2. 航天飞行动力学国家级重点实验室, 陕西西安 710072
传统的地月转移轨道设计是基于二体模型的拼接以及在此基础上的多体摄动理论进行的，其中最典型的是Hohmann转移[1]。近年来，由于能够减少转移过程中的能量消耗，基于限制性三体[2]或者四体问题[3]设计的低能转移轨道受到了广泛重视。总的来说，地月转移轨道的设计可以分来内部转移和外部转移2种形式[4]。
外部转移主要是基于太阳、地球和月球组成的限制性四体进行的。Belbruno等[5]提出弱稳定边界理论(WSB)，并采用弹道捕获方法设计了地月低能转移轨道；之后Koon等[3]在双圆型限制性三体问题模型的基础上利用稳定流形和不稳定流形拼接的方法设计了地月转移轨道。这种类型的转移轨道虽然有着节省耗能的优点，但是飞行时间较长。
在内部转移中，地月转移轨道的设计主要是基于地球和月球组成的限制性三体问题完成的[6, 7]。由于与平动点L1相关的不变流形往往很难到达地球附近，所以这种类型的转移轨道往往需要多次机动[8]；为此，拼接圆锥曲线法被引入限制性三体问题中，用于减少机动的次数，设计双脉冲地月转移轨道[9]。
本文针对WSB转移时间长以及在内部转移中地月转移轨道需要多次机动的问题，从微分数值计算的角度出发进行双脉冲地月转移轨道的设计。其基本思想在于利用periapsis截面估计转移轨道的初始状态，再根据Newton-Rapson迭代法推导其微分校正方程，通过迭代得到精确地地月转移的初始状态，完成双脉冲地月转移轨道的设计。
1 圆型限制性三体问题由地球、月球和探测器组成的三体系统中,假设月球绕地球作平面圆周匀速运动，且探测器不会影响主天体的运动，圆型限制性三体问题(CR3BP)模型可以用来描述这个系统，在会合坐标系统中,探测器的运动可以无量纲化为如下方程[10]:
式中：Ω为会合坐标系中的等效势能函数，μ为两主天体的质量比常数；r1,r2为探测器到两主天体的距离。在地月系统中，其质量比系数为μ=0.012 15，并存在Jacobi常数如下
2 双脉冲地月转移轨道状态分析
航天器切向逃逸高度为167 km的绕地低轨轨道(LEO)时的初始状态为X0=(x0,y0,z0,
,
,
)T，其存在如下的关系：
航天器的初始状态处在逆行LEO轨道上，所以航天器的初始状态又可以写作如下形式：
式中，α和β为航天器对应的经纬度，如图 1所示。
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| 图 1 航天器初始位置矢量和速度矢量示意图 |
又设角度θ为航天器的速度矢量相对于平面z=r0sinα的夹角，如图 1所示，所以航天器的速度矢量可以写作
式中,γ=cos-1(-tanαtanθ)是关于逆时针轨道的的参数，并且存在如下关系
设Xf=(xf,yf,zf,
,
,
)T为航天器切向进入高度为100 km的绕月轨道(LMO)时的状态，那么这时航天器的状态满足如下关系：
设航天器从LEO逃逸所需速度增量为Δv1，而进入LMO时所需的速度增量为Δv2，那么双脉冲转移轨道所需总的速度增量为
3 微分校正法计算双脉冲地月转移轨道
首先假设探测器末状态为Xf=(xf,yf,,)T。探测器切向进入绕月轨道LEO时的速度矢量、相对于月球的位置矢量分别为vf和rf，那么在地月转移过程中，终端约束f(X)可以写成如下形式：
式中:
根据Newto-Rapson迭代法，当修正参数[,τ]T时，修正矩阵为：
假设迭代过程从初始状态(
)T开始，在时刻t=τn的状态为
。那么微分修正方程为
式中,
。
当|rf-hm|<10-10和|rf·vf|<10-10,满足时，迭代停止，这时计算得到的状态就可以认为是双脉冲地月轨道轨道的初始状态。
4 平面情况下，双脉冲地月转移轨道设计平面情况下，z=0或a=0。在初始角度β给定的情况下，只有2个未知参数：初始速度v0和飞行时间τ。本节内容就针对这2个参数进行估计。
首先定义periapsis截面
=0和
>0，这意味着航天器能够切向进入LMO。
当初始角度β给定时，初始速度v0和飞行时间τ采用如下步骤进行估计：
1)首先变化初始估计速度v0，使轨迹的periapsis截面能够到达月球附近，如图 2所示；
 |
| 图 2 当β=0.33，v0∈[10.66,10.72]，periapsis截面上的投影 |
2)然后画出periapsis到月球的距离r2和初始速度v0之间的关系图，以及periapsis到月球的距离r2和飞行时间τ之间的关系图，如图 3所示；
3)计算periapsis到月球的距离与LMO高度的交点，其所对应的坐标作为初始速度的估计值，同理估计飞行时间，如图 3所示；
 |
| 图 3 periapsis截面上r2和v0的关系图以及r2和τ的关系图 |
4)以估计的估计状态为迭代初值，带入公式(11)，经过计算，可以得到精确的初始状态，然后计算得到双脉冲平面地月转移轨道，如图 4和图 5所示，其具体的参数如表 1所示。
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| 图 4 利用微分校正法计算得到的2条双脉冲平面地月转移轨道 |
 |
| 图 5 当β=4.25，利用微分校正法计算得到的2条双脉冲平面地月转移轨道 |
| 类型 | Δv1 /(m·s-1) | Δv2 /(m·s-1) | Δv /(m·s-1) | T /24 h |
| a | 3 134.382 | 808.812 | 3 943.382 | 14.915 |
| b | 3 136.841 | 818.979 | 3 955.820 | 14.795 |
| c | 3 134.830 | 809.979 | 3 944.809 | 4.576 |
| d | 3 131.383 | 794.483 | 3 925.866 | 31.463 |
| Hohmann | 3 140.329 | 848.350 | 3 988.678 | 4.989 |
如表 1所示，相对于传统的Hohmann转移[5, 9]，双脉冲平面地月转移轨道有着节约耗能或者节省飞行时间的潜力，如转移轨道a-d都可以达到节约耗能的效果，而其中转移轨道c相比于Hohmann转移飞行时间更短。但是，相比于利用不变流形的地月低能转移轨道[5, 11]，双脉冲平面地月转移轨道有着转移时间短，耗能稍多的特点。
5 空间情况下，双脉冲地月转移轨道设计在假定初始角度α和β已知的前提下，仍然存在3个未知参数：初始速度v0、飞行时间τ以及角度θ，而3个未知参数相互关联，难以得到v0-r2，τ-r2以及θ-r2的关系图进行参数估计。为解决这个问题，这里采用如下设计方法来降维。
这里仍利用periapsis截面来估计航天器的初始状态，其截至条件为=0和>0 。
1)首先给定一个v0，变化θ使轨道的轨迹在periapsis截面上的投影接近月球，选取其中距离月球中心最近的投影点，记此点到月球中心的距离为rmin={r2|tanθ|≤|tan|α|-1 }；
2)变化v0，可以得到rmin和v0的关系图，如图 6所示；
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| 图 6 不同变形基准下的准模态频率 |
3)取任意满足条件rmin≤1 838 km对应的v0作为航天器的初始速度，如图 6所示；
4)根据确定的v0，变化θ画出periapsis到月球的距离r2和q的关系图；寻找periapsis到月球的距离r2与LMO高度的交点，交点所对应的坐标作为初始速度方向角θ，如图 7所示；
5)同步骤4)得到飞行时间的估计值，如图 7所示。
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| 图 7 不同变形基准下的准模态频率 |
通过上述设计步骤，航天器的初始状态的估计
值就能够确定；然后以估计的初始状态为迭代初值，通过微分校正方程(11)得到双脉冲空间地月转移轨道精确的初始状态。计算得到的轨道如图 8和图 9所示，具体的参数如表 2所示。
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| 图 8 v0=10.721 2时，根据图 7中点s1估计的初始值 θ=-0.622 3,τ=3.597，利用微分修正法确定的 双脉冲地月转移轨道 |
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| 图 9 v0=10.747 5时，根据初始估计值θ=-0.475 4,τ=9.948，利用微分修正法确定的双脉冲地月转移轨道 |
| 类型 | Δv1 /(m·s-1) | Δv2 /(m·s-1) | Δv /(m·s-1) | T /24 h |
| 图 8 | 3 170.001 | 963.044 | 4 133.044 | 15.643 |
| 图 9 | 3 196.121 | 965.767 | 4 271.710 | 43.266 |
在CR3BP系统中，如果Xf表示从初始状态X0沿着路径Φ(X0,t)出发后在时刻T的状态，那么必然存在一个轨迹从RX0到RXf，同时这个轨迹与原轨迹是关于x-z平面对称的。其中
根据这个性质，双脉冲月地返回轨道可由双脉冲地月转移轨道关于x-z平面镜像得到，如图 10至图 11所示。
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| 图 10 双脉冲平面地月转移轨道与双脉冲平面月地返回轨道,对应着图4中a的转移轨道 |
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| 图 11 双脉冲空间地月转移轨道与双脉冲空间月地返回轨道,对应着图8中的转移轨道 |
本文基于圆型限制性三体问题模型(CR3BP)，提出了一种用于设计双脉冲地月转移轨道的数值微分计算方法。
1) 通过分析双脉冲地月转移轨道的初末状态，利用Newton-Rapson迭代法推导了转移轨道的微分校正方法。
2) 利用periapsis截面对转移轨道的转移进行了估计，根据估计值，经过微分校正方法，得到了转移轨道精确的初始状态，能够有效地进行双脉冲地月转移的数值计算。
3) 针对双脉冲空间地月转移轨道中出现多个未知参数的问题，设计了降维方法。
4) 根据CR3BP的对称性可得，双脉冲地月轨道和双脉冲月地返回地球的轨迹是关于x-z平面镜像。
| [1] | Bate R R, Mueller D D, White J E. Fundamentals of Astrodynamics[M]. New York, Dover, 1971 |
| [2] | Szebehely V. Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies[M]. New York, Academic Press, 1967 |
| [3] | Koon W S, Lo M W, Marsden J E, Ross S D. Low Energy Transfer to the Moon[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2001, 9: 63-73 |
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| [4] | Francesco Topputo. On Optimal Two-Impulse Earth-Moon Transfers in a Four-Body Model[J]. Celest Mech Dyn Astr, 2013, 117:279-313 |
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| [5] | Belbruno E A,Miller J K. Sun-Perturbed Earth to Moon Transfers with Ballistic Capture[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1993, 16(4): 770-775 |
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| [6] | Belbruno E. Lunar Capture Orbits, a Method of Constructing Earth-Moon Trajectories and the Lunar GAS Mission[C]//Proceedings of the AIAA/DGLR/JSASS International Electric Propulsion Conference, 1987 |
| [7] | Miele A, Mancuso S. Optimal Trajectories for Earth-Moon-Earth Flight[J]. Acta Astronautica, 2001, 49(2): 59-71 |
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| [8] | Topputo F, Vasile M, Bernelli-Zazzera F. Earth-to-Moon Low Energy Transfers Targeting L1 Hyperbolic Transit Orbits[J]. Annals of the New York Academy of Sciences, 2005, 1065: 55-76 |
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| [9] | Yagasaki K. Computation of Low Energy Earth-to-Moon Transfers with Moderate Flight time[J]. Physica D, 2004, 197(3/4): 313-331 |
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| [10] | Tan M H, Zhang K, Lv M B, Xing C. Transfer to Long Term Distant Retrograde Orbits around the Moon[J]. Acta Astronautica, 2014, 98: 50-63 |
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| [11] | 张汉清. 共线平动点动力学系统研究和和轨道研究[D]. 西安: 西北工业大学,2011,Zhang H Q. Research on Collinear Libration Point Dynamical Systems and Trajectory Design[D]. Xi′an, Northwestern Polytechnical University, 2011 (in Chinese) |
2. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics at Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China