响应幅值的变化和相位没有改变前是一致的，但在后周期，响应幅值都趋于一致。并且和不加控制命令时的响应一致。图 9为相位改变后不同间隙角的响应幅值，可以看出在后周期间隙角为0.4°和0.2°时，响应幅值是一致的，都等于4.2°。这是因为在后周期，由于相位的变化，使得控制命令的输入信号变成了0，这时相当于不加控制命令所产生的响应。

3 结论

本文利用分支模态法建立了具有动刚度和结构非线性的系统动力学模型，使用描述函数和迭代法得到频域结果。通过仿真得到了时域响应，并分析了控制命令对系统振动特性的影响。得到如下结论:

1) 当系统存在间隙时，小的控制命令对应的响应幅值是一个固定值，并且不受间隙角改变的影响，随着控制命令的增加，响应幅值逐渐增大。

2) 在间隙的影响下，控制命令相位的改变使得响应幅值趋于一致，并且这个值和不加控制命令时的响应幅值相同。